matriz definida

Propiedad de una matriz matemática

En matemáticas , una matriz simétrica con entradas reales es positiva-definida si el número real es positivo para cada vector columna real distinto de cero donde está el vector fila transpuesto de ^[1] Más generalmente, una matriz hermitiana (es decir, una matriz compleja igual a su transpuesta conjugada ) es positiva-definida si el número real es positivo para cada vector columna complejo distinto de cero donde denota la transpuesta conjugada de ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }M\mathbf {x} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {x} \ ,}$ ${\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {x} ~.}$ ${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {z} \ ,}$ ${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {z} ~.}$

Las matrices semidefinidas positivas se definen de manera similar, excepto que se requiere que los escalares y sean positivos o cero (es decir, no negativos). Las matrices definidas negativas y semidefinidas negativas se definen de manera análoga. Una matriz que no es semidefinida positiva ni semidefinida negativa a veces se llama indefinida . ${\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }M\mathbf {x} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \ }$

Ramificaciones

De las definiciones anteriores se deduce que una matriz es definida positiva si y solo si es la matriz de una forma cuadrática definida positiva o forma hermitiana . En otras palabras, una matriz es definida positiva si y sólo si define un producto interno .

Las matrices positivas-definidas y positivas-semidefinidas se pueden caracterizar de muchas maneras, lo que puede explicar la importancia del concepto en varias partes de las matemáticas. Una matriz M es definida positiva si y sólo si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes.

• ${\displaystyle \ M\ }$es congruente con una matriz diagonal con entradas reales positivas.
• ${\displaystyle \ M\ }$es simétrico o hermitiano, y todos sus valores propios son reales y positivos.
• ${\displaystyle \ M\ }$es simétrico o hermitiano, y todos sus menores principales principales son positivos.
• Existe una matriz invertible con transpuesta conjugada tal que ${\displaystyle \ B\ }$ ${\displaystyle \ B^{*}\ }$ ${\displaystyle \ M=B^{*}B~.}$

Una matriz es semidefinida positiva si satisface condiciones equivalentes similares donde "positiva" se reemplaza por "no negativa", "matriz invertible" se reemplaza por "matriz" y se elimina la palabra "principal".

Las matrices reales definidas positivas y semidefinidas positivas están en la base de la optimización convexa , ya que, dada una función de varias variables reales que es dos veces diferenciable , entonces si su matriz de Hesse (matriz de sus segundas derivadas parciales) es definida positiva en un punto entonces la función es convexa cerca de p y, a la inversa, si la función es convexa cerca entonces la matriz de Hesse es semidefinida positiva en ${\displaystyle \ p\ ,}$ ${\displaystyle \ p\ ,}$ ${\displaystyle \ p~.}$

El conjunto de matrices definidas positivas es un cono convexo abierto , mientras que el conjunto de matrices semidefinidas positivas es un cono convexo cerrado . ^[2]

Algunos autores utilizan definiciones más generales de precisión, incluidas algunas matrices reales no simétricas o complejas no hermitianas.

Definiciones

En las siguientes definiciones, es la transpuesta de es la transpuesta conjugada de y denota el vector cero de n dimensiones . ${\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {x} \ ,}$ ${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {z} \ ,}$ ${\displaystyle \ \mathbf {0} \ }$

Definiciones para matrices reales

Se dice que una matriz real simétrica es definida positiva si para todos los valores distintos de cero en Formalmente, ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }M\ \mathbf {x} >0\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {x} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}~.}$

${\displaystyle \ M{\text{ positive-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\top }M\ \mathbf {x} >0{\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}\ }$

Se dice que una matriz real simétrica es positiva-semidefinida o no negativa-definida si para todos en Formalmente, ${\displaystyle \ n\times n\ }$ ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }M\ \mathbf {x} \geq 0\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {x} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}~.}$

${\displaystyle \ M{\text{ positive semi-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\top }M\ \mathbf {x} \geq 0{\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\ }$

Se dice que una matriz real simétrica es definida negativa si para todos los valores distintos de cero en Formalmente, ${\displaystyle \ n\times n\ }$ ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }M\ \mathbf {x} <0\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {x} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}~.}$

${\displaystyle \ M{\text{ negative-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\top }M\ \mathbf {x} <0{\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}\ }$

Se dice que una matriz real simétrica es negativa-semidefinida o no positiva-definida si para todos en Formalmente, ${\displaystyle \ n\times n\ }$ ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }M\ \mathbf {x} \leq 0\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {x} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}~.}$

${\displaystyle M{\text{ negative semi-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\top }M\ \mathbf {x} \leq 0{\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$

Una matriz real simétrica que no es ni semidefinida positiva ni semidefinida negativa se llama indefinida . ${\displaystyle n\times n}$

Definiciones para matrices complejas

Todas las siguientes definiciones involucran el término. Tenga en cuenta que este es siempre un número real para cualquier matriz cuadrada hermitiana. ${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} ~.}$ ${\displaystyle \ M~.}$

Se dice que una matriz compleja hermitiana es definida positiva si para todos los valores distintos de cero en Formalmente, ${\displaystyle \ n\times n\ }$ ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} >0\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {z} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}~.}$

${\displaystyle \ M{\text{ positive-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} >0{\text{ for all }}\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}\ }$

Se dice que una matriz compleja hermitiana es semidefinida positiva o definida no negativa si para todos en Formalmente, ${\displaystyle \ n\times n\ }$ ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} \geq 0\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {z} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}~.}$

${\displaystyle \ M{\text{ positive semi-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} \geq 0{\text{ for all }}\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}\ }$

Se dice que una matriz compleja hermitiana es definida negativa si para todos los valores distintos de cero en Formalmente, ${\displaystyle \ n\times n\ }$ ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} <0\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {z} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}~.}$

${\displaystyle \ M{\text{ negative-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} <0{\text{ for all }}\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}\ }$

Se dice que una matriz compleja hermitiana es semidefinida negativa o no definida positiva si es para todos en Formalmente, ${\displaystyle \ n\times n\ }$ ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} \leq 0\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {z} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}~.}$

${\displaystyle \ M{\text{ negative semi-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} \leq 0{\text{ for all }}\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}\ }$

Una matriz compleja hermitiana que no es ni semidefinida positiva ni semidefinida negativa se llama indefinida . ${\displaystyle \ n\times n\ }$

Coherencia entre definiciones reales y complejas

Dado que toda matriz real es también una matriz compleja, las definiciones de "definición" para las dos clases deben coincidir.

