Polinomio mínimo (álgebra lineal)

En álgebra lineal , el polinomio mínimo $μ A$ de una matriz $n \times n$ $A$ sobre un cuerpo $F$ es el polinomio mónico $P$ sobre $F$ de menor grado tal que $P$ $($ $A$ $) = 0$ . Cualquier otro polinomio $Q$ con $Q$ $($ $A$ $) = 0$ es un (polinomio) múltiplo de $μ$ $A$ .

Las tres afirmaciones siguientes son equivalentes :

$λ$ es una raíz de $μ A$ ,
$λ$ es una raíz del polinomio característico $χ A$ de $A$ ,
$λ$ es un valor propio de la matriz $A.$

La multiplicidad de una raíz $λ$ de $μ A$ es la potencia más grande $m$ tal que $ker((A - λI n) m)$ contiene estrictamente $a ker((A - λI n) m -1)$ . En otras palabras, aumentar el exponente hasta $m$ dará kernels cada vez más grandes , pero aumentar aún más el exponente más allá de $m$ dará simplemente el mismo kernel.

Si el cuerpo $F$ no es algebraicamente cerrado , entonces los polinomios mínimos y característicos no necesitan factorizarse sólo en función de sus raíces (en $F$ ), es decir, pueden tener factores polinómicos irreducibles de grado mayor que $1.$ Para los polinomios irreducibles $P$ se tienen equivalencias similares:

$P$ divide $μ A$ ,
$P$ divide $χ A$ ,
El núcleo de $P (A)$ tiene dimensión al menos $1$ .
El núcleo de $P (A)$ tiene dimensión al menos $deg(P)$ .

Al igual que el polinomio característico, el polinomio mínimo no depende del cuerpo base. En otras palabras, considerar la matriz como una con coeficientes en un cuerpo mayor no cambia el polinomio mínimo. La razón para esto difiere del caso del polinomio característico (donde es inmediato a partir de la definición de determinantes ), a saber, por el hecho de que el polinomio mínimo está determinado por las relaciones de dependencia lineal entre las potencias de $A$ : extender el cuerpo base no introducirá ninguna nueva relación de este tipo (ni, por supuesto, eliminará las existentes).

El polinomio mínimo suele ser el mismo que el polinomio característico, pero no siempre. Por ejemplo, si $A$ es un múltiplo $aI n$ de la matriz identidad , entonces su polinomio mínimo es $X - a$ puesto que el núcleo de $aI n - A = 0$ ya es todo el espacio; por otro lado, su polinomio característico es $(X - a) n$ (el único valor propio es $a$ , y el grado del polinomio característico es siempre igual a la dimensión del espacio). El polinomio mínimo siempre divide al polinomio característico, que es una forma de formular el teorema de Cayley-Hamilton (para el caso de matrices sobre un cuerpo).

Definición formal

Dado un endomorfismo $T en un$ espacio vectorial de dimensión finita $V$ sobre un cuerpo $F$ , sea $I T$ el conjunto definido como

{\mathit {I}}_{T}=\{p\in \mathbf {F}[t]\mid p(T)=0\},

donde $F [t]$ es el espacio de todos los polinomios sobre el cuerpo $F$ . $I T$ es un ideal propio de $F [t]$ . Como $F$ es un cuerpo, $F [t]$ es un dominio ideal principal , por lo que cualquier ideal es generado por un único polinomio, que es único hasta una unidad en $F$ . Se puede hacer una elección particular entre los generadores, ya que precisamente uno de los generadores es mónico . El polinomio mínimo se define así como el polinomio mónico que genera $I T$ . Es el polinomio mónico de menor grado en $I T$ .

Aplicaciones

Un endomorfismo $φ$ de un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo $F$ es diagonalizable si y solo si su polinomio mínimo se factoriza completamente sobre $F$ en factores lineales distintos . El hecho de que solo haya un factor $X - λ$ para cada valor propio $λ$ significa que el espacio propio generalizado para $λ$ es el mismo que el espacio propio para $λ$ : cada bloque de Jordan tiene tamaño $1$ . De manera más general, si $φ$ satisface una ecuación polinómica $P (φ) = 0$ donde $P$ se factoriza en factores lineales distintos sobre $F$ , entonces será diagonalizable: su polinomio mínimo es un divisor de $P$ y, por lo tanto, también se factoriza en factores lineales distintos. En particular, se tiene:

$P = X k - 1$ : los endomorfismos de orden finito de espacios vectoriales complejos son diagonalizables. Para el caso especial $k = 2$ de involuciones , esto es cierto incluso para endomorfismos de espacios vectoriales sobre cualquier cuerpo de característica distinta de $2$ , ya que $X 2 - 1 = (X - 1)(X + 1)$ es una factorización en factores distintos sobre dicho cuerpo. Esto es parte de la teoría de representación de grupos cíclicos .
$P = X 2 - X = X (X - 1)$ : los endomorfismos que satisfacen $φ 2 = φ$ se denominan proyecciones y siempre son diagonalizables (además, sus únicos valores propios son $0$ y $1$ ).
Por el contrario, si $μ φ = X k$ con $k \geq 2,$ entonces $φ$ (un endomorfismo nilpotente ) no es necesariamente diagonalizable, ya que $X k$ tiene una raíz repetida $0$ .

