En geometría , una cúpula es un sólido formado al unir dos polígonos , uno (la base) con el doble de aristas que el otro, mediante una banda alternada de triángulos isósceles y rectángulos . Si los triángulos son equiláteros y los rectángulos son cuadrados , mientras que la base y su cara opuesta son polígonos regulares , las cúpulas triangulares , cuadradas y pentagonales cuentan entre los sólidos de Johnson , y pueden formarse tomando secciones del cuboctaedro , rombicuboctaedro y rombicosidodecaedro , respectivamente.
Una cúpula puede verse como un prisma donde uno de los polígonos se ha colapsado por la mitad al fusionar vértices alternos.
A una cúpula se le puede dar un símbolo Schläfli extendido { n } || t{ n }, que representa un polígono regular { n } unido por un paralelo de su truncamiento , t{ n } o {2 n }.
Las cúpulas son una subclase de los prismatoides .
Su dual contiene una forma que es una especie de soldadura entre la mitad de un trapezoedro de n lados y una pirámide de 2 n lados .
Los tres poliedros antes mencionados son las únicas cúpulas convexas no triviales con caras regulares: la " cúpula hexagonal " es una figura plana, y el prisma triangular podría considerarse una "cúpula" de grado 2 (la cúpula de un segmento de línea y un cuadrado). Sin embargo, las cúpulas de polígonos de grado superior pueden construirse con caras triangulares y rectangulares irregulares .
La definición de la cúpula no requiere que la base (o el lado opuesto a la base, que puede llamarse la parte superior) sea un polígono regular, pero es conveniente considerar el caso en el que la cúpula tiene su simetría máxima, C n v . En ese caso, la parte superior es un n -gono regular, mientras que la base es un 2 n -gono regular o un 2 n -gono que tiene dos longitudes de lado diferentes alternadas y los mismos ángulos que un 2 n -gono regular. Es conveniente fijar el sistema de coordenadas de modo que la base se encuentre en el plano xy , con la parte superior en un plano paralelo al plano xy . El eje z es el eje n -fold, y los planos de espejo pasan por el eje z y bisecan los lados de la base. También bisecan los lados o los ángulos del polígono superior, o ambos. (Si n es par, la mitad de los planos espejo bisecan los lados del polígono superior y la mitad bisecan los ángulos, mientras que si n es impar, cada plano espejo bisecan un lado y un ángulo del polígono superior). Los vértices de la base se pueden designar mediante mientras que los vértices del polígono superior se pueden designar mediante Con estas convenciones , las coordenadas de los vértices se pueden escribir como:
para j = 1, 2, ..., n .
Dado que los polígonos , etc. son rectángulos, esto impone una restricción en los valores de La distancia es igual a
mientras que la distancia es igual a
Estos deben ser iguales, y si este borde común se denota por s ,
Estos valores deben insertarse en las expresiones para las coordenadas de los vértices dadas anteriormente.
Existen cúpulas estelares para cualquier base superior { n / d } donde 6/5 < n / d < 6 y d es impar. En estos límites, las cúpulas colapsan en figuras planas. Más allá de estos límites, los triángulos y cuadrados ya no pueden abarcar la distancia entre los dos polígonos de base (todavía se puede hacer con triángulos isósceles no equiláteros y rectángulos no cuadrados). Si d es par, la base inferior {2 n / d } se vuelve degenerada; entonces podemos formar un cupoloide o semicúpula retirando esta cara degenerada y dejando que los triángulos y cuadrados se conecten entre sí aquí (a través de aristas simples) en lugar de a la base inferior tardía (a través de sus aristas dobles). En particular, el tetrahemihexaedro puede verse como un {3/2} -cupoloide.
Las cúpulas son todas orientables , mientras que los cupoloides son todos no orientables. Para un cupoloide, si n / d > 2 , entonces los triángulos y cuadrados no cubren toda la base (única), y se coloca una pequeña membrana en esta base { n / d } -gono que simplemente cubre el espacio vacío. Por lo tanto, los cupoloides {5/2} y {7/2} que se muestran arriba tienen membranas (no rellenas), mientras que los cupoloides {5/4} y {7/4} que se muestran arriba no las tienen.
