Polinomios de Chebyshev

Secuencia polinomial

Gráfica del polinomio de Chebyshev de primera especie T n(x) con n=5 en el plano complejo de -2-2i a 2+2i con colores creados con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1

Los polinomios de Chebyshev son dos secuencias de polinomios relacionados con las funciones coseno y seno , anotadas como y . Se pueden definir de varias formas equivalentes, una de las cuales comienza con funciones trigonométricas : ${\displaystyle T_{n}(x)}$ ${\displaystyle U_{n}(x)}$

Los polinomios de Chebyshev de primera especie se definen por: ${\displaystyle T_{n}}$

${\displaystyle T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta ).}$

De manera similar, los polinomios de Chebyshev de segunda especie se definen por: ${\displaystyle U_{n}}$

${\displaystyle U_{n}(\cos \theta )\sin \theta =\sin {\big (}(n+1)\theta {\big )}.}$

Que estas expresiones definan polinomios en puede no ser obvio a primera vista, pero se desprende al reescribir y usar la fórmula de de Moivre o al usar las fórmulas de suma de ángulos para y repetidamente. Por ejemplo, las fórmulas de ángulos dobles , que se derivan directamente de las fórmulas de suma de ángulos, se pueden usar para obtener y , que son respectivamente un polinomio en y un polinomio en multiplicado por . Por tanto y . ${\displaystyle \cos \theta }$ ${\displaystyle \cos(n\theta )}$ ${\displaystyle \sin {\big (}(n+1)\theta {\big )}}$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle T_{2}(\cos \theta )=\cos(2\theta )=2\cos ^{2}\theta -1}$ ${\displaystyle U_{1}(\cos \theta )\sin \theta =\sin(2\theta )=2\cos \theta \sin \theta }$ ${\displaystyle \cos \theta }$ ${\displaystyle \cos \theta }$ ${\displaystyle \sin \theta }$ ${\displaystyle T_{2}(x)=2x^{2}-1}$ ${\displaystyle U_{1}(x)=2x}$

Una propiedad importante y conveniente de los T _n ( x ) es que son ortogonales con respecto al producto interno :

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-1}^{1}f(x)\,g(x)\,{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}},}$

y U _n ( x ) son ortogonales con respecto a otro producto interno análogo, que se muestra a continuación.

Los polinomios de Chebyshev T _n son polinomios con el coeficiente principal más grande posible cuyo valor absoluto en el intervalo [−1, 1] está acotado por 1. También son los polinomios "extremos" para muchas otras propiedades. ^[1]

En 1952, Cornelius Lanczos demostró que los polinomios de Chebyshev son importantes en la teoría de aproximación para la solución de sistemas lineales; ^[2] las raíces de T _n ( x ) , que también se denominan nodos de Chebyshev , se utilizan como puntos coincidentes para optimizar la interpolación polinomial . El polinomio de interpolación resultante minimiza el problema del fenómeno de Runge y proporciona una aproximación cercana a la mejor aproximación polinómica a una función continua bajo la norma máxima , también llamada criterio " minimax ". Esta aproximación conduce directamente al método de la cuadratura de Clenshaw-Curtis .

Estos polinomios recibieron el nombre de Pafnuty Chebyshev . ^[3] La letra T se utiliza debido a las transliteraciones alternativas del nombre Chebyshev como Tchebycheff , Tchebyshev (francés) o Tschebyschow (alemán).

Definiciones

Definición de recurrencia

Gráfico de los primeros cinco polinomios de T _n Chebyshev (primer tipo)

Los polinomios de Chebyshev de primera especie se obtienen a partir de la relación de recurrencia :

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{n+1}(x)&=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x).\end{aligned}}}$

La recurrencia también permite representarlos explícitamente como el determinante de una matriz tridiagonal de tamaño : ${\displaystyle k\times k}$

${\displaystyle T_{k}(x)=\det {\begin{bmatrix}x&1&0&\cdots &0\\1&2x&1&\ddots &\vdots \\0&1&2x&\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &1\\0&\cdots &0&1&2x\end{bmatrix}}}$

La función generadora ordinaria para T _n es:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)\,t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.}$

Hay varias otras funciones generadoras para los polinomios de Chebyshev; la función generadora exponencial es:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}={\frac {1}{2}}\!\left(e^{t\left(x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}+e^{t\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}\right)=e^{tx}\cosh \left(t{\sqrt {x^{2}-1}}\right).}$

La función generadora relevante para la teoría del potencial bidimensional y la expansión multipolar es:

${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }T_{n}(x)\,{\frac {t^{n}}{n}}=\ln \left({\frac {1}{\sqrt {1-2tx+t^{2}}}}\right).}$

Gráfico de los primeros cinco polinomios _de Un Chebyshev (segundo tipo)

Los polinomios de Chebyshev de segunda especie se definen mediante la relación de recurrencia:

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{n+1}(x)&=2x\,U_{n}(x)-U_{n-1}(x).\end{aligned}}}$

Observe que los dos conjuntos de relaciones de recurrencia son idénticos, excepto vs. La función generadora ordinaria para U _n es: ${\displaystyle T_{1}(x)=x}$ ${\displaystyle U_{1}(x)=2x}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)\,t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}},}$

y la función generadora exponencial es:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=e^{tx}\!\left(\!\cosh \left(t{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+{\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}\sinh \left(t{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\!\right).}$

Definición trigonométrica

Como se describe en la introducción, los polinomios de Chebyshev del primer tipo se pueden definir como polinomios únicos que satisfacen:

${\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos x)&{\text{ if }}~|x|\leq 1\\\cosh(n\operatorname {arcosh} x)&{\text{ if }}~x\geq 1\\(-1)^{n}\cosh(n\operatorname {arcosh} (-x))&{\text{ if }}~x\leq -1\end{cases}}}$

o, en otras palabras, como los polinomios únicos que satisfacen:

${\displaystyle T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta )}$

para norte = 0, 1, 2, 3,… .

