Factorización aurifeuilleana

En teoría de números , una factorización aurifeuilleana , llamada así por Léon-François-Antoine Aurifeuille , es la factorización de ciertos valores enteros de los polinomios ciclotómicos . ^[1] Debido a que los polinomios ciclotómicos son polinomios irreducibles sobre los enteros, dicha factorización no puede provenir de una factorización algebraica del polinomio. Sin embargo, ciertas familias de enteros que provienen de polinomios ciclotómicos tienen factorizaciones dadas por fórmulas que se aplican a toda la familia, como en los ejemplos siguientes.

Ejemplos

• Los números de la forma tienen la siguiente factorización ( identidad de Sophie Germain ): Fijando y , se obtiene la siguiente factorización aurifeuilleana de , donde es el cuarto polinomio ciclotómico: ^[2] ${\displaystyle a^{4}+4b^{4}}$ $${\displaystyle a^{4}+4b^{4}=(a^{2}-2ab+2b^{2})\cdot (a^{2}+2ab+2b^{2}).}$$ ${\displaystyle a=1}$ ${\displaystyle b=2^{k}}$ ${\displaystyle \Phi _{4}(2^{2k+1})=2^{4k+2}+1}$ ${\displaystyle \Phi _{4}(x)=x^{2}+1}$ $${\displaystyle 2^{4k+2}+1=(2^{2k+1}-2^{k+1}+1)\cdot (2^{2k+1}+2^{k+1}+1).}$$
• Los números de la forma tienen la siguiente factorización, donde el primer factor ( ) es la factorización algebraica de la suma de dos cubos : Fijando y , se obtiene la siguiente factorización de : ^[2] Aquí, el primero de los tres términos en la factorización es y los dos términos restantes proporcionan una factorización aurifeuilleana de , donde . ${\displaystyle a^{6}+27b^{6}}$ ${\displaystyle a^{2}+3b^{2}}$ $${\displaystyle a^{6}+27b^{6}=(a^{2}+3b^{2})\cdot (a^{2}-3ab+3b^{2})\cdot (a^{2}+3ab+3b^{2}).}$$ ${\displaystyle a=1}$ ${\displaystyle b=3^{k}}$ ${\displaystyle 3^{6k+3}+1}$ $${\displaystyle 3^{6k+3}+1=(3^{2k+1}+1)\cdot (3^{2k+1}-3^{k+1}+1)\cdot (3^{2k+1}+3^{k+1}+1).}$$ ${\displaystyle \Phi _{2}(3^{2k+1})}$ ${\displaystyle \Phi _{6}(3^{2k+1})}$ ${\displaystyle \Phi _{6}(x)=x^{2}-x+1}$
• Los números de la forma o sus factores , donde con cuadrados libres , tienen factorización aurifeuilleana si y solo si se cumple una de las siguientes condiciones: ${\displaystyle b^{n}-1}$ ${\displaystyle \Phi _{n}(b)}$ ${\displaystyle b=s^{2}\cdot t}$ ${\displaystyle t}$
  • ${\displaystyle t\equiv 1{\pmod {4}}}$y ${\displaystyle n\equiv t{\pmod {2t}}}$
  • ${\displaystyle t\equiv 2,3{\pmod {4}}}$y ${\displaystyle n\equiv 2t{\pmod {4t}}}$

Por lo tanto, cuando con α libre de cuadrados y es congruente con módulo , entonces si es congruente con 1 módulo 4, tiene factorización aurifeuilleana, de lo contrario, tiene factorización aurifeuilleana. ${\displaystyle b=s^{2}\cdot t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 2t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle b^{n}-1}$ ${\displaystyle b^{n}+1}$

• Cuando el número tiene una forma particular (la expresión exacta varía con la base), se puede utilizar la factorización aurifeuilleana, que da como resultado un producto de dos o tres números. Las siguientes ecuaciones dan factores aurifeuilleanos para las bases del proyecto Cunningham como un producto de F , L y M : ^[3]

Si dejamos L = C − D , M = C + D , las factorizaciones aurifeuilleanas para b ⁿ ± 1 de la forma F * ( C − D ) * ( C + D ) = F * L * M con bases 2 ≤ b ≤ 24 ( excluidas las potencias perfectas , ya que una potencia de b ⁿ es también una potencia de b ) son:

(para los coeficientes de los polinomios para todas las bases libres de cuadrados hasta 199 y hasta 998, véase ^{[4] [5] [6]} )

• Los números de Lucas tienen la siguiente factorización aurifeuilleana: ^[7] ${\displaystyle L_{10k+5}}$

${\displaystyle L_{10k+5}=L_{2k+1}\cdot (5{F_{2k+1}}^{2}-5F_{2k+1}+1)\cdot (5{F_{2k+1}}^{2}+5F_{2k+1}+1)}$

donde es el ésimo número de Lucas, y es el ésimo número de Fibonacci . ${\displaystyle L_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle n}$

Historia

En 1869, antes del descubrimiento de las factorizaciones aurifeuilleanas, Landry  [fr; en; de] , mediante un tremendo esfuerzo manual, ^{[8] [9]} obtuvo la siguiente factorización en primos :

${\displaystyle 2^{58}+1=5\cdot 107367629\cdot 536903681.}$

Tres años más tarde, en 1871, Aurifeuille descubrió la naturaleza de esta factorización; el número para , con la fórmula de la sección anterior, se factoriza como: ^{[2] [8]} ${\displaystyle 2^{4k+2}+1}$ ${\displaystyle k=14}$

${\displaystyle 2^{58}+1=(2^{29}-2^{15}+1)(2^{29}+2^{15}+1)=536838145\cdot 536903681.}$

Por supuesto, de esto se sigue la factorización completa de Landry (eliminando el factor obvio de 5). La forma general de la factorización fue descubierta posteriormente por Lucas . ^[2]

536903681 es un ejemplo de una norma de Mersenne gaussiana . ^[9]

Referencias

1. A. Granville, P. Pleasants (2006). "Factorización aurifeuilliana" (PDF) . Math. Comp . 75 (253): 497–508. doi : 10.1090/S0025-5718-05-01766-7 .
2. Weisstein, Eric W. "Factorización aurifeuilleana". MathWorld .
3. "Mesas principales de Cunningham".Al final de las tablas 2LM, 3+, 5-, 6+, 7+, 10+, 11+ y 12+ hay fórmulas que detallan las factorizaciones aurifeuilleanas.
4. Lista de factorización aurifeuilleana de números ciclotómicos (bases libres de cuadrados hasta 199)
5. Coeficientes de los polinomios C,D de Lucas para todas las bases libres de cuadrados hasta 199
6. Coeficientes de los polinomios de Lucas C,D para todas las bases libres de cuadrados hasta 998
7. Parte primitiva de Lucas Aurifeuilliean
8. Aritmética de enteros, teoría de números: factorizaciones aurifeuilleanas, numérica
9. Gaussian Mersenne, el glosario de páginas principales

Enlaces externos

• Factorización aurifeuilleana, Colin Barker
• Factorizaciones aurifeuilleanas, Gérard P. Michon
• La búsqueda de factorizaciones de tipo aurifeuilleano
• Recopilación de factores en línea
• Una nota sobre factorizaciones aurifeuilleanas
• Factorización aurifeuilleana