La notación polaca ( PN ), también conocida como notación polaca normal ( NPN ), [1] notación de Łukasiewicz , notación de Varsovia , notación de prefijo polaca o simplemente notación de prefijo , es una notación matemática en la que los operadores preceden a sus operandos , en contraste con la notación infija más común , en la que los operadores se colocan entre los operandos, así como la notación polaca inversa (RPN), en la que los operadores siguen a sus operandos. No necesita ningún paréntesis siempre que cada operador tenga un número fijo de operandos . La descripción "polaca" se refiere a la nacionalidad del lógico Jan Łukasiewicz , [2] : 24 [3] : 78 [4] que inventó la notación polaca en 1924. [5] : 367, Nota al pie 3 [6] : 180, Nota al pie 3
El término notación polaca a veces se toma (como el opuesto de notación infija ) para incluir también la notación polaca inversa. [7]
Cuando los intérpretes de lenguajes de programación utilizan la notación polaca como sintaxis para expresiones matemáticas , se puede analizar fácilmente en árboles sintácticos abstractos y, de hecho, se puede definir una representación uno a uno de los mismos. Por este motivo, Lisp (ver más abajo) y otros lenguajes de programación relacionados definen toda su sintaxis en notación de prefijo (y otros utilizan notación de posfijo).
Una cita de un artículo de Jan Łukasiewicz de 1931 [5] : 367, Nota al pie 3 [6] : 180, Nota al pie 3 indica cómo se inventó la notación:
La idea de una notación sin paréntesis se me ocurrió en 1924. Utilicé esa notación por primera vez en mi artículo Łukasiewicz (1), p. 610, nota a pie de página.
La referencia citada por Łukasiewicz, es decir, Łukasiewicz (1), [8] es aparentemente un informe litografiado en polaco . El artículo de referencia [5] de Łukasiewicz fue revisado por Henry A. Pogorzelski en el Journal of Symbolic Logic en 1965. [9] Heinrich Behmann , editor en 1924 del artículo de Moses Schönfinkel , [10] ya tenía la idea de eliminar los paréntesis en las fórmulas lógicas. En uno de sus artículos, Łukasiewicz afirmó que su notación es la más compacta y la primera notación libre de paréntesis escrita linealmente, pero no la primera, ya que Gottlob Frege propuso su notación Begriffsschrift libre de paréntesis ya en 1879. [11]
Alonzo Church menciona esta notación en su libro clásico sobre lógica matemática como digna de mención en los sistemas de notación, incluso en contraste con la exposición de notación lógica de Alfred Whitehead y Bertrand Russell y su trabajo en Principia Mathematica . [12]
En el libro de 1951 de Łukasiewicz, La silogística de Aristóteles desde el punto de vista de la lógica formal moderna , menciona que el principio de su notación era escribir los funtores antes de los argumentos para evitar paréntesis y que había empleado su notación en sus artículos de lógica desde 1929. [3] : 78 Luego continúa citando, como ejemplo, un artículo de 1930 que escribió con Alfred Tarski sobre el cálculo oracional . [13]
Aunque ya no se utiliza mucho en lógica, [14] la notación polaca ha encontrado desde entonces un lugar en la informática .
La expresión para sumar los números 1 y 2 se escribe en notación polaca como + 1 2 (prefijo), en lugar de como 1 + 2 (infijo). En expresiones más complejas, los operadores aún preceden a sus operandos, pero los operandos pueden ser expresiones que incluyan nuevamente operadores y sus operandos. Por ejemplo, la expresión que se escribiría en notación infija convencional como
se puede escribir en notación polaca como
Suponiendo una aridad dada de todos los operadores involucrados (aquí el "−" denota la operación binaria de resta, no la función unaria de cambio de signo), cualquier representación de prefijo bien formada es inequívoca y los corchetes dentro de la expresión de prefijo son innecesarios. Por lo tanto, la expresión anterior se puede simplificar aún más a
El procesamiento del producto se pospone hasta que estén disponibles sus dos operandos (es decir, 5 menos 6 y 7). Como en cualquier notación, las expresiones más internas se evalúan primero, pero en la notación polaca esta "extremidad interna" se puede transmitir mediante la secuencia de operadores y operandos en lugar de mediante corchetes.
En la notación infija convencional, se requieren paréntesis para anular las reglas de precedencia estándar , ya que, haciendo referencia al ejemplo anterior, moverlos
o eliminarlos
cambia el significado y el resultado de la expresión. Esta versión está escrita en notación polaca como
Cuando se trata de operaciones no conmutativas, como la división o la resta, es necesario coordinar la disposición secuencial de los operandos con la definición de cómo el operador toma sus argumentos, es decir, de izquierda a derecha. Por ejemplo, ÷ 10 5 , con 10 a la izquierda de 5, tiene el significado de 10 ÷ 5 (que se lee como "dividir 10 por 5"), o − 7 6 , con 7 a la izquierda de 6, tiene el significado de 7 − 6 (que se lee como "restar de 7 el operando 6").