Para matrices complejas, la definición más común dice que es positiva-definida si y sólo si es real y positiva para todos los vectores columna complejos distintos de cero. Esta condición implica que es hermitiana (es decir, su transpuesta es igual a su conjugada), ya que al ser real , es igual a su transpuesta conjugada para cada lo que implica ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} \ }$ ${\displaystyle \mathbf {z} ~.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} }$ ${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}\ M^{*}\ \mathbf {z} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {z} \ ,}$ ${\displaystyle \ M=M^{*}~.}$

Según esta definición, una matriz real definida positiva es hermitiana y, por tanto, simétrica; y es positivo para todos los vectores de columna reales distintos de cero. Sin embargo, la última condición por sí sola no es suficiente para ser positivo-definido. Por ejemplo, si ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{\top }M\ \mathbf {z} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {z} ~.}$ ${\displaystyle \ M\ }$ $${\displaystyle \ M={\begin{bmatrix}~1~&~1~\\-1~&~1~\end{bmatrix}},}$$

luego, para cualquier vector real con entradas , tenemos que siempre es positivo si no es cero. Sin embargo, si es el vector complejo con entradas 1 y se obtiene ${\displaystyle \ \mathbf {z} \ }$ ${\displaystyle \ a\ }$ ${\displaystyle \ b\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{\top }M\ \mathbf {z} =\left(a+b\right)a+\left(-a+b\right)b=a^{2}+b^{2}\ ,}$ ${\displaystyle \ \mathbf {z} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {z} \ }$ ${\displaystyle \ i\ ,}$

$${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\ \mathbf {z} ={\begin{bmatrix}~1~&-i~\end{bmatrix}}\ M\ {\begin{bmatrix}~1~\\~i~\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}~1+i~&~1-i~\end{bmatrix}}\ {\begin{bmatrix}~1~\\~i~\end{bmatrix}}=2+2i~.}$$

lo cual no es real. Por tanto, no es positivo-definido. ${\displaystyle \ M\ }$

Por otro lado, para una matriz real simétrica la condición " para todos los vectores reales distintos de cero implica que es definida positiva en el sentido complejo. ${\displaystyle \ M\ ,}$ ${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{\top }M\ \mathbf {z} >0\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {z} \ }$ ${\displaystyle \ M\ }$

Notación

Si una matriz hermitiana es semidefinida positiva, a veces se escribe y si es definida positiva se escribe Para denotar que es semidefinida negativa se escribe y para denotar que es definida negativa se escribe ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ M\succeq 0\ }$ ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ M\succ 0~.}$ ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ M\preceq 0\ }$ ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ M\prec 0~.}$

La noción proviene del análisis funcional donde matrices semidefinidas positivas definen operadores positivos . Si dos matrices y se satisfacen podemos definir un orden parcial no estricto que es reflexivo , antisimétrico y transitivo ; No es un orden total , sin embargo, como en general, puede ser indefinido. ${\displaystyle \ A\ }$ ${\displaystyle \ B\ }$ ${\displaystyle \ B-A\succeq 0\ ,}$ ${\displaystyle \ B\succeq A\ }$ ${\displaystyle \ B-A\ ,}$

Una notación alternativa común es y para matrices positivas semidefinidas y positivas definidas, negativas semidefinidas y negativas definidas, respectivamente. Esto puede resultar confuso, ya que a veces las matrices no negativas (respectivamente, las matrices no positivas) también se denotan de esta manera. ${\displaystyle \ M\geq 0\ ,}$ ${\displaystyle \ M>0\ ,}$ ${\displaystyle \ M\leq 0\ ,}$ ${\displaystyle \ M<0\ }$

Ejemplos

• La matriz identidad es positiva-definida (y como tal también positiva semidefinida). Es una matriz simétrica real y, para cualquier vector columna z distinto de cero con entradas reales a y b , se tiene ${\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$

  $${\displaystyle \mathbf {z} ^{\top }I\mathbf {z} ={\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a^{2}+b^{2}.}$$Visto como una matriz compleja, para cualquier vector de columna z distinto de cero con entradas complejas a y b se tiene $${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}I\mathbf {z} ={\begin{bmatrix}{\overline {a}}&{\overline {b}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}={\overline {a}}a+{\overline {b}}b=|a|^{2}+|b|^{2}.}$$

  De cualquier manera, el resultado es positivo ya que no es el vector cero (es decir, al menos uno de y no es cero). ${\displaystyle \mathbf {z} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$
• La matriz simétrica real es definida positiva ya que para cualquier vector columna z distinto de cero con entradas a , b y c , tenemos. Este resultado es una suma de cuadrados y, por lo tanto, no negativo; y es cero sólo si es decir, cuando es el vector cero. $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {z} ^{\top }M\mathbf {z} =\left(\mathbf {z} ^{\top }M\right)\mathbf {z} &={\begin{bmatrix}(2a-b)&(-a+2b-c)&(-b+2c)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}\\&=(2a-b)a+(-a+2b-c)b+(-b+2c)c\\&=2a^{2}-ba-ab+2b^{2}-cb-bc+2c^{2}\\&=2a^{2}-2ab+2b^{2}-2bc+2c^{2}\\&=a^{2}+a^{2}-2ab+b^{2}+b^{2}-2bc+c^{2}+c^{2}\\&=a^{2}+(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+c^{2}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \ a=b=c=0\ ,}$ ${\displaystyle \ \mathbf {z} \ }$
• Para cualquier matriz real invertible, el producto es una matriz definida positiva (si las medias de las columnas de A son 0, entonces también se llama matriz de covarianza ). Una prueba simple es que para cualquier vector distinto de cero la condición ya que la invertibilidad de la matriz significa que ${\displaystyle \ A\ ,}$ ${\displaystyle \ A^{\top }A\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {z} \ ,}$ ${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{\top }A^{\top }A\mathbf {z} =(A\mathbf {z} )^{\top }(A\mathbf {z} )=\|A\mathbf {z} \|^{2}>0\ ,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\mathbf {z} \neq 0~.}$
• El ejemplo anterior muestra que una matriz en la que algunos elementos son negativos aún puede ser definida positiva. Por el contrario, una matriz cuyas entradas son todas positivas no es necesariamente definida positiva, como por ejemplo para la cual ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle \ N={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}\ ,}$$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&1\end{bmatrix}}N{\begin{bmatrix}-1&1\end{bmatrix}}^{\top }=-2<0~.}$

Valores propios

Sea una matriz hermitiana (esto incluye matrices simétricas reales ). Todos los valores propios de son reales y su signo caracteriza su precisión: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle M}$es positivo definido si y sólo si todos sus valores propios son positivos.
• ${\displaystyle M}$es semidefinido positivo si y sólo si todos sus valores propios son no negativos.
• ${\displaystyle M}$es definida negativa si y sólo si todos sus valores propios son negativos
• ${\displaystyle M}$es semidefinido negativo si y solo si todos sus valores propios no son positivos.
• ${\displaystyle M}$es indefinido si y sólo si tiene valores propios positivos y negativos.