Los polinomios de segunda clase satisfacen:

${\displaystyle U_{n-1}(\cos \theta )\sin \theta =\sin(n\theta ),}$

o

${\displaystyle U_{n}(\cos \theta )={\frac {\sin {\big (}(n+1)\,\theta {\big )}}{\sin \theta }},}$

que es estructuralmente bastante similar al núcleo de Dirichlet D _n ( x ) :

${\displaystyle D_{n}(x)={\frac {\sin \left((2n+1){\dfrac {x}{2}}\,\right)}{\sin {\dfrac {x}{2}}}}=U_{2n}\!\!\left(\cos {\frac {x}{2}}\right).}$

(El núcleo de Dirichlet, de hecho, coincide con lo que ahora se conoce como el polinomio de Chebyshev de cuarta clase.)

Una forma equivalente de expresar esto es mediante la exponenciación de un número complejo : dado un número complejo z = a + bi con valor absoluto de uno:

${\displaystyle z^{n}=T_{n}(a)+ibU_{n-1}(a).}$

Los polinomios de Chebyshev se pueden definir de esta forma al estudiar polinomios trigonométricos . ^[4]

Que cos nx es un polinomio de grado n en cos x se puede ver observando que cos nx es la parte real de un lado de la fórmula de de Moivre :

${\displaystyle \cos n\theta +i\sin n\theta =(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}.}$

La parte real del otro lado es un polinomio en cos x y sen x , en el que todas las potencias de sen x son pares y, por tanto, reemplazables mediante la identidad cos ² x + sen ² x = 1 . Por el mismo razonamiento, sen nx es la parte imaginaria del polinomio, en el que todas las potencias de sen x son impares y, por lo tanto, si se factoriza un factor de sen x , los factores restantes se pueden reemplazar para crear a ( n −1 ) polinomio de st grado en cos x .

Definición de polinomios de conmutación

Los polinomios de Chebyshev también se pueden caracterizar mediante el siguiente teorema: ^[5]

Si es una familia de polinomios mónicos con coeficientes en un campo de característica tal que y para todos y , entonces, hasta un simple cambio de variables, ya sea para todos o para todos . ${\displaystyle F_{n}(x)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \deg F_{n}(x)=n}$ ${\displaystyle F_{m}(F_{n}(x))=F_{n}(F_{m}(x))}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{n}(x)=x^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F_{n}(x)=2*T_{n}(x/2)}$ ${\displaystyle n}$

Definición de la ecuación de Pell

Los polinomios de Chebyshev también se pueden definir como las soluciones de la ecuación de Pell :

${\displaystyle T_{n}(x)^{2}-\left(x^{2}-1\right)U_{n-1}(x)^{2}=1}$

en un anillo R [ x ] . ^[6] Por lo tanto, pueden generarse mediante la técnica estándar para las ecuaciones de Pell de tomar potencias de una solución fundamental:

${\displaystyle T_{n}(x)+U_{n-1}(x)\,{\sqrt {x^{2}-1}}=\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{n}~.}$

Relaciones entre los dos tipos de polinomios de Chebyshev

Los polinomios de Chebyshev de primera y segunda clase corresponden a un par complementario de secuencias de Lucas Ṽ _n ( P , Q ) y × _n ( P , Q ) con parámetros P = 2 x y Q = 1 :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {U}}_{n}(2x,1)&=U_{n-1}(x),\\{\tilde {V}}_{n}(2x,1)&=2\,T_{n}(x).\end{aligned}}}$

De ello se deduce que también satisfacen un par de ecuaciones de recurrencia mutua: ^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n+1}(x)&=x\,T_{n}(x)-(1-x^{2})\,U_{n-1}(x),\\U_{n+1}(x)&=x\,U_{n}(x)+T_{n+1}(x).\end{aligned}}}$

El segundo de ellos se puede reordenar utilizando la definición de recurrencia de los polinomios de Chebyshev del segundo tipo para dar:

${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {1}{2}}{\big (}U_{n}(x)-U_{n-2}(x){\big )}.}$

El uso de esta fórmula de forma iterativa da la fórmula de suma:

${\displaystyle U_{n}(x)={\begin{cases}2\sum _{{\text{ odd }}j}^{n}T_{j}(x)&{\text{ for odd }}n.\\2\sum _{{\text{ even }}j}^{n}T_{j}(x)-1&{\text{ for even }}n,\end{cases}}}$

mientras que reemplazando y usando la fórmula derivada para da la relación de recurrencia para la derivada de : ${\displaystyle U_{n}(x)}$ ${\displaystyle U_{n-2}(x)}$ ${\displaystyle T_{n}(x)}$ ${\displaystyle T_{n}}$

${\displaystyle 2\,T_{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,T_{n+1}(x)-{\frac {1}{n-1}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,T_{n-1}(x),\qquad n=2,3,\ldots }$

Esta relación se utiliza en el método espectral de Chebyshev para resolver ecuaciones diferenciales.

Las desigualdades de Turán para los polinomios de Chebyshev son: ^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)^{2}-T_{n-1}(x)\,T_{n+1}(x)&=1-x^{2}>0&&{\text{ for }}-1<x<1&&{\text{ and }}\\U_{n}(x)^{2}-U_{n-1}(x)\,U_{n+1}(x)&=1>0~.\end{aligned}}}$

Las relaciones integrales son ^{[7] : 187(47)(48)  [9]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\frac {T_{n}(y)}{(y-x){\sqrt {1-y^{2}}}}}\,\mathrm {d} y&=\pi \,U_{n-1}(x)~,\\\int _{-1}^{1}{\frac {{\sqrt {1-y^{2}}}\,U_{n-1}(y)}{y-x}}\,\mathrm {d} y&=-\pi \,T_{n}(x)\end{aligned}}}$

donde las integrales se consideran como valor principal.

