conjunto cuadrático

En matemáticas, un conjunto cuadrático es un conjunto de puntos en un espacio proyectivo que tiene las mismas propiedades de incidencia esenciales que un cuádrico ( sección cónica en un plano proyectivo, esfera o cono o hiperboloide en un espacio proyectivo).

Definición de un conjunto cuadrático

Sea un espacio proyectivo. Un conjunto cuadrático es un subconjunto no vacío del cual se cumplen las dos condiciones siguientes: ${\displaystyle {\mathfrak {P}}=({\mathcal {P}},{\mathcal {G}},\in )}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

(QS1) Cada línea de intersecta en como máximo dos puntos o está contenida en . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$

( se llama exterior a if , tangente a if cualquiera o y secante a if ). ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=0}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=1}$ ${\displaystyle g\cap {\mathcal {Q}}=g}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle |g\cap {\mathcal {Q}}|=2}$

(QS2) Para cualquier punto la unión de todas las rectas tangentes que pasa por él es un hiperplano o todo el espacio . ${\displaystyle P\in {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{P}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$

Un conjunto cuadrático se llama no degenerado si para cada punto , el conjunto es un hiperplano. ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle P\in {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}_{P}}$

Un espacio proyectivo de Pappus es un espacio proyectivo en el que se cumple el teorema del hexágono de Pappus .

El siguiente resultado, debido a Francis Buekenhout , es una afirmación sorprendente para espacios proyectivos finitos.

Teorema: Sea un espacio proyectivo finito de dimensión y un conjunto cuadrático no degenerado que contenga rectas. Entonces: es papiano y es una cuádrica con índice . ${\displaystyle {\mathfrak {P}}_{n}}$ ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {P}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {Q}}}$ ${\displaystyle \geq 2}$

Definición de óvalo y ovoide

Los óvalos y los ovoides son conjuntos cuadráticos especiales:
Sea un espacio proyectivo de dimensión . Un conjunto cuadrático no degenerado que no contiene líneas se llama ovoide (u ovalado en el caso plano). ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ ${\displaystyle \geq 2}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Las siguientes definiciones equivalentes de óvalo/ovoide son más comunes:

Definición: (óvalo) Un conjunto de puntos no vacío de un plano proyectivo se denomina óvalo si se cumplen las siguientes propiedades: ${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$

(o1) Cualquier recta se corta como máximo en dos puntos. ${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$

( o2 ) Para cualquier punto en hay una y sólo una línea tal que . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g\cap {\mathfrak {o}}=\{P\}}$

Una recta es una recta exterior o tangente o secante del óvalo si o o respectivamente. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle |g\cap {\mathfrak {o}}|=0}$ ${\displaystyle |g\cap {\mathfrak {o}}|=1}$ ${\displaystyle |g\cap {\mathfrak {o}}|=2}$

Para planos finitos, el siguiente teorema proporciona una definición más simple.

Teorema: (óvalo en plano finito) Sea un plano proyectivo de orden . Un conjunto de puntos es un óvalo si y si no hay tres puntos colineales. ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$ ${\displaystyle |{\mathfrak {o}}|=n+1}$ ${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$

Según este teorema de Beniamino Segre , para los planos proyectivos papios de orden impar los óvalos son simplemente cónicas:

Teorema: Sea un plano proyectivo papio de orden impar . Cualquier óvalo es una cónica ovalada ( cuadrica no degenerada ). ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$

Definición: (ovoide) Un conjunto de puntos no vacío de un espacio proyectivo se denomina ovoide si se cumplen las siguientes propiedades: ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

(O1) Cualquier recta se cruza como máximo en dos puntos. ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

( se llama recta exterior, tangente y secante si y respectivamente.) ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle |g\cap {\mathcal {O}}|=0,\ |g\cap {\mathcal {O}}|=1}$ ${\displaystyle |g\cap {\mathcal {O}}|=2}$

(O2) Para cualquier punto, la unión de todas las rectas tangentes es un hiperplano (plano tangente en ). ${\displaystyle P\in {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{P}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$

Ejemplo:

a) Cualquier esfera (cuádrica de índice 1) es ovoide.

b) En el caso de espacios proyectivos reales, se pueden construir ovoides combinando mitades de elipsoides adecuados de modo que no sean cuádricos.

Para espacios proyectivos finitos de dimensión sobre un campo tenemos: Teorema: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle K}$

a) En el caso de un ovoide, existe sólo si o . ${\displaystyle |K|<\infty }$ ${\displaystyle {\mathfrak {P}}_{n}(K)}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle n=3}$

b) En el caso de un ovoide es una cuádrica. ${\displaystyle |K|<\infty ,\ \operatorname {char} K\neq 2}$ ${\displaystyle {\mathfrak {P}}_{n}(K)}$

Los contraejemplos (Tits-Suzuki ovoide) muestran que el enunciado b) del teorema anterior no es cierto para : ${\displaystyle \operatorname {char} K=2}$

Referencias

• Albrecht Beutelspacher y Ute Rosenbaum (1998) Geometría proyectiva: desde los fundamentos hasta las aplicaciones , Capítulo 4: Conjuntos cuadráticos, páginas 137 a 179, Cambridge University Press ISBN  978-0521482776
• F. Buekenhout (ed.) (1995) Manual de geometría de incidencia , Elsevier ISBN 0-444-88355-X 
• P. Dembowski (1968) Geometrías finitas , Springer-Verlag ISBN 3-540-61786-8 , p. 48 

enlaces externos

• Nota de conferencia de Eric Hartmann Geometrías de círculos planos, una introducción a los planos de Moebius, Laguerre y Minkowski, de la Technische Universität Darmstadt