Sea una descomposición propia de donde es una matriz compleja unitaria cuyas columnas comprenden una base ortonormal de vectores propios de y es una matriz diagonal real cuya diagonal principal contiene los valores propios correspondientes . La matriz puede considerarse como una matriz diagonal que ha sido reexpresada en coordenadas de la base (vectores propios). Dicho de otra manera, aplicar a algún vector dando es lo mismo que cambiar la base al sistema de coordenadas del vector propio usando dar y aplicar la transformación de estiramiento a el resultado, dando y luego cambiando la base nuevamente usando dar ${\displaystyle \ PDP^{-1}\ }$ ${\displaystyle \ M\ ,}$ ${\displaystyle \ P\ }$ ${\displaystyle \ M\ ,}$ ${\displaystyle \ D\ }$ ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ D\ }$ ${\displaystyle \ P~.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ \mathbf {z} \ ,}$ ${\displaystyle \ M\mathbf {z} \ ,}$ ${\displaystyle \ P^{-1}\ ,}$ ${\displaystyle \ P^{-1}\mathbf {z} \ ,}$ ${\displaystyle \ D\ }$ ${\displaystyle \ DP^{-1}\mathbf {z} \ ,}$ ${\displaystyle \ P\ ,}$ ${\displaystyle \ PDP^{-1}\mathbf {z} ~.}$

Teniendo esto en cuenta, el cambio de variable uno a uno muestra que es real y positivo para cualquier vector complejo si y sólo si es real y positivo para cualquiera , es decir, si es positivo definido. Para una matriz diagonal, esto es cierto sólo si cada elemento de la diagonal principal (es decir, cada valor propio de ) es positivo. Dado que el teorema espectral garantiza que todos los valores propios de una matriz hermitiana sean reales, la positividad de los valores propios se puede comprobar utilizando la regla de alternancia de signos de Descartes cuando el polinomio característico de una matriz simétrica real está disponible. ${\displaystyle \ \mathbf {y} =P\mathbf {z} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {z} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {y} ^{*}D\mathbf {y} \ }$ ${\displaystyle \ y\ ;}$ ${\displaystyle \ D\ }$ ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ M\ }$

Descomposición

Sea una matriz hermitiana . es semidefinido positivo si y sólo si se puede descomponer como producto de una matriz con su transpuesta conjugada . ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ n\times n\ }$ ${\displaystyle \ M\ }$ $${\displaystyle \ M=B^{*}B\ }$$ ${\displaystyle \ B\ }$

Cuando es real, también puede ser real y la descomposición se puede escribir como ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ B\ }$ $${\displaystyle \ M=B^{\top }B~.}$$

${\displaystyle M}$es positivo definido si y sólo si tal descomposición existe con invertible . De manera más general, es semidefinida positiva con rango si y sólo si existe una descomposición con una matriz de rango de fila completa (es decir, de rango ). Además, para cualquier descomposición ^[3] ${\displaystyle \ B\ }$ ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ k\ }$ ${\displaystyle \ k\times n\ }$ ${\displaystyle \ B\ }$ ${\displaystyle \ k\ }$ ${\displaystyle \ M=B^{*}B\ ,}$ ${\displaystyle \ \operatorname {rank} (M)=\operatorname {rank} (B)~.}$

Prueba

Si entonces es así , es semidefinido positivo. Si además es invertible entonces la desigualdad es estricta por lo que es definida positiva. Si es de rango entonces ${\displaystyle \ M=B^{*}B\ ,}$ ${\displaystyle \ x^{*}Mx=(x^{*}B^{*})(Bx)=\|Bx\|^{2}\geq 0\ ,}$ ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \ x\neq 0\ ,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k\times n}$ ${\displaystyle \ k\ ,}$ ${\displaystyle \ \operatorname {rank} (M)=\operatorname {rank} (B^{*})=k~.}$

En la otra dirección, supongamos que es semidefinida positiva. Como es hermitiana, tiene una descomposición propia donde es unitaria y es una matriz diagonal cuyas entradas son los valores propios de. Dado que es semidefinida positiva, los valores propios son números reales no negativos, por lo que se puede definir como la matriz diagonal cuyas entradas son no negativas. raíces cuadradas de valores propios. Entonces , si además es positivo definido, entonces los valores propios son (estrictamente) positivos, por lo que es invertible y, por tanto, también es invertible. Si tiene rango , entonces tiene valores propios exactamente positivos y los demás son cero, por lo tanto, en todos, excepto en las filas, todos están a cero. Al cortar las filas cero se obtiene una matriz tal que ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ M=Q^{-1}DQ\ }$ ${\displaystyle \ Q\ }$ ${\displaystyle \ D\ }$ ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ D^{\frac {1}{2}}\ }$ ${\displaystyle \ M=Q^{-1}DQ=Q^{*}DQ=Q^{*}D^{\frac {1}{2}}D^{\frac {1}{2}}Q=Q^{*}D^{{\frac {1}{2}}*}D^{\frac {1}{2}}Q=B^{*}B\ }$ ${\displaystyle \ B=D^{\frac {1}{2}}Q~.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ D^{\frac {1}{2}}\ }$ ${\displaystyle \ B=D^{\frac {1}{2}}Q\ }$ ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ k\ ,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \ B=D^{\frac {1}{2}}Q\ }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \ k\times n\ }$ ${\displaystyle \ B'\ }$ ${\displaystyle \ B'^{*}B'=B^{*}B=M~.}$

Las columnas de pueden verse como vectores en el espacio vectorial complejo o real , respectivamente. Entonces las entradas de son productos internos (es decir, productos escalares , en el caso real) de estos vectores. En otras palabras, una matriz hermitiana es semidefinida positiva si y sólo si es la matriz de Gram de algunos vectores. Es definida positiva si y sólo si es la matriz de Gram de algunos vectores linealmente independientes . En general, el rango de la matriz de Gram de vectores es igual a la dimensión del espacio abarcado por estos vectores. ^[4] ${\displaystyle \ b_{1},\dots ,b_{n}\ }$ ${\displaystyle \ B\ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{k}\ ,}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle \ M_{ij}=\langle b_{i},b_{j}\rangle ~.}$$ ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ b_{1},\dots ,b_{n}~.}$ ${\displaystyle \ b_{1},\dots ,b_{n}\ }$

Unicidad hasta transformaciones unitarias.