Expresiones explícitas

Diferentes enfoques para definir los polinomios de Chebyshev conducen a diferentes expresiones explícitas. La definición trigonométrica da una fórmula explícita como sigue:

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)&={\begin{cases}\cos(n\arccos x)\qquad \quad &{\text{ for }}~-1\leq x\leq 1\\\cosh(n\operatorname {arcosh} x)\qquad \quad &{\text{ for }}~1\leq x\\(-1)^{n}\cosh {\big (}n\operatorname {arcosh} (-x){\big )}\qquad \quad &{\text{ for }}~x\leq -1\end{cases}}\end{aligned}}}$

A partir de esta forma trigonométrica, la definición de recurrencia se puede recuperar calculando directamente que se cumplen los casos bases:

${\displaystyle T_{0}(\cos \theta )=\cos(0\theta )=1}$

y

${\displaystyle T_{1}(\cos \theta )=\cos \theta ,}$

y que la identidad producto-suma se cumple:

${\displaystyle 2\cos n\theta \cos \theta =\cos \lbrack (n+1)\theta \rbrack +\cos \lbrack (n-1)\theta \rbrack .}$

Utilizando la definición de exponenciación de números complejos del polinomio de Chebyshev, se puede derivar la siguiente expresión:

${\displaystyle T_{n}(x)={\dfrac {1}{2}}{\bigg (}{\Big (}x-{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big )}^{n}+{\Big (}x+{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big )}^{n}{\bigg )}\qquad {\text{ for }}~x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle T_{n}(x)={\dfrac {1}{2}}{\bigg (}{\Big (}x-{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big )}^{n}+{\Big (}x-{\sqrt {x^{2}-1}}{\Big )}^{-n}{\bigg )}\qquad {\text{ for }}~x\in \mathbb {R} }$

Los dos son equivalentes porque . ${\displaystyle (x+{\sqrt {x^{2}-1}})(x-{\sqrt {x^{2}-1}})=1}$

Una forma explícita del polinomio de Chebyshev en términos de monomios x ^k se desprende de la fórmula de de Moivre :

${\displaystyle T_{n}(\cos(\theta ))=\operatorname {Re} (\cos n\theta +i\sin n\theta )=\operatorname {Re} ((\cos \theta +i\sin \theta )^{n}),}$

donde Re denota la parte real de un número complejo. Ampliando la fórmula se obtiene:

${\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\sum \limits _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}i^{j}\sin ^{j}\theta \cos ^{n-j}\theta .}$

La parte real de la expresión se obtiene a partir de sumandos correspondientes a índices pares. Observando y , se obtiene la fórmula explícita: ${\displaystyle i^{2j}=(-1)^{j}}$ ${\displaystyle \sin ^{2j}\theta =(1-\cos ^{2}\theta )^{j}}$

${\displaystyle \cos n\theta =\sum \limits _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2j}}(\cos ^{2}\theta -1)^{j}\cos ^{n-2j}\theta ,}$

lo que a su vez significa que:

${\displaystyle T_{n}(x)=\sum \limits _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2j}}(x^{2}-1)^{j}x^{n-2j}.}$

Esto se puede escribir como una función hipergeométrica ₂ F ₁ :

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}\left(x^{2}-1\right)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n}{2k}}\left(1-x^{-2}\right)^{k}\\&={\frac {n}{2}}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}{\frac {(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}}~(2x)^{n-2k}\qquad \qquad {\text{ for }}~n>0\\\\&=n\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k-1)!}{(n-k)!(2k)!}}(1-x)^{k}\qquad \qquad ~{\text{ for }}~n>0\\\\&={}_{2}F_{1}\!\left(-n,n;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-x)\right)\\\end{aligned}}}$

con inversa: ^{[10] [11]}

${\displaystyle x^{n}=2^{1-n}\mathop {{\sum }'} _{j=0 \atop j\,\equiv \,n{\pmod {2}}}^{n}\!\!{\binom {n}{\tfrac {n-j}{2}}}\!\;T_{j}(x),}$

donde la prima en el símbolo de suma indica que la contribución de j = 0 debe reducirse a la mitad si aparece.

Una expresión relacionada para T _n como suma de monomios con coeficientes binomiales y potencias de dos es

${\displaystyle T_{n}\left(x\right)=\sum \limits _{m=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }\left(-1\right)^{m}\left({\binom {n-m}{m}}+{\binom {n-m-1}{n-2m}}\right)\cdot 2^{n-2m-1}\cdot x^{n-2m}.}$

De manera similar, U _n se puede expresar en términos de funciones hipergeométricas:

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{n}(x)&={\frac {\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{n+1}-\left(x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)^{n+1}}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}\left(x^{2}-1\right)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}\left(1-x^{-2}\right)^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{\binom {2k-(n+1)}{k}}~(2x)^{n-2k}&{\text{ for }}~n>0\\&=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n-k}{k}}~(2x)^{n-2k}&{\text{ for }}~n>0\\&=\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k+1)!}{(n-k)!(2k+1)!}}(1-x)^{k}&{\text{ for }}~n>0\\&=(n+1)\ {}_{2}F_{1}\left(-n,n+2;{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-x)\right).\\\end{aligned}}}$

Propiedades

Simetría

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(-x)&=(-1)^{n}\,T_{n}(x)={\begin{cases}T_{n}(x)\quad &~{\text{ for }}~n~{\text{ even}}\\-T_{n}(x)\quad &~{\text{ for }}~n~{\text{ odd}}\end{cases}}\\\\U_{n}(-x)&=(-1)^{n}\,U_{n}(x)={\begin{cases}U_{n}(x)\quad &~{\text{ for }}~n~{\text{ even}}\\-U_{n}(x)\quad &~{\text{ for }}~n~{\text{ odd}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

Es decir, los polinomios de Chebyshev de orden par tienen simetría par y, por tanto, contienen sólo potencias pares de x . Los polinomios de Chebyshev de orden impar tienen simetría impar y, por lo tanto, contienen sólo potencias impares de x .

Raíces y extremos

Un polinomio de Chebyshev de cualquier tipo con grado n tiene n raíces simples diferentes , llamadas raíces de Chebyshev , en el intervalo [−1, 1] . Las raíces del polinomio de Chebyshev del primer tipo a veces se denominan nodos de Chebyshev porque se utilizan como nodos en la interpolación polinomial. Usando la definición trigonométrica y el hecho de que:

${\displaystyle \cos \left((2k+1){\frac {\pi }{2}}\right)=0}$

se puede demostrar que las raíces de T _n son:

${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {\pi (k+1/2)}{n}}\right),\quad k=0,\ldots ,n-1.}$

De manera similar, las raíces de U _n son:

${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n+1}}\pi \right),\quad k=1,\ldots ,n.}$

Los extremos de T _n en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1 se encuentran en:

${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n}}\pi \right),\quad k=0,\ldots ,n.}$

Una propiedad única de los polinomios de Chebyshev del primer tipo es que en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1 todos los extremos tienen valores que son −1 o 1. Por lo tanto, estos polinomios tienen sólo dos valores críticos finitos , la propiedad definitoria de Polinomios de Shabat . Tanto el primer como el segundo tipo de polinomio de Chebyshev tienen extremos en los puntos finales, dados por:

${\displaystyle T_{n}(1)=1}$

${\displaystyle T_{n}(-1)=(-1)^{n}}$

${\displaystyle U_{n}(1)=n+1}$

${\displaystyle U_{n}(-1)=(-1)^{n}(n+1).}$

Los extremos de en el intervalo donde se ubican en valores de . Son , o donde , y , es decir, y son números relativamente primos. ${\displaystyle T_{n}(x)}$ ${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \cos \left({\frac {2\pi k}{d}}\right)}$ ${\displaystyle d>2}$ ${\displaystyle d\;|\;2n}$ ${\displaystyle 0<k<d/2}$ ${\displaystyle (k,d)=1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle d}$

Específicamente, ^{[12] [13]} cuando es par: ${\displaystyle n}$

• ${\displaystyle T_{n}(x)=1}$si , o y es par. Existen tales valores de . ${\displaystyle x=\pm 1}$ ${\displaystyle d>2}$ ${\displaystyle 2n/d}$ ${\displaystyle n/2+1}$ ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle T_{n}(x)=-1}$si y es impar. Existen tales valores de . ${\displaystyle d>2}$ ${\displaystyle 2n/d}$ ${\displaystyle n/2}$ ${\displaystyle x}$

Cuando es impar: ${\displaystyle n}$

• ${\displaystyle T_{n}(x)=1}$si , o y es par. Existen tales valores de . ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle d>2}$ ${\displaystyle 2n/d}$ ${\displaystyle (n+1)/2}$ ${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle T_{n}(x)=-1}$si , o y es impar. Existen tales valores de . ${\displaystyle x=-1}$ ${\displaystyle d>2}$ ${\displaystyle 2n/d}$ ${\displaystyle (n+1)/2}$ ${\displaystyle x}$

Este resultado se ha generalizado a soluciones de , ^[13] y a y para polinomios de Chebyshev de tercera y cuarta clase, respectivamente. ^[14] ${\displaystyle U_{n}(x)\pm 1=0}$ ${\displaystyle V_{n}(x)\pm 1=0}$ ${\displaystyle W_{n}(x)\pm 1=0}$

Diferenciación e integración

Las derivadas de los polinomios pueden no ser tan sencillas. Derivando los polinomios en sus formas trigonométricas se puede demostrar que:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} T_{n}}{\mathrm {d} x}}&=nU_{n-1}\\{\frac {\mathrm {d} U_{n}}{\mathrm {d} x}}&={\frac {(n+1)T_{n+1}-xU_{n}}{x^{2}-1}}\\{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}&=n\,{\frac {nT_{n}-xU_{n-1}}{x^{2}-1}}=n\,{\frac {(n+1)T_{n}-U_{n}}{x^{2}-1}}.\end{aligned}}}$

Las dos últimas fórmulas pueden resultar numéricamente problemáticas debido a la división por cero (0/0 forma indeterminada , específicamente) en x = 1 y x = −1 . Según la regla de L'Hôpital :

${\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right|_{x=1}\!\!&={\frac {n^{4}-n^{2}}{3}},\\\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right|_{x=-1}\!\!&=(-1)^{n}{\frac {n^{4}-n^{2}}{3}}.\end{aligned}}}$

Más generalmente,

${\displaystyle \left.{\frac {d^{p}T_{n}}{dx^{p}}}\right|_{x=\pm 1}\!\!=(\pm 1)^{n+p}\prod _{k=0}^{p-1}{\frac {n^{2}-k^{2}}{2k+1}}~,}$

lo cual es de gran utilidad en la solución numérica de problemas de valores propios .

Además, tenemos:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{p}}{\mathrm {d} x^{p}}}\,T_{n}(x)=2^{p}\,n\mathop {{\sum }'} _{0\leq k\leq n-p \atop k\,\equiv \,n-p{\pmod {2}}}{\binom {{\frac {n+p-k}{2}}-1}{\frac {n-p-k}{2}}}{\frac {\left({\frac {n+p+k}{2}}-1\right)!}{\left({\frac {n-p+k}{2}}\right)!}}\,T_{k}(x),~\qquad p\geq 1,}$

donde el primo en los símbolos de suma significa que el término aportado por k = 0 debe reducirse a la mitad, si aparece.

En cuanto a la integración, la primera derivada de T _n implica que:

${\displaystyle \int U_{n}\,\mathrm {d} x={\frac {T_{n+1}}{n+1}}}$

y la relación de recurrencia para los polinomios de primer tipo que involucran derivadas establece que para n ≥ 2 :

${\displaystyle \int T_{n}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\,\left({\frac {T_{n+1}}{n+1}}-{\frac {T_{n-1}}{n-1}}\right)={\frac {n\,T_{n+1}}{n^{2}-1}}-{\frac {x\,T_{n}}{n-1}}.}$

La última fórmula se puede manipular aún más para expresar la integral de T _n en función de los polinomios de Chebyshev del primer tipo únicamente:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int T_{n}\,\mathrm {d} x&={\frac {n}{n^{2}-1}}T_{n+1}-{\frac {1}{n-1}}T_{1}T_{n}\\&={\frac {n}{n^{2}-1}}\,T_{n+1}-{\frac {1}{2(n-1)}}\,(T_{n+1}+T_{n-1})\\&={\frac {1}{2(n+1)}}\,T_{n+1}-{\frac {1}{2(n-1)}}\,T_{n-1}.\end{aligned}}}$

Además, tenemos:

${\displaystyle \int _{-1}^{1}T_{n}(x)\,\mathrm {d} x={\begin{cases}{\frac {(-1)^{n}+1}{1-n^{2}}}&{\text{ if }}~n\neq 1\\0&{\text{ if }}~n=1.\end{cases}}}$

Productos de polinomios de Chebyshev

Los polinomios de Chebyshev del primer tipo satisfacen la relación:

${\displaystyle T_{m}(x)\,T_{n}(x)={\tfrac {1}{2}}\!\left(T_{m+n}(x)+T_{|m-n|}(x)\right)\!,\qquad \forall m,n\geq 0,}$

lo cual se demuestra fácilmente a partir de la fórmula del producto por la suma del coseno:

${\displaystyle 2\cos \alpha \,\cos \beta =\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta ).}$

