Poder perfecto

Entero positivo que es una potencia entera de otro entero positivo

Demostración, con varillas Cuisenaire , de la naturaleza de potencia perfecta de 4, 8 y 9

En matemáticas , una potencia perfecta es un número natural que es un producto de factores naturales iguales o, en otras palabras, un entero que puede expresarse como un cuadrado o una potencia entera superior de otro entero mayor que uno. Más formalmente, n es una potencia perfecta si existen números naturales m > 1 y k > 1 tales que m ^k = n . En este caso, n puede llamarse una k- ésima potencia perfecta . Si k = 2 o k = 3, entonces n se llama cuadrado perfecto o cubo perfecto , respectivamente. A veces, 0 y 1 también se consideran potencias perfectas (0 ^k = 0 para cualquier k > 0, 1 ^k = 1 para cualquier k ).

Ejemplos y sumas

Se puede generar una secuencia de potencias perfectas iterando a través de los posibles valores de m y k . Las primeras potencias perfectas ascendentes en orden numérico (que muestran potencias duplicadas) son (secuencia A072103 en la OEIS ):

${\displaystyle 2^{2}=4,\ 2^{3}=8,\ 3^{2}=9,\ 2^{4}=16,\ 4^{2}=16,\ 5^{2}=25,\ 3^{3}=27,}$ ${\displaystyle 2^{5}=32,\ 6^{2}=36,\ 7^{2}=49,\ 2^{6}=64,\ 4^{3}=64,\ 8^{2}=64,\dots }$

La suma de los recíprocos de las potencias perfectas (incluidos los duplicados como 3 ⁴ y 9 ² , ambos iguales a 81) es 1:

${\displaystyle \sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=1.}$

lo cual se puede demostrar de la siguiente manera:

${\displaystyle \sum _{m=2}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{m^{k}}}=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}}}\left({\frac {m}{m-1}}\right)=\sum _{m=2}^{\infty }{\frac {1}{m(m-1)}}=\sum _{m=2}^{\infty }\left({\frac {1}{m-1}}-{\frac {1}{m}}\right)=1\,.}$

Las primeras potencias perfectas sin duplicados son:

(a veces 0 y 1), 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, 1024, ... (secuencia A001597 en la OEIS )

La suma de los recíprocos de las potencias perfectas p sin duplicados es: ^[1]

${\displaystyle \sum _{p}{\frac {1}{p}}=\sum _{k=2}^{\infty }\mu (k)(1-\zeta (k))\approx 0.874464368\dots }$

donde μ( k ) es la función de Möbius y ζ( k ) es la función zeta de Riemann .

Según Euler , Goldbach demostró (en una carta ahora perdida) que la suma de ⁠1/p -1⁠ sobre el conjunto de potencias perfectas p , excluyendo 1 y excluyendo duplicados, es 1:

${\displaystyle \sum _{p}{\frac {1}{p-1}}={{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{26}}+{\frac {1}{31}}}+\cdots =1.}$

Esto a veces se conoce como el teorema de Goldbach-Euler .

Detección de potencias perfectas

La detección de si un número natural dado n es o no una potencia perfecta se puede realizar de muchas maneras diferentes, con distintos niveles de complejidad . Uno de los métodos más simples es considerar todos los valores posibles para k en cada uno de los divisores de n , hasta . Por lo tanto, si los divisores de son , entonces uno de los valores debe ser igual a n si n es de hecho una potencia perfecta. ${\displaystyle k\leq \log _{2}n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n_{1},n_{2},\dots ,n_{j}}$ ${\displaystyle n_{1}^{2},n_{2}^{2},\dots ,n_{j}^{2},n_{1}^{3},n_{2}^{3},\dots }$

Este método se puede simplificar inmediatamente considerando solo valores primos de k . Esto se debe a que si para un compuesto donde p es primo, entonces esto simplemente se puede reescribir como . Debido a este resultado, el valor mínimo de k necesariamente debe ser primo. ${\displaystyle n=m^{k}}$ ${\displaystyle k=ap}$ ${\displaystyle n=m^{k}=m^{ap}=(m^{a})^{p}}$

Si se conoce la factorización completa de n , digamos donde son primos distintos, entonces n es una potencia perfecta si y solo si donde mcd denota el máximo común divisor . Como ejemplo, considere n = 2 ⁹⁶ ·3 ⁶⁰ ·7 ²⁴ . Como mcd(96, 60, 24) = 12, n es una 12.ª potencia perfecta (y una 6.ª potencia perfecta, 4.ª potencia, cubo y cuadrado, ya que 6, 4, 3 y 2 dividen a 12). ${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle \gcd(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{r})>1}$

Brechas entre potencias perfectas

En 2002, el matemático rumano Preda Mihăilescu demostró que el único par de potencias perfectas consecutivas es 2 ³ = 8 y 3 ² = 9, demostrando así la conjetura de Catalan .

La conjetura de Pillai establece que para cualquier entero positivo k sólo hay un número finito de pares de potencias perfectas cuya diferencia es k . Este es un problema sin resolver. ^[2]

Véase también

• Poder primario

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Potencia perfecta". MathWorld .
2. Weisstein, Eric W. "Conjetura de Pillai". MathWorld .

• Daniel J. Bernstein (1998). "Detección de potencias perfectas en tiempo esencialmente lineal" (PDF) . Matemáticas de la computación . 67 (223): 1253–1283. doi : 10.1090/S0025-5718-98-00952-1 .

Enlaces externos

• Lluís Bibiloni, Pelegrí Viader y Jaume Paradís, Sobre una serie de Goldbach y Euler, 2004 (Pdf)