Óvalo (plano proyectivo)

Conjunto de puntos con forma de círculo en un plano geométrico

A la definición de óvalo:
e: recta exterior (de paso),
t: tangente,
s: secante

En geometría proyectiva, un óvalo es un punto situado en un plano definido por propiedades de incidencia . Los ejemplos estándar son las cónicas no degeneradas . Sin embargo, una cónica solo se define en un plano papiano , mientras que un óvalo puede existir en cualquier tipo de plano proyectivo. En la literatura, existen muchos criterios que implican que un óvalo es una cónica, pero hay muchos ejemplos, tanto infinitos como finitos, de óvalos en planos pappianos que no son cónicas.

Como se mencionó, en geometría proyectiva un óvalo se define por propiedades de incidencia, pero en otras áreas, los óvalos pueden definirse para satisfacer otros criterios, por ejemplo, en geometría diferencial , por condiciones de diferenciabilidad en el plano real .

El análogo dimensional superior de un óvalo es un ovoide en un espacio proyectivo .

Una generalización del concepto de óvalo es el óvalo abstracto , que es una estructura que no necesariamente está inserta en un plano proyectivo. De hecho, existen óvalos abstractos que no pueden estar en ningún plano proyectivo.

Definición de un óvalo

• En un plano proyectivo un conjunto Ω de puntos se llama óvalo , si:

1. Cualquier línea l corta a Ω en como máximo dos puntos, y
2. Para cualquier punto P ∈ Ω existe exactamente una línea tangente t que pasa por P , es decir, t ∩ Ω = { P }.

Cuando | l ∩ Ω | = 0 la recta l es una recta exterior (o pasante ), ^[1] si | l ∩ Ω | = 1 una recta tangente y si | l ∩ Ω | = 2 la recta es una recta secante .

Para planos finitos (es decir, el conjunto de puntos es finito) tenemos una caracterización más conveniente: ^[2]

• Para un plano proyectivo finito de orden n (es decir, cualquier línea contiene n + 1 puntos) un conjunto Ω de puntos es un óvalo si y solo si | Ω | = n + 1 y no hay tres puntos colineales (en una línea común).

Un conjunto de puntos en un plano afín que satisface la definición anterior se denomina óvalo afín .

Un óvalo afín es siempre un óvalo proyectivo en el cierre proyectivo (agregando una línea en el infinito) del plano afín subyacente.

Un óvalo también puede considerarse como un conjunto cuadrático especial . ^[3]

Ejemplos

Secciones cónicas

cónica proyectiva en coordenadas no homogéneas: parábola más punto en el infinito del eje

Cónica proyectiva en coordenadas no homogéneas: hipérbola más puntos en el infinito de las asíntotas

En cualquier plano proyectivo papiano existen secciones cónicas proyectivas no degeneradas y cualquier sección cónica proyectiva no degenerada es un óvalo. Esta afirmación se puede verificar mediante un cálculo sencillo para cualquiera de las cónicas (como la parábola o la hipérbola ).

Las cónicas no degeneradas son óvalos con propiedades especiales:

• El teorema de Pascal y sus diversas degeneraciones son válidos.
• Hay muchas proyectividades que dejan una cónica invariante.

Óvalos, que no son cónicos

en el plano real

1. Si se pegan suavemente la mitad de un círculo y la mitad de una elipse , se obtiene un óvalo no cónico.
2. Si se toma la representación no homogénea de un óvalo cónico como una parábola más un punto en el infinito y se reemplaza la expresión x ² por x ⁴ , se obtiene un óvalo que no es cónico.
3. Si se toma la representación no homogénea de un óvalo cónico como una hipérbola más dos puntos en el infinito y se reemplaza la expresión1/incógnita⁠ por ⁠1/x3^​⁠ , se obtiene un óvalo que no es cónico.
4. La curva implícita x ⁴ + y ⁴ = 1 es un óvalo no cónico.

en un plano finito de orden par

1. En un plano papiano finito de orden par, una cónica no degenerada tiene un núcleo (un único punto por el que pasa cada tangente), que puede intercambiarse con cualquier punto de la cónica para obtener un óvalo que no es una cónica.
2. Para el campo K = GF(2 ^m ) con 2 ^m elementos sea