Para n = 1 , esto da como resultado la fórmula de recurrencia ya conocida, solo que dispuesta de manera diferente, y con n = 2 forma la relación de recurrencia para todos los polinomios de Chebyshev indexados pares o impares (dependiendo de la paridad del m más bajo ), lo que implica la uniformidad. o imparidad de estos polinomios. De esta expansión del producto se pueden concluir tres fórmulas más útiles para evaluar los polinomios de Chebyshev:

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{2n}(x)&=2\,T_{n}^{2}(x)-T_{0}(x)&&=2T_{n}^{2}(x)-1,\\T_{2n+1}(x)&=2\,T_{n+1}(x)\,T_{n}(x)-T_{1}(x)&&=2\,T_{n+1}(x)\,T_{n}(x)-x,\\T_{2n-1}(x)&=2\,T_{n-1}(x)\,T_{n}(x)-T_{1}(x)&&=2\,T_{n-1}(x)\,T_{n}(x)-x.\end{aligned}}}$

Los polinomios del segundo tipo satisfacen la relación semejante:

${\displaystyle T_{m}(x)\,U_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\left(U_{m+n}(x)+U_{n-m}(x)\right),&~{\text{ if }}~n\geq m-1,\\\\{\frac {1}{2}}\left(U_{m+n}(x)-U_{m-n-2}(x)\right),&~{\text{ if }}~n\leq m-2.\end{cases}}}$

(con la definición U ₋₁ ≡ 0 por convención). También satisfacen:

${\displaystyle U_{m}(x)\,U_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}\,U_{m-n+2k}(x)=\sum _{\underset {\text{ step 2 }}{p=m-n}}^{m+n}U_{p}(x)~.}$

para metro ≥ norte . Para n = 2 esta recurrencia se reduce a:

${\displaystyle U_{m+2}(x)=U_{2}(x)\,U_{m}(x)-U_{m}(x)-U_{m-2}(x)=U_{m}(x)\,{\big (}U_{2}(x)-1{\big )}-U_{m-2}(x)~,}$

que establece la uniformidad o imparidad de los polinomios de Chebyshev indexados pares o impares de segunda clase dependiendo de si m comienza con 2 o 3.

Propiedades de composición y divisibilidad.

Las definiciones trigonométricas de T _n y U _n implican la composición o propiedades de anidamiento: ^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{mn}(x)&=T_{m}(T_{n}(x)),\\U_{mn-1}(x)&=U_{m-1}(T_{n}(x))U_{n-1}(x).\end{aligned}}}$

Para T _mn el orden de composición se puede invertir, convirtiendo a la familia de funciones polinómicas T _{n en} un semigrupo conmutativo bajo composición.

Dado que T _m ( x ) es divisible por x si m es impar, se deduce que T _mn ( x ) es divisible por T _n ( x ) si m es impar. Además, U _{mn −1} ( x ) es divisible por U _{n −1} ( x ) , y en el caso de que m sea par, divisible por T _n ( x ) U _{n −1} ( x ) .

Ortogonalidad

Tanto T _n como U _n forman una secuencia de polinomios ortogonales . Los polinomios de primera especie T _n son ortogonales con respecto al peso:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},}$

en el intervalo [−1, 1] , es decir, tenemos:

${\displaystyle \int _{-1}^{1}T_{n}(x)\,T_{m}(x)\,{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~n\neq m,\\\\\pi &~{\text{ if }}~n=m=0,\\\\{\frac {\pi }{2}}&~{\text{ if }}~n=m\neq 0.\end{cases}}}$

Esto se puede probar dejando x = cos θ y usando la identidad definitoria T _n (cos θ ) = cos( nθ ) .

De manera similar, los polinomios de segunda especie U _n son ortogonales con respecto al peso:

${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$

en el intervalo [−1, 1] , es decir, tenemos:

${\displaystyle \int _{-1}^{1}U_{n}(x)\,U_{m}(x)\,{\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~n\neq m,\\{\frac {\pi }{2}}&~{\text{ if }}~n=m.\end{cases}}}$

(La medida √ 1 − x ² d x es, dentro de una constante de normalización, la distribución semicircular de Wigner ).

Estas propiedades de ortogonalidad se derivan del hecho de que los polinomios de Chebyshev resuelven las ecuaciones diferenciales de Chebyshev :

${\displaystyle (1-x^{2})T_{n}''-xT_{n}'+n^{2}T_{n}=0,}$

${\displaystyle (1-x^{2})U_{n}''-3xU_{n}'+n(n+2)U_{n}=0,}$

que son ecuaciones diferenciales de Sturm-Liouville . Una característica general de este tipo de ecuaciones diferenciales es que existe un conjunto ortonormal distinguido de soluciones. (Otra forma de definir los polinomios de Chebyshev es como las soluciones de esas ecuaciones ).

Los T _n también satisfacen una condición de ortogonalidad discreta:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{T_{i}(x_{k})\,T_{j}(x_{k})}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~i\neq j,\\N&~{\text{ if }}~i=j=0,\\{\frac {N}{2}}&~{\text{ if }}~i=j\neq 0,\end{cases}}}$

donde N es cualquier número entero mayor que max( i , j ) , ^[9] y x _k son los N nodos de Chebyshev (ver arriba) de T _N ( x ) :

${\displaystyle x_{k}=\cos \left(\pi \,{\frac {2k+1}{2N}}\right)\quad ~{\text{ for }}~k=0,1,\dots ,N-1.}$

Para los polinomios de segunda clase y cualquier número entero N > i + j con los mismos nodos de Chebyshev x _k , existen sumas similares:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(x_{k})\,U_{j}(x_{k})\left(1-x_{k}^{2}\right)}={\begin{cases}0&{\text{ if }}~i\neq j,\\{\frac {N}{2}}&{\text{ if }}~i=j,\end{cases}}}$

y sin la función de peso:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(x_{k})\,U_{j}(x_{k})}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~i\not \equiv j{\pmod {2}},\\N\cdot (1+\min\{i,j\})&~{\text{ if }}~i\equiv j{\pmod {2}}.\end{cases}}}$

Para cualquier número entero N > i + j , basado en los N ceros de U _N ( x ) :

