Teorema de Donsker

Afirmación sobre la teoría de la probabilidad

Principio de invariancia de Donsker para una caminata aleatoria simple en . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

En teoría de la probabilidad , el teorema de Donsker (también conocido como principio de invariancia de Donsker o teorema del límite central funcional ), llamado así por Monroe D. Donsker , es una extensión funcional del teorema del límite central para funciones de distribución empírica. Específicamente, el teorema establece que una versión apropiadamente centrada y escalada de la función de distribución empírica converge a un proceso gaussiano .

Sea una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (iid) con media 0 y varianza 1. Sea . El proceso estocástico se conoce como paseo aleatorio . Defina el paseo aleatorio reescalado de forma difusa (proceso de suma parcial) mediante ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$ ${\displaystyle S_{n}:=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$ ${\displaystyle S:=(S_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle W^{(n)}(t):={\frac {S_{\lfloor nt\rfloor }}{\sqrt {n}}},\qquad t\in [0,1].}$

El teorema del límite central afirma que converge en distribución a una variable aleatoria gaussiana estándar como . El principio de invariancia de Donsker ^{[1] [2]} extiende esta convergencia a toda la función . Más precisamente, en su forma moderna, el principio de invariancia de Donsker establece que: Como variables aleatorias que toman valores en el espacio de Skorokhod , la función aleatoria converge en distribución a un movimiento browniano estándar como ${\displaystyle W^{(n)}(1)}$ ${\displaystyle W(1)}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle W^{(n)}:=(W^{(n)}(t))_{t\in [0,1]}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}[0,1]}$ ${\displaystyle W^{(n)}}$ ${\displaystyle W:=(W(t))_{t\in [0,1]}}$ ${\displaystyle n\to \infty .}$

Teorema de Donsker-Skorokhod-Kolmogorov para distribuciones uniformes.

Teorema de Donsker-Skorokhod-Kolmogorov para distribuciones normales

Declaración formal

Sea F _n la función de distribución empírica de la secuencia de variables aleatorias iid con función de distribución F. Defina la versión centrada y escalada de F _n mediante ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$

${\displaystyle G_{n}(x)={\sqrt {n}}(F_{n}(x)-F(x))}$

indexado por x  ∈  R . Por el teorema clásico del límite central , para x fijo , la variable aleatoria G _n ( x ) converge en distribución a una variable aleatoria gaussiana (normal) G ( x ) con media cero y varianza F ( x )(1 −  F ( x )) a medida que el tamaño de la muestra n crece.

Teorema (Donsker, Skorokhod, Kolmogorov) La secuencia de G _n ( x ), como elementos aleatorios del espacio de Skorokhod , converge en distribución a un proceso gaussiano G con media cero y covarianza dada por ${\displaystyle {\mathcal {D}}(-\infty ,\infty )}$

${\displaystyle \operatorname {cov} [G(s),G(t)]=E[G(s)G(t)]=\min\{F(s),F(t)\}-F(s)}$ ${\displaystyle {F}(t).}$

El proceso G ( x ) se puede escribir como B ( F ( x )) donde B es un puente browniano estándar en el intervalo unitario.

Boceto de prueba

Para distribuciones de probabilidad continuas, se reduce al caso en que la distribución es uniforme mediante la transformada inversa . ${\displaystyle [0,1]}$

Dada cualquier secuencia finita de tiempos , tenemos que se distribuye como una distribución binomial con media y varianza . ${\displaystyle 0<t_{1}<t_{2}<\dots <t_{n}<1}$ ${\displaystyle NF_{N}(t_{1})}$ ${\displaystyle Nt_{1}}$ ${\displaystyle Nt_{1}(1-t_{1})}$

De manera similar, la distribución conjunta de es una distribución multinomial. Ahora bien, la aproximación del límite central para distribuciones multinomiales muestra que converge en la distribución a un proceso gaussiano con matriz de covarianza con entradas , que es precisamente la matriz de covarianza para el puente browniano. ${\displaystyle F_{N}(t_{1}),F_{N}(t_{2}),\dots ,F_{N}(t_{n})}$ ${\displaystyle \lim _{N}{\sqrt {N}}(F_{N}(t_{i})-t_{i})}$ ${\displaystyle \min(t_{i},t_{j})-t_{i}t_{j}}$

Historial y resultados relacionados

Kolmogorov (1933) demostró que cuando F es continua , el supremo y el supremo del valor absoluto convergen en distribución a las leyes de los mismos funcionales del puente browniano B ( t ), véase la prueba de Kolmogorov-Smirnov . En 1949, Doob preguntó si la convergencia en distribución se mantenía para funcionales más generales, formulando así un problema de convergencia débil de funciones aleatorias en un espacio de funciones adecuado . ^[3] ${\displaystyle \scriptstyle \sup _{t}G_{n}(t)}$ ${\displaystyle \scriptstyle \sup _{t}|G_{n}(t)|}$

En 1952, Donsker formuló y demostró (no del todo correctamente) ^[4] una extensión general del enfoque heurístico de Doob-Kolmogorov. En el artículo original, Donsker demostró que la convergencia en la ley de G _n al puente browniano se cumple para distribuciones uniformes [0,1] con respecto a la convergencia uniforme en t sobre el intervalo [0,1]. ^[2]

Sin embargo, la formulación de Donsker no era del todo correcta debido al problema de la mensurabilidad de los funcionales de los procesos discontinuos. En 1956, Skorokhod y Kolmogorov definieron una métrica separable d , llamada métrica de Skorokhod , en el espacio de funciones càdlàg en [0,1], de modo que la convergencia para d a una función continua es equivalente a la convergencia para la norma sup , y demostraron que G _n converge en la ley en el puente browniano. ${\displaystyle {\mathcal {D}}[0,1]}$

Más tarde, Dudley reformuló el resultado de Donsker para evitar el problema de la mensurabilidad y la necesidad de la métrica de Skorokhod. Se puede demostrar ^[4] que existen X _i , iid uniforme en [0,1] y una secuencia de puentes brownianos muestrales continuos B _n , tales que

${\displaystyle \|G_{n}-B_{n}\|_{\infty }}$

es medible y converge en probabilidad a 0. Una versión mejorada de este resultado, que proporciona más detalles sobre la tasa de convergencia, es la aproximación de Komlós–Major–Tusnády .

Véase también

• Teorema de Glivenko-Cantelli
• Prueba de Kolmogorov-Smirnov

Referencias

1. Donsker, MD (1951). "Un principio de invariancia para ciertos teoremas de límite de probabilidad". Memorias de la American Mathematical Society (6). MR  0040613.
2. Donsker, MD (1952). "Justificación y extensión del enfoque heurístico de Doob a los teoremas de Kolmogorov-Smirnov". Anales de estadística matemática . 23 (2): 277–281. doi : 10.1214/aoms/1177729445 . MR  0047288. Zbl  0046.35103.
3. Doob, Joseph L. (1949). "Enfoque heurístico de los teoremas de Kolmogorov-Smirnov". Anales de estadística matemática . 20 (3): 393–403. doi : 10.1214/aoms/1177729991 . MR  0030732. Zbl  0035.08901.
4. Dudley, RM (1999). Teoremas del límite central uniforme . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46102-3.