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Conjunto de IP

En matemáticas , un conjunto IP es un conjunto de números naturales que contiene todas las sumas finitas de algún conjunto infinito .

Las sumas finitas de un conjunto D de números naturales son todos aquellos números que pueden obtenerse sumando los elementos de algún subconjunto finito no vacío de D . El conjunto de todas las sumas finitas sobre D se denota a menudo como FS( D ). De forma ligeramente más general, para una secuencia de números naturales ( n i ), se puede considerar el conjunto de sumas finitas FS(( n i )), que consiste en las sumas de todas las subsecuencias de longitud finita de ( n i ).

Un conjunto A de números naturales es un conjunto IP si existe un conjunto infinito D tal que FS( D ) es un subconjunto de A . De manera equivalente, se puede requerir que A contenga todas las sumas finitas FS(( n i )) de una secuencia ( n i ).

Algunos autores dan una definición ligeramente diferente de los conjuntos IP: requieren que FS( D ) sea igual a A en lugar de ser simplemente un subconjunto.

El término conjunto IP fue acuñado por Hillel Furstenberg y Benjamin Weiss [1] [2] para abreviar " paralelepípedo de dimensión infinita " . Casualmente, la abreviatura IP también puede ampliarse a " idempotente " [3] (un conjunto es un IP si y solo si es miembro de un ultrafiltro idempotente ).

Teorema de Hindman

Si es un conjunto IP y , entonces al menos uno es un conjunto IP. Esto se conoce como teorema de Hindman o teorema de sumas finitas . [4] [5] En otros términos, el teorema de Hindman establece que la clase de conjuntos IP es partición regular .

Dado que el conjunto de números naturales es en sí mismo un conjunto IP y las particiones también pueden verse como coloraciones, se puede reformular un caso especial del teorema de Hindman en términos más familiares: supongamos que los números naturales están "coloreados" con n colores diferentes; cada número natural tiene un solo color. Entonces existe un color c y un conjunto infinito D de números naturales, todos coloreados con c , de modo que cada suma finita sobre D también tiene color c .

El teorema de Hindman debe su nombre al matemático Neil Hindman , quien lo demostró en 1974. [4] El teorema de Milliken-Taylor es una generalización común del teorema de Hindman y del teorema de Ramsey .

Semigrupos

La definición de ser IP se ha ampliado desde subconjuntos del semigrupo especial de números naturales con adición a subconjuntos de semigrupos y semigrupos parciales en general. Una variante del teorema de Hindman es válida para semigrupos arbitrarios. [6] [7]

Véase también

Referencias

  1. ^ Furstenberg, H. ; Weiss, B. (1978). "Dinámica topológica y teoría combinatoria de números". Journal d'Analyse Mathématique . 34 : 61–85. doi : 10.1007/BF02790008 .
  2. ^ Harry, Furstenberg (julio de 2014). Recurrencia en la teoría ergódica y la teoría combinatoria de números . Princeton, Nueva Jersey. ISBN 9780691615363.OCLC 889248822  .{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )
  3. ^ Bergelson, V.; Leibman, A. (2016). "Conjuntos de valores grandes de funciones de correlación para configuraciones cúbicas polinómicas". Teoría ergódica y sistemas dinámicos . 38 (2): 499–522. doi :10.1017/etds.2016.49. ISSN  0143-3857. S2CID  31083478.
  4. ^ ab Hindman, Neil (1974). "Sumas finitas a partir de secuencias dentro de celdas de una partición de N". Journal of Combinatorial Theory . Serie A. 17 (1): 1–11. doi : 10.1016/0097-3165(74)90023-5 . hdl : 10338.dmlcz/127803 .
  5. ^ Baumgartner, James E (1974). "Una breve demostración del teorema de Hindman". Journal of Combinatorial Theory . Serie A. 17 (3): 384–386. doi : 10.1016/0097-3165(74)90103-4 .
  6. ^ Golan, Gili; Tsaban, Boaz (2013). "Teorema de coloración de Hindman en semigrupos arbitrarios". Journal of Algebra . 395 : 111–120. arXiv : 1303.3600 . doi : 10.1016/j.jalgebra.2013.08.007 . S2CID  11437903.
  7. ^ Hindman, Neil ; Strauss, Dona (1998). Álgebra en la compactificación de Stone-Čech: teoría y aplicaciones . Nueva York: Walter de Gruyter. ISBN 311015420X.OCLC 39368501  .

Lectura adicional