${\displaystyle y_{k}=\cos \left(\pi \,{\frac {k+1}{N+1}}\right)\quad ~{\text{ for }}~k=0,1,\dots ,N-1,}$

se puede obtener la suma:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(y_{k})\,U_{j}(y_{k})(1-y_{k}^{2})}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}i\neq j,\\{\frac {N+1}{2}}&~{\text{ if }}i=j,\end{cases}}}$

y nuevamente sin la función de peso:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(y_{k})\,U_{j}(y_{k})}={\begin{cases}0&~{\text{ if }}~i\not \equiv j{\pmod {2}},\\{\bigl (}\min\{i,j\}+1{\bigr )}{\bigl (}N-\max\{i,j\}{\bigr )}&~{\text{ if }}~i\equiv j{\pmod {2}}.\end{cases}}}$

Mínimo ∞ -norma

Para cualquier n ≥ 1 dado , entre los polinomios de grado n con coeficiente principal 1 ( polinomios mónicos ):

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\,2^{n-1}\,}}\,T_{n}(x)}$

es aquel cuyo valor absoluto máximo en el intervalo [−1, 1] es mínimo.

Este valor absoluto máximo es:

${\displaystyle {\frac {1}{2^{n-1}}}}$

y | f ( x ) | alcanza este máximo exactamente n + 1 veces en:

${\displaystyle x=\cos {\frac {k\pi }{n}}\quad {\text{for }}0\leq k\leq n.}$

Prueba

Supongamos que w _n ( x ) es un polinomio de grado n con coeficiente principal 1 con valor absoluto máximo en el intervalo [−1, 1] menor que 1 / 2 ^{n  − 1} .

Definir

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {1}{\,2^{n-1}\,}}\,T_{n}(x)-w_{n}(x)}$

Porque en los puntos extremos de T _n tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}|w_{n}(x)|&<\left|{\frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}(x)\right|\\f_{n}(x)&>0\qquad {\text{ for }}~x=\cos {\frac {2k\pi }{n}}~&&{\text{ where }}0\leq 2k\leq n\\f_{n}(x)&<0\qquad {\text{ for }}~x=\cos {\frac {(2k+1)\pi }{n}}~&&{\text{ where }}0\leq 2k+1\leq n\end{aligned}}}$

Según el teorema del valor intermedio , f _n ( x ) tiene al menos n raíces. Sin embargo, esto es imposible, ya que f _n ( x ) es un polinomio de grado n − 1 , por lo que el teorema fundamental del álgebra implica que tiene como máximo n − 1 raíces.

Observación

Por el teorema de equioscilación , entre todos los polinomios de grado ≤  n , el polinomio f minimiza ‖ f ‖ _∞   en [−1, 1] si y solo si hay n + 2 puntos −1 ≤ x ₀ < x ₁ < ⋯ < x _{n + 1} ≤ 1 tal que | f ( x _yo ) | = ‖ f ‖ _∞    .

Por supuesto, el polinomio nulo en el intervalo [−1, 1] puede aproximarse por sí mismo y minimiza la ∞ -norma.

Arriba, sin embargo, | f |   alcanza su máximo sólo n + 1 veces porque estamos buscando el mejor polinomio de grado n ≥ 1 (por lo tanto, el teorema evocado anteriormente no se puede utilizar).

Polinomios de Chebyshev como casos especiales de familias de polinomios más generales

Los polinomios de Chebyshev son un caso especial de los polinomios ultraesféricos o de Gegenbauer , que a su vez son un caso especial de los polinomios de Jacobi : ${\displaystyle C_{n}^{(\lambda )}(x)}$ ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)&={\frac {n}{2}}\lim _{q\to 0}{\frac {1}{q}}\,C_{n}^{(q)}(x)\qquad ~{\text{ if }}~n\geq 1,\\&={\frac {1}{\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n}}}P_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}(x)={\frac {2^{2n}}{\binom {2n}{n}}}P_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}(x)~,\\U_{n}(x)&=C_{n}^{(1)}(x)\\&={\frac {n+1}{\binom {n+{\frac {1}{2}}}{n}}}P_{n}^{\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}(x)={\frac {2^{2n+1}}{\binom {2n+2}{n+1}}}P_{n}^{\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}(x)~.\end{aligned}}}$

Los polinomios de Chebyshev también son un caso especial de los polinomios de Dickson :

${\displaystyle D_{n}(2x\alpha ,\alpha ^{2})=2\alpha ^{n}T_{n}(x)\,}$

${\displaystyle E_{n}(2x\alpha ,\alpha ^{2})=\alpha ^{n}U_{n}(x).\,}$

En particular, cuando , están relacionados por y . ${\displaystyle \alpha ={\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle D_{n}(x,{\tfrac {1}{4}})=2^{1-n}T_{n}(x)}$ ${\displaystyle E_{n}(x,{\tfrac {1}{4}})=2^{-n}U_{n}(x)}$

Otras propiedades

Las curvas dadas por y = T _n ( x ) , o de manera equivalente, por las ecuaciones paramétricas y = T _n (cos θ ) = cos nθ , x = cos θ , son un caso especial de curvas de Lissajous con relación de frecuencia igual a n .

Similar a la fórmula:

${\displaystyle T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta ),}$

tenemos la fórmula análoga:

${\displaystyle T_{2n+1}(\sin \theta )=(-1)^{n}\sin \left(\left(2n+1\right)\theta \right).}$

Para x ≠ 0 :

${\displaystyle T_{n}\!\left({\frac {x+x^{-1}}{2}}\right)={\frac {x^{n}+x^{-n}}{2}}}$

y:

${\displaystyle x^{n}=T_{n}\!\left({\frac {x+x^{-1}}{2}}\right)+{\frac {x-x^{-1}}{2}}\ U_{n-1}\!\left({\frac {x+x^{-1}}{2}}\right),}$

lo que se sigue del hecho de que esto es válido por definición para x = e ^iθ .

Ejemplos

primer tipo

Los primeros polinomios de Chebyshev de primer tipo en el dominio −1 < x < 1 : los planos T ₀ , T ₁ , T ₂ , T ₃ , T ₄ y T ₅ .

