Avión de Laguerre

En matemáticas , un plano de Laguerre es uno de los tres tipos de planos de Benz , que son el plano de Möbius , el plano de Laguerre y el plano de Minkowski . Los planos de Laguerre reciben su nombre del matemático francés Edmond Nicolas Laguerre .

Plano clásico de Laguerre: modelo 2D/3D

El plano de Laguerre clásico es una estructura de incidencia que describe el comportamiento de incidencia de las curvas , es decir, parábolas y líneas, en el plano afín real . Para simplificar la estructura, a cualquier curva se le añade el punto . Otra ventaja de esta terminación es que la geometría del plano de las parábolas/líneas completadas es isomorfa a la geometría de las secciones planas de un cilindro (ver más abajo). ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle (\infty ,a)}$

El clásico avión real de Laguerre

Originalmente, el plano clásico de Laguerre se definía como la geometría de las líneas y círculos orientados en el plano euclidiano real (véase ^[1] ). Aquí preferimos el modelo de parábola del plano clásico de Laguerre.

Definimos:

${\displaystyle {\mathcal {P}}:=\mathbb {R} ^{2}\cup (\{\infty \}\times \mathbb {R} ),\ \infty \notin \mathbb {R} ,}$el conjunto de puntos , el conjunto de ciclos . ${\displaystyle {\mathcal {Z}}:=\{\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid y=ax^{2}+bx+c\}\cup \{(\infty ,a)\}\mid a,b,c\in \mathbb {R} \}}$

La estructura de incidencia se llama plano de Laguerre clásico . ${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$

El conjunto de puntos es más una copia de (ver figura). Cualquier parábola/línea obtiene el punto adicional . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle (\infty ,a)}$

Los puntos con la misma coordenada x no pueden conectarse mediante curvas . Por lo tanto, definimos: ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$

Dos puntos son paralelos ( ) si o no existe ningún ciclo que contenga y . ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle A\parallel B}$ ${\displaystyle A=B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

Para la descripción del plano real clásico de Laguerre anterior, dos puntos son paralelos si y sólo si . es una relación de equivalencia , similar al paralelismo de las líneas. ${\displaystyle (a_{1},a_{2}),(b_{1},b_{2})}$ ${\displaystyle a_{1}=b_{1}}$ ${\displaystyle \parallel }$

La estructura de incidencia tiene las siguientes propiedades: ${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$

Lema:

• Para cualesquiera tres puntos , no paralelos entre sí, hay exactamente un ciclo que contiene . ${\displaystyle A,B,C}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle A,B,C}$
• Para cualquier punto y cualquier ciclo hay exactamente un punto tal que . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle P'\in z}$ ${\displaystyle P\parallel P'}$
• Para cualquier ciclo , cualquier punto y cualquier punto que no sea paralelo a hay exactamente un ciclo que pasa por , es decir, y se tocan en . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle P\in z}$ ${\displaystyle Q\notin z}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle z'}$ ${\displaystyle P,Q}$ ${\displaystyle z\cap z'=\{P\}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z'}$ ${\displaystyle P}$

Plano de Laguerre: proyección estereográfica del plano xz sobre un cilindro

Similar al modelo de esfera del plano clásico de Moebius, existe un modelo de cilindro para el plano clásico de Laguerre:

${\displaystyle ({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$es isomorfo a la geometría de las secciones planas de un cilindro circular en . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

La siguiente proyección es una proyección con centro que mapea el plano xz sobre el cilindro con la ecuación , eje y radio. ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle (0,1,0)}$ ${\displaystyle u^{2}+v^{2}-v=0}$ ${\displaystyle (0,{\tfrac {1}{2}},..)}$ ${\displaystyle r={\tfrac {1}{2}}\ :}$

${\displaystyle \Phi :\ (x,z)\rightarrow ({\frac {x}{1+x^{2}}},{\frac {x^{2}}{1+x^{2}}},{\frac {z}{1+x^{2}}})=(u,v,w)\ .}$

• Los puntos (línea del cilindro que pasa por el centro) no aparecen como imágenes. ${\displaystyle (0,1,a)}$
• ${\displaystyle \Phi }$Proyecta la parábola/línea con ecuación en el plano . Por lo tanto, la imagen de la parábola/línea es la sección plana del cilindro con un plano no perpendicular y, por lo tanto, un círculo/elipse sin punto . Las parábolas/líneas se proyectan sobre círculos (horizontales). ${\displaystyle z=ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle w-a=bu+(a-c)(v-1)}$ ${\displaystyle (0,1,a)}$ ${\displaystyle z=ax^{2}+a}$
• Una línea (a=0) se proyecta sobre un círculo/elipse que pasa por el centro y una parábola ( ) sobre un círculo/elipse que no contiene . ${\displaystyle (0,1,0)}$ ${\displaystyle a\neq 0}$ ${\displaystyle (0,1,0)}$

