Geopotencial

Energía relacionada con la gravedad de la Tierra.

El geopotencial es el potencial del campo de gravedad de la Tierra . Por conveniencia se suele definir como el negativo de la energía potencial por unidad de masa , de modo que el vector de gravedad se obtiene como el gradiente del geopotencial, sin la negación. Además del potencial real (el geopotencial), también se puede definir un potencial normal hipotético y su diferencia, el potencial perturbador .

Conceptos

Para aplicaciones geofísicas , la gravedad se distingue de la gravitación . La gravedad se define como la fuerza resultante de la gravitación y la fuerza centrífuga provocada por la rotación de la Tierra . Asimismo, los respectivos potenciales escalares se pueden sumar para formar un potencial efectivo llamado geopotencial . Las superficies de geopotencial constante o isosuperficies del geopotencial se denominan superficies equigeopotenciales (a veces abreviadas como geop ), ^[1] también conocidas como superficies de nivel geopotencial , superficies equipotenciales o simplemente superficies de nivel . ^[2] ${\displaystyle W}$

La superficie media global del mar está cerca de un equigeopotencial llamado geoide . ^[3] En la figura se ilustra cómo la fuerza gravitacional y la fuerza centrífuga se suman para formar una fuerza ortogonal al geoide (no a escala). En una latitud de 50 grados, la compensación entre la fuerza gravitacional (línea roja en la figura) y la vertical local (línea verde en la figura) es de hecho 0,098 grados. Para un punto de masa (atmósfera) en movimiento, la fuerza centrífuga ya no coincide con la gravitacional y la suma vectorial no es exactamente ortogonal a la superficie de la Tierra. Esta es la causa del efecto coriolis del movimiento atmosférico.

Equilibrio entre la fuerza gravitacional y centrífuga en la superficie de la Tierra

El geoide es una superficie suavemente ondulada debido a la distribución irregular de la masa dentro de la Tierra; Sin embargo, puede aproximarse mediante un elipsoide de revolución llamado elipsoide de referencia . El elipsoide de referencia más utilizado actualmente, el del Sistema de Referencia Geodésica 1980 ( GRS80 ), aproxima el geoide a un margen de poco más de ±100 m. Se puede construir un modelo de geopotencial simple que tenga como una de sus superficies equipotenciales este elipsoide de referencia, con el mismo potencial modelo que el potencial verdadero del geoide; este modelo se llama potencial normal . La diferencia se llama potencial perturbador . Muchas cantidades observables del campo de gravedad, como las anomalías de la gravedad y las desviaciones de la vertical ( plomada ), pueden expresarse en este potencial perturbador. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U_{0}}$ ${\displaystyle W_{0}}$ ${\displaystyle T=W-U}$

Fondo

Diagrama de dos masas que se atraen

La ley de gravitación universal de Newton establece que la fuerza gravitacional F que actúa entre dos masas puntuales m ₁ y m ₂ con centro de separación de masas r está dada por

${\displaystyle \mathbf {F} =-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }$

donde G es la constante gravitacional y r̂ es el vector unitario radial . Para un objeto no puntual de distribución de masa continua, cada elemento de masa dm puede tratarse como masa distribuida en un volumen pequeño, por lo que la integral de volumen sobre la extensión del objeto 2 da:

con el potencial gravitacional correspondiente

donde ρ ₂ = ρ( x , y , z ) es la densidad de masa en el elemento de volumen y de la dirección desde el elemento de volumen hasta la masa puntual 1. es la energía potencial gravitacional por unidad de masa. ${\displaystyle u}$

El campo de gravedad de la Tierra se puede derivar de un campo potencial de gravedad ( geopotencial ) de la siguiente manera:

${\displaystyle \mathbf {g} =\nabla W=\mathrm {grad} \ W={\frac {\partial W}{\partial X}}\mathbf {i} +{\frac {\partial W}{\partial Y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial W}{\partial Z}}\mathbf {k} }$

que expresa el vector de aceleración de la gravedad como el gradiente de , el potencial de la gravedad. La tríada de vectores es el conjunto ortonormal de vectores base en el espacio, que apuntan a lo largo de los ejes de coordenadas. Aquí, y son coordenadas geocéntricas . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}}$ ${\displaystyle X,Y,Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$

Formulación

Tanto la gravedad como su potencial contienen una contribución de la pseudofuerza centrífuga debida a la rotación de la Tierra. Podemos escribir

${\displaystyle W=V+\Phi \,}$

donde está el potencial del campo gravitacional , el del campo gravitatorio y el del campo centrífugo . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \Phi }$

Potencial centrífugo

La fuerza centrífuga (por unidad de masa, es decir, aceleración) está dada por

${\displaystyle \mathbf {g} _{c}=\omega ^{2}\mathbf {p} ,}$

dónde

${\displaystyle \mathbf {p} =X\mathbf {i} +Y\mathbf {j} +0\cdot \mathbf {k} }$

es el vector que apunta al punto considerado recto desde el eje de rotación de la Tierra. Se puede demostrar que este campo de pseudofuerza, en un sistema de referencia que gira conjuntamente con la Tierra, tiene un potencial asociado en términos de la velocidad de rotación de la Tierra, ω:

${\displaystyle \Phi ={\frac {1}{2}}\omega ^{2}(X^{2}+Y^{2}).}$

Esto se puede verificar tomando el operador de gradiente ( ) de esta expresión. ${\displaystyle \nabla }$

El potencial centrífugo también se puede expresar en términos de latitud esférica φ y radio geocéntrico r :

${\displaystyle \Phi =0.5\,\omega ^{2}r^{2}\sin ^{2}\phi }$

potencial normal

La Tierra es aproximadamente un elipsoide . Por tanto, es exacto aproximar el geopotencial mediante un campo que tiene el elipsoide de referencia de la Tierra como una de sus superficies equipotenciales.