Los primeros polinomios de Chebyshev del primer tipo son OEIS : A028297

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{2}(x)&=2x^{2}-1\\T_{3}(x)&=4x^{3}-3x\\T_{4}(x)&=8x^{4}-8x^{2}+1\\T_{5}(x)&=16x^{5}-20x^{3}+5x\\T_{6}(x)&=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\\T_{7}(x)&=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\\T_{8}(x)&=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\\T_{9}(x)&=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x\\T_{10}(x)&=512x^{10}-1280x^{8}+1120x^{6}-400x^{4}+50x^{2}-1\\T_{11}(x)&=1024x^{11}-2816x^{9}+2816x^{7}-1232x^{5}+220x^{3}-11x\end{aligned}}}$

segundo tipo

Los primeros polinomios de Chebyshev del segundo tipo en el dominio −1 < x < 1 : Los planos U ₀ , U ₁ , U ₂ , U ₃ , U ₄ y U ₅ . Aunque no es visible en la imagen, U _n (1) = n  + 1 y U _n (−1) = ( n  + 1)(−1) ⁿ .

Los primeros polinomios de Chebyshev del segundo tipo son OEIS : A053117

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{2}(x)&=4x^{2}-1\\U_{3}(x)&=8x^{3}-4x\\U_{4}(x)&=16x^{4}-12x^{2}+1\\U_{5}(x)&=32x^{5}-32x^{3}+6x\\U_{6}(x)&=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1\\U_{7}(x)&=128x^{7}-192x^{5}+80x^{3}-8x\\U_{8}(x)&=256x^{8}-448x^{6}+240x^{4}-40x^{2}+1\\U_{9}(x)&=512x^{9}-1024x^{7}+672x^{5}-160x^{3}+10x\end{aligned}}}$

Como conjunto de bases

La función no suave (arriba) y = − x ³ H (− x ) , donde H es la función escalonada de Heaviside y (abajo) la quinta suma parcial de su expansión de Chebyshev. La séptima suma es indistinguible de la función original en la resolución del gráfico.

En el espacio de Sobolev apropiado , el conjunto de polinomios de Chebyshev forman una base ortonormal , de modo que una función en el mismo espacio puede, en −1 ≤ x ≤ 1 , expresarse mediante la expansión: ^[16]

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T_{n}(x).}$

_{Además, como se mencionó} anteriormente, los polinomios de Chebyshev forman una base ortogonal que (entre otras cosas) implica que los coeficientes an se pueden determinar fácilmente mediante la aplicación de un producto interno . Esta suma se llama serie de Chebyshev o expansión de Chebyshev .

Dado que una serie de Chebyshev está relacionada con una serie de cosenos de Fourier mediante un cambio de variables, todos los teoremas, identidades, etc. que se aplican a las series de Fourier tienen una contraparte de Chebyshev. ^[16] Estos atributos incluyen:

• Los polinomios de Chebyshev forman un sistema ortogonal completo .
• La serie de Chebyshev converge a f ( x ) si la función es suave y continua por partes . El requisito de suavidad se puede relajar en la mayoría de los casos, siempre que haya un número finito de discontinuidades en f ( x ) y sus derivadas.
• En una discontinuidad, la serie convergerá al promedio de los límites derecho e izquierdo.

La abundancia de teoremas e identidades heredados de las series de Fourier hacen de los polinomios de Chebyshev herramientas importantes en el análisis numérico ; por ejemplo, son las funciones de base de propósito general más populares utilizadas en el método espectral , ^[16] a menudo a favor de las series trigonométricas debido a una convergencia generalmente más rápida para funciones continuas ( el fenómeno de Gibbs sigue siendo un problema).

Ejemplo 1

Considere la expansión de Chebyshev de log(1 +  x ) . Se puede expresar:

${\displaystyle \log(1+x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T_{n}(x)~.}$

Se pueden encontrar los coeficientes an mediante la aplicación de un producto interno o mediante la condición de ortogonalidad discreta _. Para el producto interior:

${\displaystyle \int _{-1}^{+1}\,{\frac {T_{m}(x)\,\log(1+x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\int _{-1}^{+1}{\frac {T_{m}(x)\,T_{n}(x)}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x,}$

lo que da:

${\displaystyle a_{n}={\begin{cases}-\log 2&{\text{ for }}~n=0,\\{\frac {-2(-1)^{n}}{n}}&{\text{ for }}~n>0.\end{cases}}}$

Alternativamente, cuando no se puede evaluar el producto interno de la función que se está aproximando, la condición de ortogonalidad discreta proporciona un resultado a menudo útil para coeficientes aproximados :

${\displaystyle a_{n}\approx {\frac {\,2-\delta _{0n}\,}{N}}\,\sum _{k=0}^{N-1}T_{n}(x_{k})\,\log(1+x_{k}),}$

donde δ _ij es la función delta de Kronecker y x _k son los N ceros de Gauss-Chebyshev de T _N ( x ) :

${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {\pi \left(k+{\tfrac {1}{2}}\right)}{N}}\right).}$

Para cualquier N , estos coeficientes aproximados proporcionan una aproximación exacta a la función en x _k con un error controlado entre esos puntos. Los coeficientes exactos se obtienen con N = ∞ , representando así la función exactamente en todos los puntos en [−1,1] . La tasa de convergencia depende de la función y su suavidad.

Esto nos permite calcular los coeficientes aproximados de _manera muy eficiente a través de la transformada discreta del coseno :

${\displaystyle a_{n}\approx {\frac {2-\delta _{0n}}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}\cos \left({\frac {n\pi \left(\,k+{\tfrac {1}{2}}\right)}{N}}\right)\log(1+x_{k}).}$

Ejemplo 2

Para dar otro ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}(1-x^{2})^{\alpha }&=-{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\,{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+\alpha \right)}{\Gamma (\alpha +1)}}+2^{1-2\alpha }\,\sum _{n=0}(-1)^{n}\,{2\alpha \choose \alpha -n}\,T_{2n}(x)\\&=2^{-2\alpha }\,\sum _{n=0}(-1)^{n}\,{2\alpha +1 \choose \alpha -n}\,U_{2n}(x).\end{aligned}}}$

sumas parciales

Las sumas parciales de:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}T_{n}(x)}$

Son muy útiles en la aproximación de diversas funciones y en la solución de ecuaciones diferenciales (ver método espectral ). Dos métodos comunes para determinar los coeficientes an son mediante _el uso del producto interno como en el método de Galerkin y mediante el uso de colocación que está relacionada con la interpolación .