${\displaystyle \Omega =\{(x,y)\in K^{2}\;|y=x^{2^{k}}\;\}\;\cup \;\{(\infty )\}}$

Para k ∈ {2,..., m − 1} y k y m son coprimos, el conjunto Ω es un óvalo, que no es una cónica. ^{[4] [5]}

Se pueden encontrar más ejemplos finitos aquí: ^[6]

Criterios para que un óvalo sea cónico

Para que un óvalo sea cónico, el óvalo y/o el plano deben cumplir condiciones adicionales. A continuación se muestran algunos resultados:

1. Un óvalo en un plano proyectivo arbitrario, que cumple la condición de incidencia del teorema de Pascal o su degeneración de cinco puntos, es una cónica no degenerada. ^[7]
2. Si Ω es un óvalo en un plano proyectivo papiano y el grupo de proyectividades que dejan a Ω invariante es 3-transitivo, es decir para 2 ternas A ₁ , A ₂ , A ₃  ; B ₁ , B ₂ , B ₃ de puntos existe una proyectividad π con π( A _i ) = B _i , i = 1,2,3 . En el caso finito es suficiente 2-transitivo . ^[8]
3. Un óvalo Ω en un plano proyectivo pappiano de característica ≠ 2 es cónico si y sólo si para cualquier punto P de una tangente existe una perspectividad involutiva (simetría) con centro P que deja a Ω invariante. ^[9]
4. Si Ω es un óvalo en un plano proyectivo desarguesiano ^[10] (pappiano) finito de orden impar , PG(2, q ) , entonces Ω es una cónica por el teorema de Segre . ^[11] ). Esto implica que, tras un posible cambio de coordenadas, todo óvalo de PG(2, q ) con q impar tiene la parametrización :

${\displaystyle \{(t,t^{2},1)\mid t\in GF(q)\}\cup \{(0,1,0)\}.}$

Para los óvalos topológicos se cumplen los siguientes criterios simples:

5. Cualquier óvalo cerrado del plano proyectivo complejo es una cónica. ^[12]

Más resultados sobre óvalos en planos finitos

Un óvalo en un plano proyectivo finito de orden q es un ( q + 1, 2 ) -arco , en otras palabras, un conjunto de q + 1 puntos, no tres colineales. Los óvalos en el plano proyectivo desarguesiano (pappiano) PG(2, q ) para q impar son simplemente las cónicas no singulares. Sin embargo, los óvalos en PG(2, q ) para q par aún no han sido clasificados.

En un plano proyectivo finito arbitrario de orden impar q , no existen conjuntos con más puntos que q + 1 , de los cuales ninguno sea colineal, como señaló por primera vez Bose en un artículo de 1947 sobre aplicaciones de este tipo de matemáticas al diseño estadístico de experimentos. Además, por el teorema de Qvist , por cualquier punto que no esté en un óvalo pasan cero o dos líneas tangentes a ese óvalo.

Un hiperoval (los 4 puntos rojos) en el plano de Fano de 7 puntos.

Cuando q es par, la situación es completamente diferente.

En este caso, pueden existir conjuntos de q + 2 puntos, de los cuales ninguno es colineal, en un plano proyectivo finito de orden q y se denominan hiperóvalos ; estos son arcos maximales de grado 2.

Dado un óvalo, existe una única tangente que pasa por cada punto y, si q es par, el teorema de Qvist ^[13] demuestra que todas estas tangentes son concurrentes en un punto P fuera del óvalo. Si se añade este punto (llamado núcleo del óvalo o, a veces, nudo ) al óvalo, se obtiene un hiperóvalo. Por el contrario, si se elimina cualquier punto de un hiperóvalo, se obtiene inmediatamente un óvalo.

Como todos los óvalos en el caso de orden par están contenidos en hiperóvalos, una descripción de los hiperóvalos (conocidos) da implícitamente todos los óvalos (conocidos). Los óvalos obtenidos al eliminar un punto de un hiperóvalo son proyectivamente equivalentes si y solo si los puntos eliminados están en la misma órbita del grupo de automorfismos del hiperóvalo. Solo hay tres pequeños ejemplos (en los planos desarguesianos) donde el grupo de automorfismos del hiperóvalo es transitivo en sus puntos ^[14] por lo que, en general, hay diferentes tipos de óvalos contenidos en un solo hiperóvalo.