Al igual que el campo geopotencial real W , el campo normal U (que no debe confundirse con la energía potencial , también U ) se construye como una suma de dos partes:

${\displaystyle U=\Psi +\Phi }$

donde es el potencial gravitacional normal y es el potencial centrífugo. ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Phi }$

Existe una expresión exacta de forma cerrada en términos de coordenadas elipsoidales-armónicas (que no debe confundirse con las coordenadas geodésicas ). ^[4] También se puede expresar como una expansión en serie en términos de coordenadas esféricas; truncar la serie da como resultado: ^[4]

${\displaystyle \Psi \approx (GM/r)(1-(a/r)^{2}J_{2}((3/2)\cos ^{2}(\phi )-1/2))}$

donde a es el semieje mayor y J ₂ es el segundo factor de forma dinámica . ^[4]

El elipsoide de referencia terrestre más reciente es el GRS80 , o Sistema de Referencia Geodésica de 1980, que el sistema de Posicionamiento Global utiliza como referencia. Sus parámetros geométricos son: semieje mayor a  = 6378137,0 m, y aplanamiento f  = 1/298,257222101. Si también requerimos que la masa encerrada sea igual a la masa conocida de la Tierra (incluida la atmósfera) GM = 3986005 × 10 ⁸ m ³ ·s ⁻² , obtenemos para el potencial en el elipsoide de referencia:

${\displaystyle U_{0}=62636860.850\ {\textrm {m}}^{2}\,{\textrm {s}}^{-2}}$

Obviamente, este valor depende del supuesto de que el potencial tiende asintóticamente a cero en el infinito ( ), como es común en física. A efectos prácticos, tiene más sentido elegir el punto cero de la gravedad normal como el del elipsoide de referencia y referir los potenciales de otros puntos a este. ${\displaystyle R\rightarrow \infty }$

Potencial perturbador

Una vez que se ha construido un campo geopotencial limpio y uniforme que combine el elipsoide de referencia GRS80 conocido con una superficie equipotencial (llamamos a dicho campo potencial normal ), podemos restarlo del potencial verdadero (medido) de la Tierra real. El resultado se define como T , el potencial perturbador : ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle T=W-U}$

El potencial perturbador T es numéricamente mucho más pequeño que U o W , y captura las variaciones detalladas y complejas del verdadero campo de gravedad de la Tierra realmente existente de punto a punto, a diferencia de la tendencia global general capturada por el suave elipsoide matemático del potencial normal.

Número geopotencial

En trabajos prácticos terrestres, por ejemplo, nivelación , se utiliza una versión alternativa del geopotencial llamada número de geopotencial , que se cuenta desde el geoide hacia arriba: ¿dónde está el geopotencial del geoide? ${\displaystyle C}$ $${\displaystyle C=-\left(W-W_{0}\right),}$$ ${\displaystyle W_{0}}$

Caso simple: esfera simétrica no giratoria

En el caso especial de una esfera con una densidad de masa esféricamente simétrica, entonces ρ = ρ( s ); es decir, la densidad depende sólo de la distancia radial

${\displaystyle s={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,.}$

Estas integrales se pueden evaluar analíticamente. Este es el teorema de la capa que dice que en este caso:

con potencial correspondiente

donde M = ∫ _V ρ( s ) dxdydz es la masa total de la esfera.

A los efectos de la mecánica orbital de los satélites , el geopotencial se describe normalmente mediante una expansión en serie en armónicos esféricos ( representación espectral ). En este contexto se toma el geopotencial como el potencial del campo gravitacional de la Tierra, es decir, dejando de lado el potencial centrífugo. Resolviendo el geopotencial en el caso simple de una esfera no giratoria, en unidades de [m ² /s ² ] o [J/kg]: ^[5] $${\displaystyle \Psi (h)=\int _{0}^{h}g\,dz}$$ $${\displaystyle \Psi =\int _{0}^{z}\left[{\frac {Gm}{(a+z)^{2}}}\right]dz}$$

Integrate para llegar a donde: $${\displaystyle \Psi =Gm\left[{\frac {1}{a}}-{\frac {1}{a+z}}\right]}$$

• GRAMO =6,673 × 10 ⁻¹¹  Nm ² /kg ² es la constante gravitacional,
• metro =5,975 × 10 ²⁴  kg es la masa de la tierra,
• un =6,378 × 10 ⁶  m es el radio promedio de la Tierra,
• z es la altura geométrica en metros

Ver también

• altura dinámica
• geoide
• Altura geopotencial
• Modelo geopotencial
• gravedad normal
• Geodesia física

Referencias

1. Hooijberg, M. (2007). Geodesia geométrica: uso de la información y la tecnología informática. Springer Berlín Heidelberg. pag. 9.ISBN​ 978-3-540-68225-7. Consultado el 11 de septiembre de 2023 .
2. "Geopotencial". ametsoc.com . Consultado el 14 de abril de 2023 .
3. Heiskanen, Weikko Aleksanteri ; Moritz, Helmut (1967). Geodesia física . WH Freeman . ISBN 0-7167-0233-9.
4. Torge, Geodesia. 3ª edición. 2001.
5. Holton, James R. (2004). Introducción a la meteorología dinámica (4ª ed.). Burlington: Elsevier . ISBN 0-12-354015-1.