En álgebra, un polinomio multilineal [1] es un polinomio multivariado que es lineal (es decir, afín ) en cada una de sus variables por separado , pero no necesariamente de forma simultánea . Es un polinomio en el que no se presenta ninguna variable elevada a una potencia de 2 o superior; es decir, cada monomio es una constante multiplicada por un producto de distintas variables. Por ejemplo, f(x,y,z) = 3xy + 2,5 y - 7z es un polinomio multilineal de grado 2 (debido al monomio 3xy) mientras que f(x,y,z) = x² +4y no lo es. El grado de un polinomio multilineal es el número máximo de variables distintas que ocurren en cualquier monomio.
Los polinomios multilineales pueden entenderse como un mapa multilineal (específicamente, una forma multilineal ) aplicado a los vectores [1 x], [1 y], etc. La forma general se puede escribir como una contracción tensorial :
Por ejemplo, en dos variables:
Un polinomio multilineal es lineal (afín) cuando varía solo una variable :
Todas las segundas derivadas parciales repetidas son cero:
En particular, el laplaciano , también es una función armónica . Esto implica que tiene máximos y mínimos solo en el límite del dominio .
De manera más general, cada restricción de a un subconjunto de sus coordenadas también es multilineal, por lo que sigue siendo válida cuando una o más variables son fijas. En otras palabras, es armónico en cada "rebanada" del dominio a lo largo de los ejes de coordenadas.
Cuando el dominio es rectangular en los ejes de coordenadas (por ejemplo, un hipercubo ), tendrá máximos y mínimos sólo en los vértices del dominio, es decir, el conjunto finito de puntos con valores de coordenadas mínimos y máximos. El valor de la función en estos puntos determina completamente la función, ya que el valor en los bordes del límite se puede encontrar mediante interpolación lineal , y el valor en el resto del límite y el interior se fija mediante la ecuación de Laplace ,. [1]
El valor del polinomio en un punto arbitrario se puede encontrar mediante interpolación lineal repetida a lo largo de cada eje de coordenadas. De manera equivalente, es una media ponderada de los valores de los vértices, donde los pesos son los polinomios de interpolación de Lagrange . Estos pesos también constituyen un conjunto de coordenadas baricéntricas generalizadas para el hiperrectángulo . Geométricamente, el punto divide el dominio en hiperrectángulos más pequeños, y el peso de cada vértice es el volumen (fraccional) del hiperrectángulo opuesto.
Algebraicamente, el interpolante multilineal en el hiperrectángulo es:
El valor en el centro es la media aritmética del valor en los vértices, que también es la media sobre el límite del dominio y la media sobre el interior. Los componentes del gradiente en el centro son proporcionales al equilibrio de los valores de los vértices a lo largo de cada eje de coordenadas.
Los valores de los vértices y los coeficientes del polinomio están relacionados mediante una transformación lineal (específicamente, una transformada de Möbius si el dominio es el hipercubo unitario , y una transformada de Walsh-Hadamard-Fourier si el dominio es el hipercubo simétrico ).
Los polinomios multilineales son los interpolantes de la interpolación multilineal o n-lineal en una cuadrícula rectangular, una generalización de la interpolación lineal , la interpolación bilineal y la interpolación trilineal a un número arbitrario de variables. Esta es una forma específica de interpolación multivariada , que no debe confundirse con la interpolación lineal por partes . El polinomio resultante no es una función lineal de las coordenadas (su grado puede ser superior a 1), pero sí es una función lineal de los valores de los datos ajustados.
Los determinantes , permanentes y otros inmanantes de una matriz son polinomios multilineales homogéneos en los elementos de la matriz (y también formas multilineales en las filas o columnas).
Los polinomios multilineales en variables forman un espacio vectorial de dimensión , que también es la base utilizada en el análisis de Fourier de funciones (pseudo)booleanas . Cada función ( pseudo ) booleana se puede expresar de forma única como un polinomio multilineal (hasta una elección de dominio y codominio).
Los polinomios multilineales son importantes en el estudio de las pruebas de identidad polinomial . [2]