Caso desarguesiano: PG(2,2yo)

Este es el caso más estudiado y por lo tanto el que más se sabe sobre estos hiperovales.

Toda cónica no singular en el plano proyectivo, junto con su núcleo, forma una hiperovala. Estas pueden llamarse hipercónicas , pero el término más tradicional es hiperovalas regulares . Para cada uno de estos conjuntos, existe un sistema de coordenadas tal que el conjunto es:

${\displaystyle \{(t,t^{2},1)\mid t\in GF(q)\}\cup \{(0,1,0)\}\cup \{(1,0,0)\}.}$

Sin embargo, se pueden encontrar muchos otros tipos de hiperovales de PG(2,  q ) si q  > 8. Hasta la fecha, los hiperovales de PG(2,  q ) para q solo se han clasificado para q  < 64.

En PG(2,2 ^h ), h > 0, un hiperóvalo contiene al menos cuatro puntos, de los cuales tres no son colineales. Por lo tanto, por el Teorema Fundamental de la Geometría Proyectiva siempre podemos suponer que los puntos con coordenadas proyectivas (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) y (1,1,1) están contenidos en cualquier hiperóvalo. Los puntos restantes del hiperóvalo (cuando h > 1) tendrán la forma (t, f(t),1) donde t varía a través de los valores del cuerpo finito GF(2 ^h ) y f es una función en ese cuerpo que representa una permutación y puede expresarse de forma única como un polinomio de grado como máximo 2 ^h - 2, es decir, es un polinomio de permutación . Nótese que f(0) = 0 y f(1) = 1 están forzados por el supuesto relativo a la inclusión de los puntos especificados. Otras restricciones sobre f están forzadas por la condición de que no hay tres puntos colineales. Una f que produce un hiperóvalo de esta manera se denomina o-polinomio . La siguiente tabla enumera todos los hiperóvalos conocidos (a partir de 2011) de PG(2,2 ^h ) dando el o-polinomio y cualquier restricción en el valor de h que sea necesaria para que la función mostrada sea un o-polinomio. Tenga en cuenta que todos los exponentes deben tomarse como módulo (2 ^h - 1).

Hiperovales conocidos en PG(2,2yo)

^a) El o-polinomio de Subiaco viene dado por: siempre que , donde tr es la función traza absoluta de GF(2 ^h ). Este o-polinomio da lugar a un hiperóvalo único si y a dos hiperóvalos no equivalentes si . ${\displaystyle f(t)={{d^{2}t^{4}+d^{2}(1+d+d^{2})t^{3}+d^{2}(1+d+d^{2})t^{2}+d^{2}t} \over {t^{4}+d^{2}t^{2}+1}}+t^{1/2},}$ ${\displaystyle tr(1/d)=1{\hbox{ and }}d\not \in GF(4){\hbox{ if }}h\equiv 2({\bmod {4}})}$ ${\displaystyle h\not \equiv 2({\bmod {4}})}$ ${\displaystyle h\equiv 2({\bmod {4}}),h>2}$

^b) Para describir los hiperóvalos de Adelaida, comenzaremos en un contexto un poco más general. Sea F = GF(q) y K = GF(q ² ) . Sea un elemento de norma 1, distinto de 1, es decir b ^q+1 = 1, . Consideremos el polinomio, para , ${\displaystyle b\in K}$ ${\displaystyle b\neq 1}$ ${\displaystyle t\in F}$

f(t) = ( tr (b)) ⁻¹ tr (b ^m )(t + 1) + ( tr (b)) ⁻¹ tr ((bt + b ^q ) ^m )(t + tr (b)t ^½ + 1) ^1−metro + t ^½ ,

donde tr (x) = tr _K/F (x) = x + x ^q . Cuando q = 2 ^h , con h par y m = ±(q - 1)/3, el f(t) anterior es un o-polinomio para el hiperóvalo de Adelaida.

^c) El o-polinomio de Penttila-O'Keefe está dado por:

f(t) = t ⁴ + t ¹⁶ + t ²⁸ + η ¹¹ (t ⁶ + t ¹⁰ + t ¹⁴ + t ¹⁸ + t ²² + t ²⁶ ) + η ²⁰ (t ⁸ + t ²⁰ ) + η ⁶ (t ¹² + t ²⁴ ),

donde η es una raíz primitiva de GF(32) que satisface η ⁵ = η ² + 1.