Los axiomas de un plano de Laguerre

El lema anterior da lugar a la siguiente definición:

Sea una estructura de incidencia con conjunto de puntos y conjunto de ciclos . Dos puntos son paralelos ( ) si o no hay ciclo que contenga y . se llama plano de Laguerre si se cumplen los siguientes axiomas: ${\displaystyle {\mathcal {L}}:=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$
${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle A\parallel B}$ ${\displaystyle A=B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$
${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Plano de Laguerre: axiomas

B1: Para cualesquiera tres puntos , no paralelos entre sí, hay exactamente un ciclo que contiene . ${\displaystyle A,B,C}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle A,B,C}$

B2: Para cualquier punto y cualquier ciclo hay exactamente un punto tal que . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle P'\in z}$ ${\displaystyle P\parallel P'}$

B3: Para cualquier ciclo , cualquier punto y cualquier punto que no sea paralelo a hay exactamente un ciclo a través de , ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle P\in z}$ ${\displaystyle Q\notin z}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle z'}$ ${\displaystyle P,Q}$ ${\displaystyle z\cap z'=\{P\}}$

es decir y tocarse el uno al otro en . ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z'}$ ${\displaystyle P}$

B4: Cualquier ciclo contiene al menos tres puntos. Hay al menos un ciclo. Hay al menos cuatro puntos que no están en un ciclo.

Cuatro puntos son concíclicos si hay un ciclo con . ${\displaystyle A,B,C,D}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle A,B,C,D\in z}$

De la definición de relación y del axioma B2 obtenemos ${\displaystyle \parallel }$

Lema: La relación es una relación de equivalencia . ${\displaystyle \parallel }$

Siguiendo el modelo cilíndrico del plano de Laguerre clásico introducimos la denotación:

a) Porque establecemos . b) Una clase de equivalencia se llama generador . ${\displaystyle P\in {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\overline {P}}:=\{Q\in {\mathcal {P}}\ |\ P\parallel Q\}}$ ${\displaystyle {\overline {P}}}$

Para el plano de Laguerre clásico, un generador es una línea paralela al eje y (modelo plano) o una línea en el cilindro (modelo espacial).

La conexión con la geometría lineal viene dada por la siguiente definición:

Para un plano de Laguerre definimos la estructura local ${\displaystyle {\mathcal {L}}:=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{P}:=({\mathcal {P}}\setminus \{{\overline {P}}\},\{z\setminus \{{\overline {P}}\}\ |\ P\in z\in {\mathcal {Z}}\}\cup \{{\overline {Q}}\ |\ Q\in {\mathcal {P}}\setminus \{{\overline {P}}\},\in )}$

y lo llamamos residuo en el punto P.

En el modelo plano del plano clásico de Laguerre se encuentra el plano afín real . En general obtenemos ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Teorema: Cualquier residuo de un plano de Laguerre es un plano afín .

Y la definición equivalente de un avión de Laguerre:

Teorema: Una estructura de incidencia junto con una relación de equivalencia en es un plano de Laguerre si y sólo si para cualquier punto el residuo es un plano afín. ${\displaystyle \parallel }$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{P}}$

Planos de Laguerre finitos

Modelo mínimo de un avión de Laguerre (solo se muestran 4 de los 8 ciclos)

La siguiente estructura de incidencia es un "modelo mínimo" de un plano de Laguerre:

${\displaystyle {\mathcal {P}}:=\{A_{1},A_{2},B_{1},B_{2},C_{1},C_{2}\}\ ,}$

${\displaystyle {\mathcal {Z}}:=\{\{A_{i},B_{j},C_{k}\}\ |\ i,j,k=1,2\}\ ,}$

${\displaystyle A_{1}\parallel A_{2},\ B_{1}\parallel B_{2},\ C_{1}\parallel C_{2}\ .}$

Por lo tanto y ${\displaystyle |{\mathcal {P}}|=6}$ ${\displaystyle |{\mathcal {Z}}|=8\ .}$

Para planos de Laguerre finitos, es decir , obtenemos: ${\displaystyle |{\mathcal {P}}|<\infty }$

Lema: Para cualquier ciclo y cualquier generador de un plano de Laguerre finito tenemos: ${\displaystyle z_{1},z_{2}}$ ${\displaystyle {\overline {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}:=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$

${\displaystyle |z_{1}|=|z_{2}|=|{\overline {P}}|+1}$.

