En matemáticas, se dice que una forma cuadrática sobre un cuerpo F es isótropa si existe un vector distinto de cero en el que la forma evalúa a cero. De lo contrario, es una forma cuadrática definida . Más explícitamente, si q es una forma cuadrática en un espacio vectorial V sobre F , entonces se dice que un vector distinto de cero v en V es isótropo si q ( v ) = 0. Una forma cuadrática es isótropa si y solo si existe un vector isótropo distinto de cero (o vector nulo ) para esa forma cuadrática.
Supóngase que ( V , q ) es un espacio cuadrático y W es un subespacio de V . Entonces W se llama subespacio isótropo de V si algún vector en él es isótropo, un subespacio totalmente isótropo si todos los vectores en él son isótropos y un subespacio definido si no contiene ningún vector isótropo (distinto de cero).El índice de isotropía de un espacio cuadrático es el máximo de las dimensiones de los subespacios totalmente isótropos.[1]
De manera más general, si la forma cuadrática no es degenerada y tiene la signatura ( a , b ) , entonces su índice de isotropía es el mínimo de a y b . Un ejemplo importante de una forma isótropa sobre los números reales se da en el espacio pseudoeuclidiano .
Sea F un cuerpo de característica distinta de 2 y V = F 2 . Si consideramos el elemento general ( x , y ) de V , entonces las formas cuadráticas q = xy y r = x 2 − y 2 son equivalentes ya que hay una transformación lineal en V que hace que q parezca r , y viceversa. Evidentemente, ( V , q ) y ( V , r ) son isótropas. Este ejemplo se denomina plano hiperbólico en la teoría de formas cuadráticas . Un ejemplo común tiene F = números reales en cuyo caso { x ∈ V : q ( x ) = constante distinta de cero} y { x ∈ V : r ( x ) = constante distinta de cero} son hipérbolas . En particular, { x ∈ V : r ( x ) = 1} es la hipérbola unitaria . La notación ⟨1⟩ ⊕ ⟨−1⟩ ha sido utilizada por Milnor y Husemoller [1] : 9 para el plano hiperbólico a medida que se muestran los signos de los términos del polinomio bivariado r .
El plano hiperbólico afín fue descrito por Emil Artin como un espacio cuadrático con base { M , N } que satisface M 2 = N 2 = 0, NM = 1 , donde los productos representan la forma cuadrática. [2]
A través de la identidad de polarización la forma cuadrática se relaciona con una forma bilineal simétrica B ( u , v ) = 1/4 ( q ( u + v ) − q ( u − v )) .
Dos vectores u y v son ortogonales cuando B ( u , v ) = 0 . En el caso del plano hiperbólico, tales u y v son hiperbólicamente ortogonales .
Un espacio con forma cuadrática es desdoblado (o metabólico ) si existe un subespacio que es igual a su propio complemento ortogonal ; equivalentemente, el índice de isotropía es igual a la mitad de la dimensión. [1] : 57 El plano hiperbólico es un ejemplo, y sobre un cuerpo de característica no igual a 2, todo espacio desdoblado es una suma directa de planos hiperbólicos. [1] : 12, 3
Desde el punto de vista de la clasificación de formas cuadráticas, los espacios con formas cuadráticas definidas son los bloques básicos para la construcción de espacios cuadráticos de dimensiones arbitrarias. Para un cuerpo general F , la clasificación de formas cuadráticas definidas es un problema no trivial. Por el contrario, las formas isótropas suelen ser mucho más fáciles de manejar. Por el teorema de descomposición de Witt , cada espacio de producto interno sobre un cuerpo es una suma directa ortogonal de un espacio dividido y un espacio con forma cuadrática definida. [1] : 56