Hiperovales en PG(2, q), q par, q ≤ 64

Como las hiperovalas en los planos desarguesianos de órdenes 2, 4 y 8 son todas hipercónicas, sólo examinaremos los planos de órdenes 16, 32 y 64.

PG(2,16)

En (Lunelli & Sce 1958) se dan los detalles de una búsqueda por ordenador de arcos completos en planos de orden pequeño llevada a cabo por sugerencia de B. Segre. En PG(2,16) encontraron una serie de hiperóvalos que no eran hipercónicos. En 1975, M. Hall Jr. demostró, ^[15] también con considerable ayuda de un ordenador, que sólo había dos clases de hiperóvalos proyectivamente inequivalentes en este plano, los hipercónicos y los hiperóvalos encontrados por Lunelli y Sce. De los 2040 o-polinomios que dan el hiperóvalo de Lunelli-Sce , mostramos sólo uno:

f(x) = x ¹² + x ¹⁰ + η ¹¹ x ⁸ + x ⁶ + η ² x ⁴ + η ⁹ x ² ,

donde η es un elemento primitivo de GF(16) que satisface η ⁴ = η + 1.

En su artículo de 1975, Hall describió una serie de colineaciones del plano que estabilizaban la hiperovala de Lunelli-Sce, pero no demostró que generaran el grupo de automorfismos completo de esta hiperovala. Payne y Conklin (1978), utilizando propiedades de un cuadrángulo generalizado relacionado , demostraron que el grupo de automorfismos no podía ser mayor que el grupo dado por Hall. Korchmáros (1978) dio de forma independiente una prueba constructiva de este resultado y también demostró que en los planos desarguesianos, la hiperovala de Lunelli-Sce es la única hiperovala irregular (no hipercónica) que admite un grupo de automorfismos transitivos (y que las únicas hipercónicas que admiten dicho grupo son las de órdenes 2 y 4).

O'Keefe y Penttila (1991) reprobaron el resultado de clasificación de Hall sin el uso de una computadora. Su argumento consiste en encontrar un límite superior en el número de o-polinomios definidos sobre GF(16) y luego, al examinar los posibles grupos de automorfismos de hiperóvalos en este plano, demostrar que si existiera un hiperóvalo distinto de los conocidos en este plano, entonces se excedería el límite superior. Brown y Cherowitzo (2000) proporcionan una construcción teórica de grupos del hiperóvalo de Lunelli-Sce como la unión de órbitas del grupo generado por las elaciones de PGU(3,4) considerado como un subgrupo de PGL(3,16). También se incluye en este artículo una discusión de algunas propiedades notables relacionadas con las intersecciones de hiperóvalos e hipercónicos de Lunelli-Sce. En Cherowitzo et al. (1996) se demuestra que el hiperoval Lunelli-Sce es el primer miembro no trivial de la familia Subiaco ^[16] En Cherowitzo, O'Keefe y Penttila (2003) se demuestra que es el primer miembro no trivial de la familia Adelaide.

PG(2,32)

Como h = 5 es impar, varias de las familias conocidas tienen un representante aquí, pero debido al pequeño tamaño del plano hay algunas equivalencias espurias, de hecho, cada una de las hiperovales de tipo Glynn es proyectivamente equivalente a una hiperovala de traslación, y la hiperovala de Payne es proyectivamente equivalente a la hiperovala de Subiaco (esto no ocurre en planos mayores). En concreto, hay tres clases de hiperovales (de tipo monomio), las hipercónicas (f(t) = t ² ), las hiperovales de traslación propia (f(t) = t ⁴ ) y las hiperovales de Segre (f(t) = t ⁶ ). ^[17] También hay clases correspondientes a las hiperovales de Payne y a las hiperovales de Cherowitzo. ^[18] En O'Keefe, Penttila & Praeger (1991) se han determinado los grupos de colineación que estabilizan cada una de estas hiperovales. Obsérvese que en la determinación original del grupo de colineación para los hiperóvalos de Payne, el caso de q = 32 tuvo que tratarse por separado y se basó en gran medida en resultados informáticos. En O'Keefe, Penttila y Praeger (1991) se ofrece una versión alternativa de la prueba que no depende de cálculos informáticos.