La descomposición no es única: si para alguna matriz y si es cualquier matriz unitaria (es decir , ), entonces para ${\displaystyle \ M=B^{*}B\ }$ ${\displaystyle \ k\times n\ }$ ${\displaystyle \ B\ }$ ${\displaystyle \ Q\ }$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle \ Q^{*}Q=QQ^{*}=I\ }$ ${\displaystyle \ M=B^{*}B=B^{*}Q^{*}QB=A^{*}\ }$ ${\displaystyle \ A=QB~.}$

Sin embargo, sólo así pueden diferenciarse dos descomposiciones: la descomposición es única hasta transformaciones unitarias . Más formalmente, si es una matriz y es una matriz tal que entonces hay una matriz con columnas ortonormales (es decir ) tal que ^[5] Cuando esta significa es unitaria . ${\displaystyle \ A\ }$ ${\displaystyle \ k\times n\ }$ ${\displaystyle \ B\ }$ ${\displaystyle \ \ell \times n\ }$ ${\displaystyle \ A^{*}A=B^{*}B\ ,}$ ${\displaystyle \ \ell \times k\ }$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \ Q^{*}Q=I_{k\times k}\ }$ ${\displaystyle \ B=QA~.}$ ${\displaystyle \ell =k}$ ${\displaystyle Q}$

Esta afirmación tiene una interpretación geométrica intuitiva en el caso real: sean las columnas de y sean los vectores y en Una matriz unitaria real es una matriz ortogonal , que describe una transformación rígida (una isometría del espacio euclidiano ) que preserva el punto 0 (es decir, rotaciones) . y reflexiones , sin traducciones). Por lo tanto, los productos escalares y son iguales si y sólo si alguna transformación rígida de transforma los vectores en (y 0 en 0). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle \ b_{1},\dots ,b_{n}\ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{k}~.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle a_{i}\cdot a_{j}}$ ${\displaystyle b_{i}\cdot b_{j}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$

Raíz cuadrada

Una matriz hermitiana es semidefinida positiva si y solo si hay una matriz semidefinida positiva (en particular es hermitiana, por lo tanto ) que satisface Esta matriz es única, ^[6] se llama raíz cuadrada no negativa de y se denota con Cuando es definida positiva , por lo que también se le llama raíz cuadrada positiva de ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ B\ }$ ${\displaystyle \ B\ }$ ${\displaystyle \ B^{*}=B\ }$ ${\displaystyle \ M=BB~.}$ ${\displaystyle \ B\ }$ ${\displaystyle \ M\ ,}$ ${\displaystyle \ B=M^{\frac {1}{2}}~.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ M^{\frac {1}{2}}\ ,}$ ${\displaystyle \ M~.}$

La raíz cuadrada no negativa no debe confundirse con otras descomposiciones. Algunos autores usan el nombre de raíz cuadrada y para cualquier descomposición de este tipo, o específicamente para la descomposición de Cholesky , o cualquier descomposición de la forma, otros solo lo usan para la raíz cuadrada no negativa. . ${\displaystyle \ M=B^{*}B~.}$ ${\displaystyle M^{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \ M=BB\ ;}$

si entonces ${\displaystyle \ M>N>0\ }$ ${\displaystyle \ M^{\frac {1}{2}}>N^{\frac {1}{2}}>0~.}$

Descomposición de Cholesky

Una matriz semidefinida positiva hermitiana se puede escribir como donde es triangular inferior con diagonal no negativa (de manera equivalente, donde es triangular superior); esta es la descomposición de Cholesky . Si es positiva definida, entonces la diagonal de es positiva y la descomposición de Cholesky es única. Por el contrario, si es triangular inferior con diagonal no negativa, entonces es semidefinida positiva. La descomposición de Cholesky es especialmente útil para cálculos numéricos eficientes. Una descomposición estrechamente relacionada es la descomposición de LDL , donde es diagonal y es unitriangular inferior . ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ M=LL^{*}\ ,}$ ${\displaystyle \ L\ }$ ${\displaystyle M=B^{*}B}$ ${\displaystyle \ B=L^{*}\ }$ ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ L\ }$ ${\displaystyle \ L\ }$ ${\displaystyle \ LL^{*}\ }$ ${\displaystyle \ M=LDL^{*}\ ,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \ L\ }$

Teorema de Williamson

Cualquier matriz real hermitiana definida positiva se puede diagonalizar mediante matrices simplécticas (reales). Más precisamente, el teorema de Williamson asegura la existencia de reales positivos simplécticos y diagonales tales que . ${\displaystyle 2n\times 2n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S\in \mathbf {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle D\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle SMS^{T}=D\oplus D}$

Otras caracterizaciones

Sea una matriz simétrica real y sea la "bola unitaria" definida por Entonces tenemos lo siguiente ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ n\times n\ }$ ${\displaystyle \ B_{1}(M)\equiv \{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}:\mathbf {x} ^{\top }M\ \mathbf {x} \leq 1\}\ }$ ${\displaystyle \ M~.}$