La notación de prefijo/postfijo es especialmente popular por su capacidad innata de expresar el orden de operaciones deseado sin la necesidad de paréntesis y otras reglas de precedencia, como se emplean habitualmente con la notación de infijo . En cambio, la notación indica de forma única qué operador evaluar primero. Se supone que cada operador tiene una aridad fija y se supone que todos los operandos necesarios se dan explícitamente. Una expresión de prefijo válida siempre empieza con un operador y termina con un operando. La evaluación puede proceder de izquierda a derecha o en la dirección opuesta. Empezando por la izquierda, la cadena de entrada, que consta de tokens que denotan operadores u operandos, se introduce token por token en una pila , hasta que las entradas superiores de la pila contienen el número de operandos que se ajusta al operador superior (inmediatamente debajo). Este grupo de tokens en la parte superior de la pila (el último operador apilado y el número correspondiente de operandos) se reemplaza por el resultado de ejecutar el operador en estos/este operando(s). Luego, el procesamiento de la entrada continúa de esta manera. El operando más a la derecha en una expresión de prefijo válida vacía la pila, excepto el resultado de evaluar toda la expresión. Cuando se comienza por la derecha, el empuje de tokens se realiza de manera similar, solo que la evaluación se activa mediante un operador, que encuentra el número apropiado de operandos que se ajustan a su aridad ya en la parte superior de la pila. Ahora, el token más a la izquierda de una expresión de prefijo válida debe ser un operador, que se ajuste al número de operandos en la pila, lo que nuevamente produce el resultado. Como se puede ver en la descripción, un almacenamiento de empuje hacia abajo sin capacidad de inspección de pila arbitraria es suficiente para implementar este análisis .
La manipulación de pila esbozada anteriormente funciona (con entrada reflejada) también para expresiones en notación polaca inversa .
La siguiente tabla muestra el núcleo de la notación de Jan Łukasiewicz en la lógica moderna. Algunas letras de la tabla de notación polaca representan palabras específicas en polaco , como se muestra:
Obsérvese que los cuantificadores abarcaron valores proposicionales en el trabajo de Łukasiewicz sobre lógicas multivaluadas.
Bocheński introdujo un sistema de notación polaca que nombra los 16 conectivos binarios de la lógica proposicional clásica . [18] : 16 Para la lógica proposicional clásica, es una extensión compatible de la notación de Łukasiewicz. Pero las notaciones son incompatibles en el sentido de que Bocheński usa y (para no implicación y no implicación inversa) en lógica proposicional y Łukasiewicz usa y en lógica modal.
La notación de prefijo ha sido ampliamente utilizada en las expresiones S de Lisp , donde los paréntesis son necesarios ya que los operadores en el lenguaje son en sí mismos datos ( funciones de primera clase ). Las funciones de Lisp también pueden ser variádicas . El lenguaje de programación Tcl , al igual que Lisp, también utiliza la notación polaca a través de la biblioteca mathop. El lenguaje de programación Ambi [19] utiliza la notación polaca para operaciones aritméticas y construcción de programas. La sintaxis de filtro LDAP utiliza la notación de prefijo polaca. [20]
La notación sufija se utiliza en muchos lenguajes de programación orientados a la pila, como PostScript y Forth . La sintaxis de CoffeeScript también permite llamar a funciones mediante notación de prefijo, a la vez que sigue siendo compatible con la sintaxis sufija unaria común en otros lenguajes.
El número de valores de retorno de una expresión es igual a la diferencia entre el número de operandos en una expresión y la aridad total de los operadores menos el número total de valores de retorno de los operadores.
La notación polaca, normalmente en forma sufija, es la notación elegida por ciertas calculadoras , en particular las de Hewlett-Packard . [21] En un nivel inferior, los operadores sufijos son utilizados por algunas máquinas de pila como los grandes sistemas de Burroughs .
Die ältesten Texte in den 'Selected Works', in denen Łukasiewicz polnische Notation verwendet, datieren relativ spät, sind aber Präsentationen vorangehender Arbeiten, die 'in the course of the years 1920-1930' (S. 131) stattgefunden haben, también Auch keine genauere Zeitangabe geben.
{{cite book}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )[…] Es digna de mención la notación sin paréntesis de Jan Łukasiewicz. En ella, las letras N, A, C, E, K se utilizan en los roles de negación, disyunción, implicación, equivalencia y conjunción respectivamente. […]
[…] La notación polaca o prefija ha caído en desuso dada la dificultad que implica su utilización. […]
Medios relacionados con la notación polaca (matemáticas) en Wikimedia Commons