Como interpolante, los N coeficientes de la ( N  − 1) st suma parcial generalmente se obtienen en los puntos de Chebyshev-Gauss-Lobatto ^[17] (o cuadrícula de Lobatto), lo que resulta en un error mínimo y evita el fenómeno de Runge asociado con un uniforme red. Esta colección de puntos corresponde a los extremos del polinomio de mayor orden en la suma, más los puntos finales y viene dada por:

${\displaystyle x_{k}=-\cos \left({\frac {k\pi }{N-1}}\right);\qquad k=0,1,\dots ,N-1.}$

Polinomio en forma de Chebyshev

Un polinomio arbitrario de grado N se puede escribir en términos de los polinomios de Chebyshev de primera especie. ^[9] Tal polinomio p ( x ) tiene la forma:

${\displaystyle p(x)=\sum _{n=0}^{N}a_{n}T_{n}(x).}$

Los polinomios en forma de Chebyshev se pueden evaluar utilizando el algoritmo de Clenshaw .

Familias de polinomios relacionados con los polinomios de Chebyshev

A veces se utilizan polinomios denotados y estrechamente relacionados con los polinomios de Chebyshev. Se definen por: ^[18] ${\displaystyle C_{n}(x)}$ ${\displaystyle S_{n}(x)}$

${\displaystyle C_{n}(x)=2T_{n}\left({\frac {x}{2}}\right),\qquad S_{n}(x)=U_{n}\left({\frac {x}{2}}\right)}$

y satisfacer:

${\displaystyle C_{n}(x)=S_{n}(x)-S_{n-2}(x).}$

AF Horadam llamó a los polinomios polinomios de Vieta-Lucas y los denotó . Llamó a los polinomios polinomios de Vieta-Fibonacci y los denotó . ^[19] Las listas de ambos conjuntos de polinomios se dan en la Opera Mathematica de Viète , Capítulo IX, Teoremas VI y VII. ^[20] Los polinomios de argumento real de Vieta-Lucas y Vieta-Fibonacci son, hasta una potencia de y un desplazamiento de índice en el caso de este último, iguales a los polinomios de Lucas y Fibonacci L _n y F _n de argumento imaginario. ${\displaystyle C_{n}(x)}$ ${\displaystyle v_{n}(x)}$ ${\displaystyle S_{n}(x)}$ ${\displaystyle V_{n}(x)}$ ${\displaystyle i}$

Los polinomios de Chebyshev desplazados de primera y segunda clase están relacionados con los polinomios de Chebyshev mediante: ^[18]

${\displaystyle T_{n}^{*}(x)=T_{n}(2x-1),\qquad U_{n}^{*}(x)=U_{n}(2x-1).}$

Cuando el argumento del polinomio de Chebyshev satisface 2 x − 1 ∈ [−1, 1] el argumento del polinomio de Chebyshev desplazado satisface x ∈ [0, 1] . De manera similar, se pueden definir polinomios desplazados para intervalos genéricos [ a , b ] .

Alrededor de 1990, los términos "tercer tipo" y "cuarto tipo" comenzaron a utilizarse en relación con los polinomios de Chebyshev, aunque los polinomios indicados por estos términos tuvieron un desarrollo anterior con el nombre de polinomios de perfil aerodinámico . Según JC Mason y GH Elliott, la terminología "tercer tipo" y "cuarto tipo" se debe a Walter Gautschi , "en consulta con colegas en el campo de los polinomios ortogonales". ^[21] Los polinomios de Chebyshev de tercera clase se definen como:

${\displaystyle V_{n}(x)={\frac {\cos \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\theta \right)}{\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)}}={\sqrt {\frac {2}{1+x}}}T_{2n+1}\left({\sqrt {\frac {x+1}{2}}}\right)}$

y los polinomios de Chebyshev de cuarta especie se definen como:

${\displaystyle W_{n}(x)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\theta \right)}{\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}}=U_{2n}\left({\sqrt {\frac {x+1}{2}}}\right),}$

dónde . ^{[21] [22]} En la literatura sobre perfiles aerodinámicos y se denotan y . Las familias de polinomios , , y son ortogonales con respecto a los pesos: ${\displaystyle \theta =\arccos x}$ ${\displaystyle V_{n}(x)}$ ${\displaystyle W_{n}(x)}$ ${\displaystyle t_{n}(x)}$ ${\displaystyle u_{n}(x)}$ ${\displaystyle T_{n}(x)}$ ${\displaystyle U_{n}(x)}$ ${\displaystyle V_{n}(x)}$ ${\displaystyle W_{n}(x)}$

${\displaystyle \left(1-x^{2}\right)^{-1/2},\quad \left(1-x^{2}\right)^{1/2},\quad (1-x)^{-1/2}(1+x)^{1/2},\quad (1+x)^{-1/2}(1-x)^{1/2}}$

y son proporcionales a los polinomios de Jacobi con: ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)}$

${\displaystyle (\alpha ,\beta )=\left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right),\quad (\alpha ,\beta )=\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right),\quad (\alpha ,\beta )=\left(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right),\quad (\alpha ,\beta )=\left({\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right).}$^[22]

Las cuatro familias satisfacen la recurrencia con , donde , , o , pero difieren según si son iguales a , , o . ^[21] ${\displaystyle p_{n}(x)=2xp_{n-1}(x)-p_{n-2}(x)}$ ${\displaystyle p_{0}(x)=1}$ ${\displaystyle p_{n}=T_{n}}$ ${\displaystyle U_{n}}$ ${\displaystyle V_{n}}$ ${\displaystyle W_{n}}$ ${\displaystyle p_{1}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2x}$ ${\displaystyle 2x-1}$ ${\displaystyle 2x+1}$

Ver también

• Filtro Chebyshev
• Raíz cúbica de Chebyshev
• Polinomios de Dickson
• Polinomios de Legendre
• Polinomios de Laguerre
• Polinomios de Hermite
• Polinomio mínimo de 2cos(2pi/n)
• Polinomios de Romanovski
• Funciones racionales de Chebyshev
• Teoría de la aproximación
• El sistema Chebfun
• Transformada discreta de Chebyshev
• La desigualdad de los hermanos Markov
• Algoritmo de Clenshaw

Referencias

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Fuentes

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enlaces externos

• Medios relacionados con los polinomios de Chebyshev en Wikimedia Commons
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• "Evaluación del polinomio de Chebyshev y transformada de Chebyshev". Aumentar . Matemáticas.