• ${\displaystyle \ B_{1}(\mathbf {v} \ \mathbf {v} ^{\top })}$es una losa sólida intercalada entre ${\displaystyle \ \pm \{\mathbf {w} :\langle \mathbf {w} ,\mathbf {v} \rangle =1\}~.}$
• ${\displaystyle \ M\succeq 0\ }$si y sólo si es un elipsoide o un cilindro elipsoidal. ${\displaystyle \ B_{1}(M)\ }$
• ${\displaystyle \ M\succ 0\ }$si y sólo si está acotado, es decir, es un elipsoide. ${\displaystyle \ B_{1}(M)\ }$
• Si entonces si y solo si si y solo si ${\displaystyle \ N\succ 0\ ,}$ ${\displaystyle \ M\succeq N\ }$ ${\displaystyle \ B_{1}(M)\subseteq B_{1}(N)\ ;}$ ${\displaystyle \ M\succ N\ }$ ${\displaystyle \ B_{1}(M)\subseteq \operatorname {int} \!{\bigl (}\ B_{1}(N)\ {\bigr )}~.}$
• Si entonces para todo si y sólo si So, como el dual polar de un elipsoide también es un elipsoide con los mismos ejes principales, con longitudes inversas, tenemos Es decir, si es positivo-definido, entonces para todo si y sólo si ${\displaystyle \ N\succ 0\ ,}$ ${\displaystyle \ M\succeq {\frac {\mathbf {v} \ \mathbf {v} ^{\top }}{\ \mathbf {v} ^{\top }N\ \mathbf {v} \ }}\ }$ ${\displaystyle v\neq 0}$ ${\textstyle \ B_{1}(M)\subset \bigcap _{\mathbf {v} ^{\top }N\ \mathbf {v} =1}B_{1}(\mathbf {v} \mathbf {v} ^{\top })~.}$ $${\displaystyle \ B_{1}(N^{-1})=\bigcap _{\mathbf {v} ^{\top }N\ \mathbf {v} =1}B_{1}(\mathbf {v} \ \mathbf {v} ^{\top })=\bigcap _{\mathbf {v} ^{\top }N\ \mathbf {v} =1}\{\mathbf {w} :|\langle \mathbf {w} ,\mathbf {v} \rangle |\leq 1\}~.}$$ ${\displaystyle \ N\ }$ ${\displaystyle \ M\succeq {\frac {\mathbf {v} \mathbf {v} ^{\top }}{\ \mathbf {v} ^{\top }N\ \mathbf {v} \ }}\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {v} \neq \mathbf {0} \ }$ ${\displaystyle \ M\succeq N^{-1}~.}$

Sea una matriz hermitiana . Las siguientes propiedades equivalen a ser definida positiva: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ n\times n\ }$ ${\displaystyle \ M\ }$

La forma sesquilineal asociada es un producto interno.

La forma sesquilineal definida por es la función de a tal que para todos y en donde es la transpuesta conjugada de Para cualquier matriz compleja esta forma es lineal en y semilineal en Por lo tanto, la forma es un producto interno de si y sólo si es real y positivo para todo distinto de cero , es decir, si y sólo si es positivo definido. (De hecho, todo producto interno surge de esta manera a partir de una matriz definida positiva hermitiana). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \ \langle \cdot ,\cdot \rangle \ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}\ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}\ }$ ${\displaystyle \ \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle \equiv \mathbf {y} ^{*}M\ \mathbf {x} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {x} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {y} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}\ ,}$ ${\displaystyle \ \mathbf {y} ^{*}\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {y} ~.}$ ${\displaystyle \ M\ ,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \ \mathbf {y} ~.}$ ${\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}\ }$ ${\displaystyle \ \langle \mathbf {z} ,\mathbf {z} \rangle \ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {z} \ ;}$ ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ \mathbb {C} ^{n}\ }$

Sus principales menores principales son todos positivos.

El k -ésimo principal menor principal de una matriz es el determinante de su submatriz superior izquierda . Resulta que una matriz es definida positiva si y sólo si todos estos determinantes son positivos. Esta condición se conoce como criterio de Sylvester y proporciona una prueba eficaz de la precisión positiva de una matriz real simétrica. Es decir, la matriz se reduce a una matriz triangular superior mediante el uso de operaciones de fila elementales , como en la primera parte del método de eliminación gaussiano , teniendo cuidado de preservar el signo de su determinante durante el proceso de pivote . Dado que el késimo principal menor principal de una matriz triangular es el producto de sus elementos diagonales hasta la fila, el criterio de Sylvester equivale a comprobar si sus elementos diagonales son todos positivos. Esta condición se puede comprobar cada vez que se obtiene una nueva fila de la matriz triangular. ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ k\times k\ }$ ${\displaystyle \ k\ ,}$ ${\displaystyle \ k\ }$

Una matriz semidefinida positiva es definida positiva si y sólo si es invertible . ^[7] Una matriz es negativa (semi)definida si y sólo si es positiva (semi)definida. ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ -M\ }$

formas cuadráticas

La forma (puramente) cuadrática asociada con una matriz real es la función tal que para todos se puede suponer simétrica reemplazándola por, ya que cualquier parte asimétrica se anulará en el producto de doble cara. ${\displaystyle \ n\times n\ }$ ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ Q:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} \ }$ ${\displaystyle \ Q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\top }M\mathbf {x} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {x} ~.}$ ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ {\tfrac {1}{2}}\left(M+M^{\top }\right)\ ,}$

Una matriz simétrica es definida positiva si y sólo si su forma cuadrática es una función estrictamente convexa . ${\displaystyle \ M\ }$

De manera más general, cualquier función cuadrática desde hasta se puede escribir como donde es una matriz simétrica , es un vector n real y una constante real. En el caso, esto es una parábola, y al igual que en el caso, tenemos ${\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}\ }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }M\mathbf {x} +\mathbf {b} ^{\top }\mathbf {x} +c\ }$ ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ n\times n\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {b} \ }$ ${\displaystyle \ c\ }$ ${\displaystyle \ n=1\ }$ ${\displaystyle \ n=1\ }$

Teorema: Esta función cuadrática es estrictamente convexa y, por lo tanto, tiene un mínimo global finito único, si y solo si es definida positiva. ${\displaystyle \ M\ }$

Prueba: Si es definida positiva, entonces la función es estrictamente convexa. Su gradiente es cero en cuyo único punto debe ser el mínimo global ya que la función es estrictamente convexa. Si no es definido positivo, entonces existe algún vector tal que la función es una recta o una parábola descendente, por lo que no es estrictamente convexa y no tiene un mínimo global. ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ M^{-1}\mathbf {b} \ ,}$ ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {v} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {v} ^{\top }M\mathbf {v} \leq 0\ ,}$ ${\displaystyle \ f(t)\equiv (t\mathbf {v} )^{\top }M(t\mathbf {v} )+b^{\top }(t\mathbf {v} )+c\ }$

Por esta razón, las matrices definidas positivas juegan un papel importante en los problemas de optimización .

Diagonalización simultánea

Una matriz simétrica y otra matriz que sea simétrica y definida positiva se pueden diagonalizar simultáneamente . Esto es así aunque la diagonalización simultánea no se realiza necesariamente con una transformación de similitud . Este resultado no se extiende al caso de tres o más matrices. En esta sección escribimos para el caso real. La extensión al caso complejo es inmediata.