En 1991, O'Keefe y Penttila descubrieron un nuevo hiperóvalo en este plano mediante una investigación detallada de las propiedades de divisibilidad de los órdenes de los grupos de automorfismos de hiperóvalos hipotéticos. ^[19] Uno de sus o-polinomios está dado por:

f(x) = x ⁴ + x ¹⁶ + x ²⁸ + η ¹¹ (x ⁶ + x ¹⁰ + x ¹⁴ + x ¹⁸ + x ²² + x ²⁶ ) + η ²⁰ (x ⁸ + x ²⁰ ) + η ⁶ (x ¹² + x ²⁴ ),

donde η es una raíz primitiva de GF(32) que satisface η ⁵ = η ² + 1. El grupo de automorfismos completo de este hiperóvalo tiene orden 3.

Penttila y Royle (1994) estructuraron ingeniosamente una búsqueda exhaustiva por computadora de todos los hiperóvalos en este plano. El resultado fue que la lista anterior está completa, hay solo seis clases de hiperóvalos en PG(2,32).

Página (2,64)

Extendiendo las ideas de O'Keefe y Penttila (1992) a PG(2,64), Penttila y Pinneri (1994) pudieron buscar hiperóvalos cuyo grupo de automorfismos admitiera una colineación de orden 5. Encontraron dos y demostraron que no existe ningún otro hiperóvalo en este plano que tenga tal automorfismo. Esto resolvió afirmativamente una pregunta abierta desde hace tiempo de B. Segre, que quería saber si había hiperóvalos en este plano además de las hipercónicas. Los hiperóvalos son:

f(x) = x ⁸ + x ¹² + x ²⁰ + x ²² + x ⁴² + x ⁵² + η ²¹ (x ⁴ + x ¹⁰ + x ¹⁴ + x ¹⁶ + x ³⁰ + x ³⁸ + x ⁴⁴ + x ⁴⁸ + x ⁵⁴ + x ⁵⁶ + x ⁵⁸ + x ⁶⁰ + x ⁶² ) + η ⁴² (x ² + x ⁶ + x ²⁶ + x ²⁸ + x ³² + x ³⁶ + x ⁴⁰ ),

que tiene un grupo de automorfismos de orden 15, y

f(x) = x ²⁴ + x ³⁰ + x ⁶² + η ²¹ (x ⁴ + x ⁸ + x ¹⁰ + x ¹⁴ + x ¹⁶ + x ³⁴ + x ³⁸ + x ⁴⁰ + x ⁴⁴ + x ⁴⁶ + x ⁵² + x ⁵⁴ + x ⁵⁸ + x ⁶⁰ ) + η ⁴² (x ⁶ + x ¹² + x ¹⁸ + x ²⁰ + x ²⁶ + x ³² + x ³⁶ + x ⁴² + x ⁴⁸ + x ⁵⁰ ),

que tiene un grupo de automorfismos de orden 60, donde η es un elemento primitivo de GF(64) que satisface η ⁶ = η + 1. En Cherowitzo et al. (1996) se demuestra que se trata de hiperóvalos de Subiaco. Al refinar el programa de búsqueda por ordenador, Penttila y Royle (1994) ampliaron la búsqueda a hiperóvalos que admitían un automorfismo de orden 3, y encontraron el hiperóvalo:

f(x) = x ⁴ + x ⁸ + x ¹⁴ + x ³⁴ + x ⁴² + x ⁴⁸ + x ⁶² + η ²¹ (x ⁶ + x ¹⁶ + x ²⁶ + x ²⁸ + x ³⁰ + x ³² + x ⁴⁰ + x ⁵⁸ ) + η ⁴² (x ¹⁰ + x ¹⁸ + x ²⁴ + x ³⁶ + x ⁴⁴ + x ⁵⁰ + x ⁵² + x ⁶⁰ ),

que tiene un grupo de automorfismos de orden 12 (η es un elemento primitivo de GF(64) como se indicó anteriormente). Esta hiperovala es la primera hiperovala de Adelaide distinta.