Para un plano de Laguerre finito y un ciclo el entero se llama orden de . ${\displaystyle {\mathcal {L}}:=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$ ${\displaystyle z\in {\mathcal {Z}}}$ ${\displaystyle n:=|z|-1}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

De la combinatoria obtenemos

Lema: Sea un plano de orden Laguerre . Entonces ${\displaystyle {\mathcal {L}}:=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$ ${\displaystyle n}$

a) cualquier residuo es un plano afín de orden ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{P}}$ ${\displaystyle n,\quad }$

b) ${\displaystyle |{\mathcal {P}}|=n^{2}+n,}$

do) ${\displaystyle |{\mathcal {Z}}|=n^{3}.}$

Aviones de Laguerre de Miquelon

A diferencia de los planos de Moebius, la generalización formal del modelo clásico de un plano de Laguerre, es decir, reemplazar por un campo arbitrario , siempre conduce a un ejemplo de un plano de Laguerre. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle K}$

Teorema: Para un campo y ${\displaystyle K}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}:=K^{2}\cup }$ ${\displaystyle (\{\infty \}\times K),\ \infty \notin K}$,

${\displaystyle {\mathcal {Z}}:=\{\{(x,y)\in K^{2}\ |\ y=ax^{2}+bx+c\}\cup \{(\infty ,a)\}\ |\ a,b,c\in K\}}$La estructura de incidencia

${\displaystyle {\mathcal {L}}(K):=({\mathcal {P}},{\mathcal {Z}},\in )}$es un plano de Laguerre con la siguiente relación paralela: si y sólo si . ${\displaystyle (a_{1},a_{2})\parallel (b_{1},b_{2})}$ ${\displaystyle a_{1}=b_{1}}$

De manera similar a un plano de Möbius, la versión de Laguerre del Teorema de Miquel es válida:

Teorema de Miquel (se dibujan círculos en lugar de parábolas)

Teorema de Miquel: Para el plano de Laguerre se cumple lo siguiente: ${\displaystyle {\mathcal {L}}(K)}$

Si para cualesquiera 8 puntos no paralelos por pares que puedan asignarse a los vértices de un cubo tales que los puntos en 5 caras corresponden a cuádruples concíclicos, entonces el sexto cuádruple de puntos también es concíclico. ${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{8}}$

(Para una mejor visión general en la figura se han dibujado círculos en lugar de parábolas)

La importancia del Teorema de Miquel se muestra en el siguiente teorema, que es obra de V. D. Waerden, Smid y Chen:

Teorema: Sólo un plano de Laguerre satisface el teorema de Miquel. ${\displaystyle {\mathcal {L}}(K)}$

Debido a este último teorema se le denomina "plano de Laguerre miqueliano". ${\displaystyle {\mathcal {L}}(K)}$

El modelo mínimo de un plano de Laguerre es miqueliano. Es isomorfo al plano de Laguerre con (campo ). ${\displaystyle {\mathcal {L}}(K)}$ ${\displaystyle K=GF(2)}$ ${\displaystyle \{0,1\}}$

Una proyección estereográfica adecuada muestra que es isomorfa a la geometría de las secciones planas de un cilindro cuádrico sobre el campo . ${\displaystyle {\mathcal {L}}(K)}$ ${\displaystyle K}$

Planos de Laguerre ovoidales

Hay muchos planos de Laguerre que no son miquelianos (ver enlace web a continuación). La clase que es más similar a los planos de Laguerre miquelianos son los planos de Laguerre ovoidales . Un plano de Laguerre ovoidal es la geometría de las secciones planas de un cilindro que se construye utilizando un óvalo en lugar de una cónica no degenerada. Un óvalo es un conjunto cuadrático y tiene las mismas propiedades geométricas que una cónica no degenerada en un plano proyectivo: 1) una línea interseca un óvalo en cero, uno o dos puntos y 2) en cualquier punto hay una tangente única. Un óvalo simple en el plano real se puede construir pegando juntas dos mitades adecuadas de diferentes elipses, de modo que el resultado no sea una cónica. Incluso en el caso finito existen óvalos (ver conjunto cuadrático ).

Véase también

• Transformaciones de Laguerre

Referencias

1. Benz, Walter (2013) [1973], Vorlesungen über Geometrie der Algebren (en alemán), Heidelberg: Springer , p. 11, ISBN 9783642886713

Enlaces externos

• Avión Benz en la Enciclopedia de Matemáticas
• Nota de clase Geometrías de círculos planos, una introducción a los planos de Moebius, Laguerre y Minkowski, pág. 67