La altura h de una { n / d } -cúpula o cupoloide viene dada por la fórmula: En particular, h = 0 en los límites n / d = 6 y n / d = 6/5 , y h se maximiza en n / d = 2 (en la cúpula digonal : el prisma triangular, donde los triángulos están en posición vertical). [1] [2]
En las imágenes de arriba, a las cúpulas estelares se les ha dado un esquema de colores consistente para ayudar a identificar sus caras: el gono de base { n / d } es rojo, el gono de base {2 n / d } es amarillo, los cuadrados son azules y los triángulos son verdes. Los cupoloides tienen el gono de base { n / d } rojo, los cuadrados amarillos y los triángulos azules, ya que se ha retirado el gono de base {2 n / d } .
Las hipercúpulas o cúpulas poliédricas son una familia de policoras (en este caso figuras de cuatro dimensiones) no uniformes y convexas , análogas a las cúpulas. Cada una de ellas tiene como base un sólido platónico y su expansión . [3]
![{\displaystyle {\begin{array}{rllcc}V_{2j-1}:&{\biggl (}r_{b}\cos \left({\frac {2\pi (j-1)}{n}}+\alpha \right),&r_{b}\sin \left({\frac {2\pi (j-1)}{n}}+\alpha \right),&0{\biggr )}\\[2pt]V_{2j}:&{\biggl (}r_{b}\cos \left({\frac {2\pi j}{n}}-\alpha \right),&r_{b}\sin \left({\frac {2\pi j}{n}}-\alpha \right),&0{\biggr )}\\[2pt]V_{2n+j}:&{\biggl (}r_{t}\cos {\frac {\pi j}{n}},&r_{t}\sin {\frac {\pi j}{n}},&h{\biggr )}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9115be8c669d2bcc7ed3166bd318fbcd1f464061)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&r_{b}{\sqrt {\left[\cos \left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)-\cos \alpha \right]^{2}+\left[\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)-\sin \alpha \right]^{2}}}\\[5pt]=\ &r_{b}{\sqrt {\left[\cos ^{2}\left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)-2\cos \left({\tfrac {2pi}{n}}-\alpha \right)\cos \alpha +\cos ^{2}\alpha \right]+\left[\sin ^{2}\left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)-2\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)\sin \alpha +\sin ^{2}\alpha \right]}}\\[5pt]=\ &r_{b}{\sqrt {2\left[1-\cos \left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)\cos \alpha -\sin \left({\tfrac {2\pi }{n}}-\alpha \right)\sin \alpha \right]}}\\[5pt]=\ &r_{b}{\sqrt {2\left[1-\cos \left({\tfrac {2\pi }{n}}-2\alpha \right)\right]}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d7726b4817c42ee9a014c8562fa0a4b796e83b0)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&r_{t}{\sqrt {\left[\cos {\tfrac {\pi }{n}}-1\right]^{2}+\sin ^{2}{\tfrac {\pi }{n}}}}\\[5pt]=\ &r_{t}{\sqrt {\left[\cos ^{2}{\tfrac {\pi }{n}}-2\cos {\tfrac {\pi }{n}}+1\right]+\sin ^{2}{\tfrac {\pi }{n}}}}\\[5pt]=\ &r_{t}{\sqrt {2\left[1-\cos {\tfrac {\pi }{n}}\right]}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85b3d6c41adad4a5830a78883114efa0b0314187)
![{\displaystyle {\begin{aligned}r_{b}&={\frac {s}{\sqrt {2\left[1-\cos \left({\tfrac {2\pi }{n}}-2\alpha \right)\right]}}}\\[4pt]r_{t}&={\frac {s}{\sqrt {2\left[1-\cos {\tfrac {\pi }{n}}\right]}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/708562f3c88c7adfcd25bf632d98106c0abe8e62)