Penttila y Royle ^[20] han demostrado que cualquier otro hiperóvalo en este plano tendría que tener un grupo de automorfismos trivial. Esto significaría que habría muchas copias proyectivamente equivalentes de dicho hiperóvalo, pero las búsquedas generales realizadas hasta la fecha no han encontrado ninguna, lo que da credibilidad a la conjetura de que no existen otros en este plano.

Óvalos abstractos

Siguiendo (Bue1966), un óvalo abstracto , también llamado B-óvalo , de orden es un par donde es un conjunto de elementos, llamados puntos, y es un conjunto de involuciones que actúan sobre de una manera marcadamente cuasi 2-transitiva, es decir, para cualesquiera dos con para , existe exactamente uno con y . Cualquier óvalo incrustado en un plano proyectivo de orden podría estar dotado de una estructura de un óvalo abstracto del mismo orden. Lo inverso, en general, no es cierto para ; de hecho, para hay dos óvalos abstractos que pueden no estar incrustados en un plano proyectivo, véase (Fa1984). ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (F,{\mathfrak {G}})}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle (a_{1},a_{2}),(b_{1},b_{2})\in F}$ ${\displaystyle a_{i}\neq b_{j}}$ ${\displaystyle i,j\in \{1,2\}}$ ${\displaystyle \sigma \in {\mathfrak {G}}}$ ${\displaystyle \sigma (a_{1})=a_{2}}$ ${\displaystyle \sigma (b_{1})=b_{2}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle n\geq 8}$ ${\displaystyle n=8}$

Cuando es par, una construcción similar produce hiperóvalos abstractos , véase (Po1997): un hiperóvalo abstracto de orden es un par donde es un conjunto de elementos y es un conjunto de involuciones libres de punto fijo que actúan sobre tales que para cualquier conjunto de cuatro elementos distintos hay exactamente uno con . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (F,{\mathfrak {G}})}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle n+2}$ ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle a,b,c,d\in F}$ ${\displaystyle \sigma \in {\mathfrak {G}}}$ ${\displaystyle \sigma (a)=b,\sigma (c)=d}$

Véase también

• Ovoide (geometría proyectiva)

Notas

1. En la literatura inglesa este término suele traducirse al francés en lugar de traducirse como una frase de pasada.
2. Dembowski 1968, pág. 147.
3. Beutelspacher y Rosenbaum 1998, pág. 144.
4. B. Segre : Sui k-Archi nei Piani Finiti di Caracteristica Due , Re. Matemáticas. Pures Appl. 2 (1957) págs. 289–300.
5. Dembowski 1968, pág. 51.
6. E. Hartmann: Geometrías circulares planas, una introducción a los planos de Moebius, Laguerre y Minkowski. Skript, TH Darmstadt (PDF; 891 kB), pág. 45.
7. F. Buekenhout: Plans Projectifs à Ovoides Pascaliens , Arq. d. Matemáticas. vol. XVII, 1966, págs. 89-93.
8. J. Tetas : Ovoides à Translations , Rend. Estera. 21 (1962), págs. 37–59.
9. H. Mäurer: Ovoide mit Symmetrien an den Punkten einer Hyperebene , Abh. Matemáticas. Sem. Hamburgo 45 (1976), págs. 237-244.
10. Todo plano papiano es desarguesiano, y en el caso finito también es cierto lo inverso. Por lo tanto, para los planos finitos, cualquiera de los dos descriptores es válido, pero en la literatura para planos finitos predomina el término "desarguesiano".
11. Segre 1955.
12. Th. Buchanan: Ovale und Kegelschnitte in der komplexen projektiven Ebene , Math.-phys. Smesterberichte 26 (1979, págs. 244-260.
13. Qvist 1952.
14. Korchmáros 1978.
15. Salón 1975.
16. Véase también Brown y Cherowitzo 2000.
17. En planos de orden menor, estos hiperóvalos no se distinguen de los hipercónicos. La prueba de su existencia dada en Segre y Bartocci (1971) utiliza polinomios linealizados .
18. Para más detalles véase Cherowitzo 1988.
19. O'Keefe y Penttila 1992.
20. Penttila y Royle 1995.

Referencias

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Enlaces externos

• La página hiperoval de Bill Cherowitzo