Poder primario

Potencia de un número primo

En matemáticas , una potencia prima es un número entero positivo que es una potencia entera positiva de un solo número primo . Por ejemplo: 7 = 7 ¹ , 9 = 3 ² y 64 = 2 ⁶ son potencias primas, mientras que 6 = 2 × 3 , 12 = 2 ² × 3 y 36 = 6 ² = 2 ² × 3 ² no lo son.

La secuencia de potencias primarias comienza:

2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19, 23, 25, 27, 29, 31, 32, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 64, 67, 71, 73, 79, 81, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 121, 125, 127, 128, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 169, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 243, 251,…

(secuencia A246655 en la OEIS ).

Las potencias primos son aquellos números enteros positivos que son divisibles por exactamente un número primo; en particular, el número 1 no es una potencia primo. Las potencias primos también se denominan números primarios , como en la descomposición primaria .

Propiedades

Propiedades algebraicas

Las potencias primos son potencias de números primos. Toda potencia primo (excepto las potencias de 2 mayores que 4) tiene una raíz primitiva ; por lo tanto, el grupo multiplicativo de los números enteros módulo p ⁿ (es decir, el grupo de unidades del anillo Z / p ⁿ Z ) es cíclico . ^[1]

El número de elementos de un campo finito es siempre una potencia prima y, a la inversa, toda potencia prima se presenta como el número de elementos en algún campo finito (que es único hasta el isomorfismo ). ^[2]

Propiedades combinatorias

Una propiedad de las potencias primos utilizada con frecuencia en la teoría analítica de números es que el conjunto de potencias primos que no son primos es un conjunto pequeño en el sentido de que la suma infinita de sus recíprocos converge , aunque los primos son un conjunto grande. ^[3]

Propiedades de divisibilidad

La función totiente _{(φ) y las funciones sigma (σ0) y (σ1} ) de una _potencia prima se calculan mediante las fórmulas

${\displaystyle \varphi (p^{n})=p^{n-1}\varphi (p)=p^{n-1}(p-1)=p^{n}-p^{n-1}=p^{n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right),}$

${\displaystyle \sigma _{0}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{0\cdot j}=\sum _{j=0}^{n}1=n+1,}$

${\displaystyle \sigma _{1}(p^{n})=\sum _{j=0}^{n}p^{1\cdot j}=\sum _{j=0}^{n}p^{j}={\frac {p^{n+1}-1}{p-1}}.}$

Todas las potencias primos son números deficientes . Una potencia primo p ⁿ es un n - casi primo . No se sabe si una potencia primo p ⁿ puede ser miembro de un par amistoso . Si existe tal número, entonces p ⁿ debe ser mayor que 10 ¹⁵⁰⁰ y n debe ser mayor que 1400.

Véase también

• Casi primoroso
• Número primo de Fermi-Dirac
• Poder perfecto
• Semiprime

Referencias

1. Crandall, Richard ; Pomerance, Carl B. (2005). Números primos: una perspectiva computacional (2.ª ed.). Springer. pág. 40. ISBN 9780387289793.
2. Koblitz, Neal (2012). Un curso sobre teoría de números y criptografía. Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 114. Springer. pág. 34. ISBN. 9781468403107.
3. Bayless, Jonathan; Klyve, Dominic (noviembre de 2013). "Sumas recíprocas como métrica de conocimiento: teoría, computación y números perfectos". The American Mathematical Monthly . 120 (9): 822–831. doi :10.4169/amer.math.monthly.120.09.822. JSTOR  10.4169/amer.math.monthly.120.09.822. S2CID  12825183 – vía JSTOR.

Lectura adicional

• Jones, Gareth A. y Jones, J. Mary (1998) Teoría de números elemental Springer-Verlag Londres doi :10.1007/978-1-4471-0613-5