Estos casos también se pueden demostrar directamente, pero el polinomio mínimo proporciona una perspectiva y una prueba unificadas.

Cálculo

Para un vector $v$ distinto de cero en $V$ definamos:

{\mathit {I}}_{T,v}=\{p\in \mathbf {F} [t]\;|\;p(T)(v)=0\}.

Esta definición satisface las propiedades de un ideal propio. Sea $μ T, v$ el polinomio mónico que lo genera.

Propiedades

Dado que $I T, v$ contiene el polinomio mínimo $μ T$ , este último es divisible por $μ T, v$ .
Si $d$ es el menor número natural tal que $v, T (v), ..., T d (v)$ son linealmente dependientes , entonces existen únicos $a 0, a 1, ..., a d -1$ en $F$ , no todos ceros, tales que
$a_{0}v+a_{1}T(v)+\cdots +a_{d-1}T^{d-1}(v)+T^{d}(v)=0$
y para estos coeficientes se tiene
$\mu_{T,v}(t)=a_{0}+a_{1}t+\ldots +a_{d-1}t^{d-1}+t^{d}.$
Sea el subespacio W la imagen de $μ T, v (T)$ , que es $T$ -estable . Como $μ T, v (T)$ aniquila al menos los vectores $v, T (v), ..., T d -1 (v)$ , la codimensión de $W$ es al menos $d$ .
El polinomio mínimo $μ T$ es el producto de $μ T, v$ y el polinomio mínimo $Q$ de la restricción de $T$ a $W$ . En el caso (probable) de que $W$ tenga dimensión $0,$ se tiene $Q = 1$ y, por lo tanto, $μ T = μ T, v$ ; de lo contrario, un cálculo recursivo de $Q$ es suficiente para encontrar $μ T$ .

Ejemplo

Defina $T$ como el endomorfismo de $R 3$ con matriz, sobre la base canónica ,

{\begin{pmatrix}1&-1&-1\\1&-2&1\\0&1&-3\end{pmatrix}}.

Tomando el primer vector base canónico $e 1$ y sus imágenes repetidas por $T$ se obtiene

e_{1}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\quad T\cdot e_{1}={\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}}.\quad T^{2}\!\cdot e_{1}={\begin{bmatrix}0\\-1\\1\end{bmatrix}}{\mbox{ y}}\quad T^{3}\!\cdot e_{1}={\begin{bmatrix}0\\3\\-4\end{bmatrix}}

de los cuales se ve fácilmente que los tres primeros son linealmente independientes y, por lo tanto, abarcan todo $R 3$ . El último entonces necesariamente es una combinación lineal de los tres primeros, de hecho

T 3 \cdot e 1 = -4 T 2 \cdot e 1 - T \cdot e 1 + e 1

de modo que:

μ T, e 1 = X 3 + 4 X 2 + X - I

De hecho, este es también el polinomio mínimo $μ T$ y el polinomio característico $χ T$ : en efecto, $μ T, e 1$ divide $a μ T$ que divide $a χ T$ , y como el primero y el último son de grado $3$ y todos son mónicos, todos deben ser iguales. Otra razón es que, en general, si cualquier polinomio en $T$ aniquila un vector $v$ , entonces también aniquila $a T \cdot v$ (simplemente aplique $T$ a la ecuación que dice que aniquila $a v$ ), y, por lo tanto, por iteración, aniquila todo el espacio generado por las imágenes iteradas por $T$ de $v$ ; en el caso actual hemos visto que para $v = e 1$ ese espacio es todo $R 3$ , por lo que $μ T, e 1 (T) = 0$ . De hecho, se verifica para la matriz completa que $T 3 + 4 T 2 + T - I 3$ es la matriz cero :

{\begin{bmatrix}0&1&-3\\3&-13&23\\-4&19&-36\end{bmatrix}}+4{\begin{bmatrix}0&0&1\\-1&4&-6\\1&-5&10\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&-1&-1\\1&-2&1\\0&1&-3\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}

Véase también

Polinomio aniquilador

Referencias

Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, Sr. 1878556