Secuencia polinomial
En matemáticas , polinomios de Gegenbauer o polinomios ultraesféricos C(α)
norte( x ) son polinomios ortogonales en el intervalo [−1,1] con respecto a la función de peso (1 − x 2 ) α –1/2 . Generalizan los polinomios de Legendre y los polinomios de Chebyshev , y son casos especiales de los polinomios de Jacobi . Llevan el nombre de Leopold Gegenbauer .
Caracterizaciones
Gráfica del polinomio de Gegenbauer C n^(m)(x) con n=10 y m=1 en el plano complejo de -2-2i a 2+2i con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1
Polinomios de Gegenbauer con α =1
Polinomios de Gegenbauer con α =2
Polinomios de Gegenbauer con α =3
Una animación que muestra los polinomios en el plano xα para los primeros 4 valores de n .
Se encuentran disponibles una variedad de caracterizaciones de los polinomios de Gegenbauer.
- Los polinomios se pueden definir en términos de su función generadora (Stein & Weiss 1971, §IV.2):
![{\displaystyle {\frac {1}{(1-2xt+t^{2})^{\alpha }}}=\sum _ {n=0}^{\infty }C_{n}^{(\ alfa )}(x)t^{n}\qquad (0\leq |x|<1,|t|\leq 1,\alpha >0)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}C_{0}^{(\alpha )}(x)&=1\\C_{1}^{(\alpha )}(x)&=2\alpha x\\ (n+1)C_{n+1}^{(\alpha )}(x)&=2(n+\alpha )xC_{n}^{(\alpha )}(x)-(n+2\alpha -1)C_{n-1}^{(\alpha )}(x).\end{alineado}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Los polinomios de Gegenbauer son soluciones particulares de la ecuación diferencial de Gegenbauer (Suetin 2001):
![{\displaystyle (1-x^{2})y''-(2\alpha +1)xy'+n(n+2\alpha )y=0.\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Cuando α = 1/2, la ecuación se reduce a la ecuación de Legendre y los polinomios de Gegenbauer se reducen a los polinomios de Legendre .
- Cuando α = 1, la ecuación se reduce a la ecuación diferencial de Chebyshev y los polinomios de Gegenbauer se reducen a los polinomios de Chebyshev de segunda especie. [1]
![{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left( -n,2\alpha +n;\alpha +{\frac {1}{2}};{\frac {1-z}{2}}\right).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- (Abramowitz y Stegun pág. 561). Aquí (2α) n es el factorial ascendente . Explícitamente,
![{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _ {k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {\Gamma (n-k+\alpha )}{\Gamma (\alpha )k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- A partir de esto también es fácil obtener el valor del argumento unitario:
![{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(1)={\frac {\Gamma (2\alpha +n)}{\Gamma (2\alpha )n!}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(2\alpha )_{n}}{(\alpha +{\frac {1}{2}})_{ n}}}P_{n}^{(\alpha -1/2,\alpha -1/2)}(x).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- en el que representa el factorial creciente de .
![{\displaystyle (\theta )_{n}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \theta}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Por tanto, también se tiene la fórmula de Rodrigues.
![{\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}{\frac {\Gamma (\alpha +{\frac {1}{2}})\Gamma (n+2\alpha )}{\Gamma (2\alpha )\Gamma (\alpha +n+{\frac {1}{2}})}} (1-x^{2})^{-\alpha +1/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(1-x^{2})^ {n+\alpha -1/2}\derecha].}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ortogonalidad y normalización.
Para un α > -1/2 fijo , los polinomios son ortogonales en [−1, 1] con respecto a la función de ponderación (Abramowitz & Stegun p. 774)
![{\displaystyle w(z)=\left(1-z^{2}\right)^{\alpha -{\frac {1}{2}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
A saber, para n ≠ m ,
![{\displaystyle \int _{-1}^{1}C_{n}^{(\alpha )}(x)C_{m}^{(\alpha )}(x)(1-x^{2} )^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\,dx=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Están normalizados por
![{\displaystyle \int _{-1}^{1}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x)\right]^{2}(1-x^{2})^{\ alfa -{\frac {1}{2}}}\,dx={\frac {\pi 2^{1-2\alpha }\Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha ) [\Gamma (\alpha )]^{2}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Aplicaciones
Los polinomios de Gegenbauer aparecen naturalmente como extensiones de los polinomios de Legendre en el contexto de la teoría potencial y el análisis armónico . El potencial newtoniano en R n tiene la expansión, válida con α = ( n − 2)/2,
![{\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{n-2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {| \mathbf {x} |^{k}}{|\mathbf {y} |^{k+n-2}}}C_{k}^{(\alpha )}({\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{|\mathbf {x} ||\mathbf {y} |}}).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Cuando n = 3, esto da la expansión polinómica de Legendre del potencial gravitacional . Se encuentran disponibles expresiones similares para la expansión del núcleo de Poisson en una bola (Stein y Weiss 1971).
De ello se deduce que las cantidades son armónicos esféricos , cuando se consideran una función de x únicamente. De hecho, son exactamente los armónicos esféricos zonales , hasta una constante de normalización.![{\displaystyle C_{k}^{((n-2)/2)}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Los polinomios de Gegenbauer también aparecen en la teoría de funciones definidas positivas .
La desigualdad de Askey-Gasper dice
![{\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\frac {C_{j}^{\alpha }(x)}{2\alpha +j-1 \choose j}}\geq 0\qquad (x\geq -1,\,\alpha \geq 1/4).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En los métodos espectrales para resolver ecuaciones diferenciales, si una función se expande en base a polinomios de Chebyshev y su derivada se representa en una base Gegenbauer/ultrasférica, entonces el operador de derivada se convierte en una matriz diagonal , lo que lleva a métodos matriciales de bandas rápidas para problemas grandes. [2]
Ver también
Referencias
- Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 22". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 773.ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036. SEÑOR 0167642. LCCN 65-12253.* Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick SC; Koekoek, Roelof; Swarttouw, René F. (2010), "Polinomios ortogonales", en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, señor 2723248.
- Stein, Elías ; Weiss, Guido (1971), Introducción al análisis de Fourier en espacios euclidianos , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9.
- Suetin, PK (2001) [1994], "Polinomios ultrasféricos", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.
- Específico
- ^ Arfken, Weber y Harris (2013) "Métodos matemáticos para físicos", séptima edición; cap. 18.4
- ^ Olver, Sheehan; Townsend, Alex (enero de 2013). "Un método espectral rápido y bien acondicionado". Revisión SIAM . 55 (3): 462–489. arXiv : 1202.1347 . doi :10.1137/120865458. eISSN 1095-7200. ISSN 0036-1445.