Medida de probabilidad

Medida del valor total uno, generalizando distribuciones de probabilidad.

En matemáticas , una medida de probabilidad es una función de valor real definida sobre un conjunto de eventos en un álgebra σ que satisface propiedades de medida como la aditividad contable . ^[1] La diferencia entre una medida de probabilidad y la noción más general de medida (que incluye conceptos como área o volumen ) es que una medida de probabilidad debe asignar el valor 1 a toda la σ-álgebra.

Intuitivamente, la propiedad de aditividad dice que la probabilidad asignada a la unión de dos eventos disjuntos (mutuamente excluyentes) por la medida debe ser la suma de las probabilidades de los eventos; por ejemplo, el valor asignado al resultado "1 o 2" en un lanzamiento de dado debe ser la suma de los valores asignados a los resultados "1" y "2".

Las medidas de probabilidad tienen aplicaciones en diversos campos, desde la física hasta las finanzas y la biología.

Definición

Una medida de probabilidad que asigna el álgebra σ para eventos al intervalo unitario . ${\displaystyle 2^{3}}$

Los requisitos para que una función establecida sea una medida de probabilidad en un álgebra σ son los siguientes: ${\displaystyle \mu }$

• ${\displaystyle \mu }$debe devolver resultados en el intervalo unitario que regresa para el conjunto vacío y para todo el espacio. ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$
• ${\displaystyle \mu }$debe satisfacer la propiedad de aditividad contable que para todas las colecciones contables de conjuntos disjuntos por pares : ${\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots }$
  $${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{i\in \mathbb {N} }E_{i}\right)=\sum _{i\in \mathbb {N} }\mu (E_{i}).}$$

Por ejemplo, dados tres elementos 1, 2 y 3 con probabilidades y el valor asignado es como en el diagrama de la derecha. ${\displaystyle 1/4,1/4}$ ${\displaystyle 1/2,}$ ${\displaystyle \{1,3\}}$ ${\displaystyle 1/4+1/2=3/4,}$

La probabilidad condicional basada en la intersección de eventos se define como:

$${\displaystyle \mu (B\mid A)={\frac {\mu (A\cap B)}{\mu (A)}}.}$$

^[2][3] ${\displaystyle \mu (A)}$

Las medidas de probabilidad son distintas de la noción más general de medidas difusas en las que no existe el requisito de que los valores difusos sumen y la propiedad aditiva sea reemplazada por una relación de orden basada en la inclusión de conjuntos . ${\displaystyle 1,}$

Aplicaciones de ejemplo

En muchos casos, la física estadística utiliza medidas de probabilidad , pero no todas las medidas que utiliza son medidas de probabilidad. ^{[4] [5]}

Las medidas de mercado que asignan probabilidades a espacios del mercado financiero basándose en movimientos reales del mercado son ejemplos de medidas de probabilidad que son de interés en las finanzas matemáticas ; por ejemplo, en la fijación de precios de derivados financieros . ^[6] Por ejemplo, una medida neutral al riesgo es una medida de probabilidad que supone que el valor actual de los activos es el valor esperado del pago futuro tomado con respecto a esa misma medida neutral al riesgo (es decir, calculado utilizando la correspondiente función de densidad neutral al riesgo). ), y descontados a la tasa libre de riesgo . Si existe una medida de probabilidad única que debe usarse para fijar el precio de los activos en un mercado, entonces el mercado se llama mercado completo . ^[7]

No todas las medidas que representan intuitivamente el azar o la probabilidad son medidas de probabilidad. Por ejemplo, aunque el concepto fundamental de un sistema en mecánica estadística es un espacio de medidas, tales medidas no siempre son medidas de probabilidad. ^[4] En general, en física estadística, si consideramos oraciones de la forma "la probabilidad de que un sistema S asuma el estado A es p", la geometría del sistema no siempre conduce a la definición de una medida de probabilidad bajo congruencia , aunque puede hacerlo en el caso de sistemas con un solo grado de libertad. ^[5]

Las medidas de probabilidad también se utilizan en biología matemática . ^[8] Por ejemplo, en el análisis de secuencia comparativo se puede definir una medida de probabilidad de que una variante pueda ser permisible para un aminoácido en una secuencia. ^[9]

Los ultrafiltros pueden entenderse como medidas de probabilidad valoradas, lo que permite muchas pruebas intuitivas basadas en medidas. Por ejemplo, el teorema de Hindman puede demostrarse investigando más a fondo estas medidas y, en particular, su convolución . ${\displaystyle \{0,1\}}$

Ver también

• Medida de Borel  : medida definida en todos los conjuntos abiertos de un espacio topológico
• Medida difusa  : teoría de medidas generalizadas en la que la propiedad aditiva se reemplaza por la propiedad más débil de monotonicidad.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Medida de Haar  : medida invariante a la izquierda (o invariante a la derecha) en un grupo topológico localmente compacto
• Medida de Lebesgue  - Concepto de área en cualquier dimensión
• Medida martingala  – Medida de probabilidadPages displaying short descriptions of redirect targets
• Función de conjunto  – Función de conjuntos a números
• Distribución de probabilidad

Referencias

1. Una introducción a la probabilidad teórica de la medida por George G. Roussas 2004 ISBN  0-12-599022-7 página 47
2. Dekking, Frederik Michel; Kraaikamp, ​​Cornelis; Lopuhaä, Hendrik Paul; Meester, Ludolf Erwin (2005). "Una introducción moderna a la probabilidad y la estadística". Textos Springer en Estadística . doi :10.1007/1-84628-168-7. ISSN  1431-875X.
3. Probabilidad, procesos aleatorios y propiedades ergódicas por Robert M. Gray 2009 ISBN 1-4419-1089-1 página 163 
4. Un curso de matemáticas para estudiantes de física, volumen 2 de Paul Bamberg, Shlomo Sternberg 1991 ISBN 0-521-40650-1 página 802 
5. El concepto de probabilidad en física estadística por Yair M. Guttmann 1999 ISBN 0-521-62128-3 página 149 
6. Métodos cuantitativos en la fijación de precios de derivados por Domingo Tavella 2002 ISBN 0-471-39447-5 página 11 
7. Decisiones irreversibles en condiciones de incertidumbre por Svetlana I. Boyarchenko, Serge Levendorskiĭ 2007 ISBN 3-540-73745-6 página 11 
8. Métodos matemáticos en biología por J. David Logan, William R. Wolesensky 2009 ISBN 0-470-52587-8 página 195 
9. Descubrimiento de mecanismos biomoleculares con biología computacional por Frank Eisenhaber 2006 ISBN 0-387-34527-2 página 127 

Otras lecturas

• Billingsley, Patricio (1995). Probabilidad y Medida . Juan Wiley. ISBN 0-471-00710-2.
• Ceniza, Robert B.; Doléans-Dade, Catherine A. (1999). Teoría de la probabilidad y la medida . Prensa académica. ISBN 0-12-065202-1.
• Distinguir medida, función y distribución de probabilidad, Respuestas Aquí

enlaces externos

• Medios relacionados con la medida de probabilidad en Wikimedia Commons