Sea una matriz definida simétrica y simétrica y positiva. Escriba la ecuación de valores propios generalizados como donde imponemos que se normalice, es decir, ahora usamos la descomposición de Cholesky para escribir la inversa de como Multiplicando por y dejando que obtengamos que se puede reescribir como donde La manipulación ahora produce donde hay una matriz que tiene como columnas los vectores propios generalizados y es una matriz diagonal de los valores propios generalizados. Ahora la premultiplicación con da el resultado final: pero tenga en cuenta que esto ya no es una diagonalización ortogonal con respecto al producto interno donde, de hecho, diagonalizamos con respecto al producto interno inducido por ^[8] ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ N\ }$ ${\displaystyle \ \left(M-\lambda N\right)\mathbf {x} =0\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {x} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }N\mathbf {x} =1~.}$ ${\displaystyle \ N\ }$ ${\displaystyle \ Q^{\top }Q~.}$ ${\displaystyle \ Q\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {x} =Q^{\top }\mathbf {y} \ ,}$ ${\displaystyle \ Q\left(M-\lambda N\right)Q^{\top }\mathbf {y} =0\ ,}$ ${\displaystyle \ \left(QMQ^{\top }\right)\mathbf {y} =\lambda \mathbf {y} \ }$ ${\displaystyle \mathbf {y} ^{\top }\mathbf {y} =1~.}$ ${\displaystyle MX=NX\Lambda }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle X^{\top }}$ ${\displaystyle \ X^{\top }MX=\Lambda \ }$ ${\displaystyle \ X^{\top }NX=I\ ,}$ ${\displaystyle \ \mathbf {y} ^{\top }\mathbf {y} =1~.}$ ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ N~.}$

Tenga en cuenta que este resultado no contradice lo dicho sobre la diagonalización simultánea en el artículo Matriz diagonalizable , que se refiere a la diagonalización simultánea mediante una transformación de similitud. Nuestro resultado aquí es más parecido a una diagonalización simultánea de dos formas cuadráticas y es útil para la optimización de una forma bajo condiciones de la otra.

Propiedades

Orden parcial inducido

Para matrices cuadradas arbitrarias escribimos si ie, es semidefinida positiva. Esto define un orden parcial en el conjunto de todas las matrices cuadradas. De manera similar, se puede definir un ordenamiento parcial estricto. El ordenamiento se llama orden de Loewner . ${\displaystyle \ M\ ,}$ ${\displaystyle \ N\ }$ ${\displaystyle \ M\geq N\ }$ ${\displaystyle \ M-N\geq 0\ }$ ${\displaystyle \ M-N\ }$ ${\displaystyle \ M>N~.}$

Inversa de matriz definida positiva

Toda matriz definida positiva es invertible y su inversa también es definida positiva. ^[9] Si entonces ^[10] Además, según el teorema mínimo-máximo , el k -ésimo valor propio más grande de es mayor o igual al k -ésimo valor propio más grande de ${\displaystyle \ M\geq N>0\ }$ ${\displaystyle \ N^{-1}\geq M^{-1}>0~.}$ ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ N~.}$

Escalada

Si es definido positivo y es un número real, entonces es definido positivo. ^[11] ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ r>0\ }$ ${\displaystyle \ rM\ }$

Suma

• Si y son definidos positivos, entonces la suma también es definidos positivos. ^[11] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M+N}$
• Si y son semidefinidos positivos, entonces la suma también es semidefinida positiva. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M+N}$
• Si es positiva-definida y positiva-semidefinida, entonces la suma también es positiva-definida. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M+N}$

Multiplicación

• Si y son definidos positivos, entonces los productos de y también son definidos positivos. Si entonces también es definida positiva. ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ N\ }$ ${\displaystyle \ MNM\ }$ ${\displaystyle NMN}$ ${\displaystyle \ MN=NM\ ,}$ ${\displaystyle \ MN\ }$
• Si es semidefinida positiva, entonces es semidefinida positiva para cualquier matriz (posiblemente rectangular). Si es definida positiva y tiene rango de columna completo, entonces es definida positiva. ^[12] ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ A^{*}MA\ }$ ${\displaystyle \ A~.}$ ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \ A^{*}MA\ }$

Rastro

Las entradas diagonales de una matriz semidefinida positiva son reales y no negativas. Como consecuencia, la traza , además, ^[13] dado que cada submatriz principal (en particular, 2 por 2) es semidefinida positiva, ${\displaystyle \ m_{ii}\ }$ ${\displaystyle \ \operatorname {tr} (M)\geq 0~.}$ $${\displaystyle \ \left|m_{ij}\right|\leq {\sqrt {m_{ii}m_{jj}}}\quad \forall i,j\ }$$

y así, cuando ${\displaystyle \ n\geq 1\ ,}$ $${\displaystyle \max _{i,j}\left|m_{ij}\right|\leq \max _{i}m_{ii}}$$

Una matriz hermitiana es definida positiva si satisface las siguientes desigualdades de trazas: ^[14] ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle \ \operatorname {tr} (M)>0\quad \mathrm {and} \quad {\frac {(\operatorname {tr} (M))^{2}}{\operatorname {tr} (M^{2})}}>n-1~.}$$

Otro resultado importante es que para matrices cualquiera y semidefinidas positivas, esto se sigue escribiendo La matriz es semidefinida positiva y, por lo tanto, tiene valores propios no negativos, cuya suma, la traza, también es, por lo tanto, no negativa. ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \ \operatorname {tr} (MN)\geq 0~.}$ ${\displaystyle \ \operatorname {tr} (MN)=\operatorname {tr} (M^{\frac {1}{2}}NM^{\frac {1}{2}})~.}$ ${\displaystyle M^{\frac {1}{2}}NM^{\frac {1}{2}}}$

Producto Hadamard

Si bien no es necesario un semidefinido positivo, el producto de Hadamard lo es (este resultado suele denominarse teorema del producto de Schur ). ^[15] ${\displaystyle \ M,N\geq 0\ ,}$ ${\displaystyle \ MN\ }$ ${\displaystyle \ M\circ N\geq 0\ }$

Respecto al producto de Hadamard de dos matrices semidefinidas positivas existen dos desigualdades destacables: ${\displaystyle \ M=(m_{ij})\geq 0\ ,}$ ${\displaystyle \ N\geq 0\ ,}$

• La desigualdad de Oppenheim: ^[16] ${\displaystyle \ \det(M\circ N)\geq \det(N)\prod \nolimits _{i}m_{ii}~.}$
• ${\displaystyle \ \det(M\circ N)\geq \det(M)\det(N)~.}$^[17]

Producto Kronecker

Si aunque no es necesario semidefinido positivo, el producto de Kronecker ${\displaystyle \ M,N\geq 0\ ,}$ ${\displaystyle \ MN\ }$ ${\displaystyle M\otimes N\geq 0~.}$

producto frobenius

Si bien no es necesario semidefinido positivo, el producto interno de Frobenius (Lancaster-Tismenetsky, The Theory of Matrices , p. 218). ${\displaystyle \ M,N\geq 0\ ,}$ ${\displaystyle \ MN\ }$ ${\displaystyle \ M:N\geq 0\ }$

Convexidad

El conjunto de matrices simétricas semidefinidas positivas es convexo . Es decir, si y son semidefinidos positivos, entonces para cualquier valor entre 0 y 1 , también es semidefinido positivo. Para cualquier vector : ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ N\ }$ ${\displaystyle \ \alpha \ }$ ${\displaystyle \ \alpha M+\left(1-\alpha \right)N\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {x} \ }$ $${\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }\left(\alpha M+\left(1-\alpha \right)N\right)\mathbf {x} =\alpha \mathbf {x} ^{\top }M\mathbf {x} +(1-\alpha )\mathbf {x} ^{\top }N\mathbf {x} \geq 0~.}$$

Esta propiedad garantiza que los problemas de programación semidefinida converjan hacia una solución globalmente óptima.

Relación con el coseno

La definición positiva de una matriz expresa que el ángulo entre cualquier vector y su imagen es siempre ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \ \theta \ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {x} \ }$ ${\displaystyle \ A\mathbf {x} \ }$ ${\displaystyle \ -\pi /2<\theta <+\pi /2\ :}$

$${\displaystyle \ \cos \theta ={\frac {\mathbf {x} ^{\top }A\mathbf {x} }{\lVert \mathbf {x} \rVert \lVert A\mathbf {x} \rVert }}={\frac {\langle \mathbf {x} ,A\mathbf {x} \rangle }{\lVert \mathbf {x} \rVert \lVert A\mathbf {x} \rVert }},\theta =\theta (\mathbf {x} ,A\mathbf {x} )\equiv {\widehat {\left(\mathbf {x} ,A\mathbf {x} \right)}}\equiv \ }$$el ángulo entre y ${\displaystyle \ \mathbf {x} \ }$ ${\displaystyle \ A\mathbf {x} ~.}$

Otras propiedades

1. Si es una matriz de Toeplitz simétrica , es decir, las entradas se dan en función de sus diferencias absolutas de índice: y se cumple la desigualdad estricta , entonces es definida estrictamente positiva. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m_{ij}}$ ${\displaystyle \ m_{ij}=h(|i-j|)\ ,}$ ${\textstyle \sum _{j\neq 0}\left|h(j)\right|<h(0)}$ ${\displaystyle M}$
2. Let y Hermitian. Si (resp., ) entonces (resp., ). ^[18] ${\displaystyle M>0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle MN+NM\geq 0}$ ${\displaystyle MN+NM>0}$ ${\displaystyle N\geq 0}$ ${\displaystyle N>0}$
3. Si es real, entonces existe un tal que donde está la matriz identidad . ${\displaystyle \ M>0\ }$ ${\displaystyle \ \delta >0\ }$ ${\displaystyle \ M>\delta I\ ,}$ ${\displaystyle \ I\ }$
4. Si denota el menor principal, es el késimo pivote durante la descomposición LU . ${\displaystyle M_{k}}$ ${\displaystyle \ k\times k\ }$ ${\displaystyle \ \det \left(M_{k}\right)/\det \left(M_{k-1}\right)\ }$
5. Una matriz es definida negativa si su k- ésimo orden principal menor es negativo cuando es impar y positivo cuando es par. ${\displaystyle \ k\ }$ ${\displaystyle \ k\ }$
6. Si es una matriz definida positiva real, entonces existe un número real positivo tal que para todo vector ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ m\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {v} \ ,}$ ${\displaystyle \ \mathbf {v} ^{\top }M\ \mathbf {v} \geq m\ \|\mathbf {v} \|_{2}^{\ \!2}~.}$
7. Una matriz hermitiana es semidefinida positiva si y sólo si todos sus menores principales son no negativos. Sin embargo, no basta con considerar únicamente los principales menores principales, como se comprueba en la matriz diagonal con las entradas 0 y −1.

Matrices y submatrices de bloques

Una matriz positiva también puede estar definida por bloques : ${\displaystyle \ 2n\times 2n\ }$ $${\displaystyle \ M={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}\ }$$

donde cada bloque es Al aplicar la condición de positividad, se deduce inmediatamente que y son hermitianos, y ${\displaystyle \ n\times n~,}$ ${\displaystyle \ A\ }$ ${\displaystyle \ D\ }$ ${\displaystyle \ C=B^{*}~.}$

Eso lo tenemos para todos los complejos y en particular para Entonces. ${\displaystyle \ \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \geq 0\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {z} \ ,}$ ${\displaystyle \ \mathbf {z} =[\mathbf {v} ,0]^{\top }~.}$ $${\displaystyle \ {\begin{bmatrix}\mathbf {v} ^{*}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&B\\B^{*}&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {v} \\0\end{bmatrix}}=\mathbf {v} ^{*}A\mathbf {v} \geq 0~.}$$

Se puede aplicar un argumento similar y por tanto concluimos que ambos y deben ser definidos positivos. El argumento puede ampliarse para mostrar que cualquier submatriz principal de es en sí misma definida positiva. ${\displaystyle \ D\ ,}$ ${\displaystyle \ A\ }$ ${\displaystyle \ D\ }$ ${\displaystyle \ M\ }$

Los resultados opuestos se pueden demostrar con condiciones más fuertes en los bloques, por ejemplo, utilizando el complemento de Schur .

Extremos locales

Una forma cuadrática general de variables reales siempre se puede escribir como dónde está el vector columna con esas variables y es una matriz real simétrica. Por lo tanto, que la matriz sea positiva definida significa que tiene un mínimo único (cero) cuando es cero, y es estrictamente positiva para cualquier otro ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\top }M\mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \ \mathbf {x} ~.}$

De manera más general, una función real dos veces diferenciable sobre variables reales tiene un mínimo local en los argumentos si su gradiente es cero y su hessiana (la matriz de todas las segundas derivadas) es semidefinida positiva en ese punto. Se pueden hacer afirmaciones similares para matrices negativas definidas y semidefinidas. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$

Covarianza

En estadística , la matriz de covarianza de una distribución de probabilidad multivariada es siempre semidefinida positiva; y es definida positiva a menos que una variable sea una función lineal exacta de las demás. Por el contrario, toda matriz semidefinida positiva es la matriz de covarianza de alguna distribución multivariada.

Extensión para matrices cuadradas no hermitianas

La definición de definida positiva se puede generalizar designando cualquier matriz compleja (por ejemplo, real no simétrica) como definida positiva si para todos los vectores complejos distintos de cero, donde denota la parte real de un número complejo ^[19] Sólo la parte hermitiana determina si la La matriz es positiva definida y se evalúa en el sentido más estricto mencionado anteriormente. De manera similar, si y son reales, tenemos para todos los vectores reales distintos de cero si y sólo si la parte simétrica es definida positiva en el sentido más estricto. Inmediatamente queda claro que es insensible a la transposición de ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ {\mathcal {R_{e}}}\left\{\ \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \right\}>0\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {z} \ ,}$ ${\displaystyle \ {\mathcal {R_{e}}}\{\ c\ \}\ }$ ${\displaystyle \ c~.}$ ${\textstyle \ {\frac {1}{2}}\left(M+M^{*}\right)\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {x} \ }$ ${\displaystyle \ M\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {x} ^{\top }M\mathbf {x} >0\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {x} \ }$ ${\textstyle \ {\frac {1}{2}}\left(M+M^{\top }\right)\ }$ ${\textstyle \ \mathbf {x} ^{\top }M\mathbf {x} =\sum _{ij}x_{i}M_{ij}x_{j}\ }$ ${\displaystyle \ M~.}$

En consecuencia, una matriz real no simétrica con solo valores propios positivos no necesita ser definida positiva. Por ejemplo, la matriz tiene valores propios positivos pero no es definida positiva; en particular , se obtiene un valor negativo de con la elección (que es el vector propio asociado con el valor propio negativo de la parte simétrica de ). ${\displaystyle M=\left[{\begin{smallmatrix}4&9\\1&4\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\top }M\mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} =\left[{\begin{smallmatrix}-1\\1\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle M}$

En resumen, la característica distintiva entre el caso real y el complejo es que un operador positivo acotado en un espacio de Hilbert complejo es necesariamente hermitiano o autoadjunto. La afirmación general se puede argumentar utilizando la identidad de polarización . Esto ya no es cierto en el caso real.

Aplicaciones

Matriz de conductividad térmica

La ley de conducción del calor de Fourier, que da el flujo de calor en términos del gradiente de temperatura, está escrita para medios anisotrópicos como en los cuales es la matriz simétrica de conductividad térmica . El negativo se inserta en la ley de Fourier para reflejar la expectativa de que el calor siempre fluirá de lo caliente a lo frío. En otras palabras, dado que el gradiente de temperatura siempre apunta de frío a calor, se espera que el flujo de calor tenga un producto interno negativo, por lo que al sustituir la ley de Fourier se obtiene esta expectativa que implica que la matriz de conductividad debe ser positiva definida. ${\displaystyle \ \mathbf {q} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {g} =\nabla T\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {q} =-K\mathbf {g} \ ,}$ ${\displaystyle \ K\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {g} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {q} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {g} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {q} ^{\top }\mathbf {g} <0~.}$ ${\displaystyle \ \mathbf {g} ^{\top }K\mathbf {g} >0\ ,}$

Ver también

• Matriz de covarianza
• matriz M
• Función definida positiva
• Núcleo positivo-definido
• complemento de Schur
• El criterio de Sylvester.
• rango numérico

Referencias

1. van den Bos, Adriaan (marzo de 2007). "Apéndice C: Matrices positivas semidefinidas y definidas positivas". Estimación de parámetros para científicos e ingenieros (.pdf) (edición en línea). John Wiley e hijos. págs. 259–263. doi :10.1002/9780470173862. ISBN 978-047-017386-2.Edición impresa. ISBN 9780470147818 
2. Boyd, Esteban; Vandenberghe, Lieven (8 de marzo de 2004). Optimizacion convexa . Prensa de la Universidad de Cambridge. doi :10.1017/cbo9780511804441. ISBN 978-0-521-83378-3.
3. Cuerno y Johnson (2013), pág. 440, Teorema 7.2.7
4. Cuerno y Johnson (2013), pág. 441, Teorema 7.2.10
5. Cuerno y Johnson (2013), pág. 452, Teorema 7.3.11
6. Cuerno y Johnson (2013), pág. 439, Teorema 7.2.6 con ${\displaystyle k=2}$
7. Cuerno y Johnson (2013), pág. 431, Corolario 7.1.7
8. Cuerno y Johnson (2013), pág. 485, Teorema 7.6.1
9. Cuerno y Johnson (2013), pág. 438, Teorema 7.2.1
10. Cuerno y Johnson (2013), pág. 495, Corolario 7.7.4(a)
11. Horn y Johnson (2013), pág. 430, Observación 7.1.3
12. Cuerno y Johnson (2013), pág. 431, Observación 7.1.8
13. Cuerno y Johnson (2013), pág. 430
14. Wolkowicz, Henry; Styan, George PH (1980). "Límites de valores propios mediante trazas". Álgebra lineal y sus aplicaciones (29). Elsevier: 471–506.
15. Cuerno y Johnson (2013), pág. 479, Teorema 7.5.3
16. Cuerno y Johnson (2013), pág. 509, Teorema 7.8.16
17. Styan, médico de cabecera (1973). "Productos Hadamard y análisis estadístico multivariado". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 6 : 217–240., Corolario 3.6, pág. 227
18. Bhatia, Rajendra (2007). Matrices definidas positivas . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. pag. 8.ISBN​  978-0-691-12918-1.
19. Weisstein, Eric W. "Matriz definida positiva". MundoMatemático . Investigación Wolfram . Consultado el 26 de julio de 2012 .

Fuentes

• Cuerno, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Análisis matricial (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-54823-6.

• Bhatia, Rajendra (2007). Matrices definidas positivas . Serie Princeton en Matemáticas Aplicadas. ISBN 978-0-691-12918-1.

• Bernstein, B.; Toupin, RA (1962). "Algunas propiedades de la matriz de Hesse de una función estrictamente convexa". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 210 : 67–72. doi :10.1515/crll.1962.210.65.

enlaces externos

• "Forma positiva-definida", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Matriz definida positiva". Wolfram MathWorld . Investigación Wolfram.