Onda plana

Tipo de onda que se propaga en 3 dimensiones

En física , una onda plana es un caso especial de onda o campo : una cantidad física cuyo valor, en cualquier momento, es constante a través de cualquier plano que sea perpendicular a una dirección fija en el espacio. ^[1]

Para cualquier posición en el espacio y cualquier tiempo , el valor de dicho campo se puede escribir como donde es un vector de longitud unitaria , y es una función que da el valor del campo como dependiente de solo dos parámetros reales : el tiempo , y el desplazamiento escalar del punto a lo largo de la dirección . El desplazamiento es constante sobre cada plano perpendicular a . ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle F({\vec {x}},t)=G({\vec {x}}\cdot {\vec {n}},t),}$$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle G(d,t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle d={\vec {x}}\cdot {\vec {n}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$

Los valores del campo pueden ser escalares, vectores o cualquier otra cantidad física o matemática. Pueden ser números complejos , como en una onda plana exponencial compleja . ${\displaystyle F}$

Cuando los valores de son vectores, se dice que la onda es una onda longitudinal si los vectores son siempre colineales con el vector , y una onda transversal si son siempre ortogonales (perpendiculares) a él. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$

Tipos especiales

Onda plana viajera

Los frentes de onda de una onda plana que viaja en el espacio tridimensional

A menudo, el término "onda plana" se refiere específicamente a una onda plana que se propaga , cuya evolución en el tiempo puede describirse como una simple traslación del campo a una velocidad de onda constante a lo largo de la dirección perpendicular a los frentes de onda. Un campo de este tipo puede escribirse como donde ahora es una función de un único parámetro real , que describe el "perfil" de la onda, es decir, el valor del campo en el momento , para cada desplazamiento . En ese caso, se denomina dirección de propagación . Para cada desplazamiento , el plano en movimiento perpendicular a una distancia del origen se denomina " frente de onda ". Este plano se propaga a lo largo de la dirección de propagación con velocidad ; y el valor del campo es entonces el mismo, y constante en el tiempo, en cada uno de sus puntos. ^[2] ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle F({\vec {x}},t)=G\left({\vec {x}}\cdot {\vec {n}}-ct\right)\,}$$ ${\displaystyle G(u)}$ ${\displaystyle u=d-ct}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle d={\vec {x}}\cdot {\vec {n}}}$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle d+ct}$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle c}$

Onda plana sinusoidal

El término también se utiliza, de forma más específica, para referirse a una onda plana "monocromática" o sinusoidal : una onda plana que se propaga y cuyo perfil es una función sinusoidal . Es decir, el parámetro , que puede ser un escalar o un vector, se denomina amplitud de la onda; el coeficiente escalar es su "frecuencia espacial"; y el escalar es su " desfase ". ${\displaystyle G(u)}$ $${\displaystyle F({\vec {x}},t)=A\sin \left(2\pi f({\vec {x}}\cdot {\vec {n}}-ct)+\varphi \right)}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \varphi }$

Una verdadera onda plana no puede existir físicamente, porque tendría que llenar todo el espacio. Sin embargo, el modelo de onda plana es importante y se utiliza ampliamente en física. Las ondas emitidas por cualquier fuente con extensión finita en una gran región homogénea del espacio pueden aproximarse bien a las ondas planas cuando se observan desde cualquier parte de esa región que sea suficientemente pequeña en comparación con su distancia desde la fuente. Ese es el caso, por ejemplo, de las ondas de luz de una estrella distante que llegan a un telescopio.

Onda estacionaria plana

Una onda estacionaria es un campo cuyo valor puede expresarse como el producto de dos funciones, una que depende solo de la posición y la otra solo del tiempo. Una onda estacionaria plana, en particular, puede expresarse como donde es una función de un parámetro escalar (el desplazamiento ) con valores escalares o vectoriales, y es una función escalar del tiempo. $${\displaystyle F({\vec {x}},t)=G({\vec {x}}\cdot {\vec {n}})\,S(t)}$$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle d={\vec {x}}\cdot {\vec {n}}}$ ${\displaystyle S}$

Esta representación no es única, ya que se obtienen los mismos valores de campo si y se escalan mediante factores recíprocos. Si está acotado en el intervalo de tiempo de interés (que suele ser el caso en contextos físicos), y se puede escalar de modo que el valor máximo de sea 1. Entonces será la magnitud máxima del campo observada en el punto . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \left|S(t)\right|}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \left|S(t)\right|}$ ${\displaystyle \left|G({\vec {x}}\cdot {\vec {n}})\right|}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$

Propiedades

Una onda plana se puede estudiar ignorando las direcciones perpendiculares al vector de dirección ; es decir, considerando la función como una onda en un medio unidimensional. ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle G(z,t)=F(z{\vec {n}},t)}$

Cualquier operador local, lineal o no, aplicado a una onda plana produce una onda plana. Cualquier combinación lineal de ondas planas con el mismo vector normal también es una onda plana. ${\displaystyle {\vec {n}}}$

Para una onda plana escalar en dos o tres dimensiones, el gradiente del campo siempre es colineal con la dirección ; específicamente, , donde es la derivada parcial de con respecto al primer argumento. ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ${\displaystyle \nabla F({\vec {x}},t)={\vec {n}}\partial _{1}G({\vec {x}}\cdot {\vec {n}},t)}$ ${\displaystyle \partial _{1}G}$ ${\displaystyle G}$

La divergencia de una onda plana con valor vectorial depende únicamente de la proyección del vector en la dirección . Específicamente, En particular, una onda plana transversal satisface para todos y . ${\displaystyle G(d,t)}$ ${\displaystyle {\vec {n}}}$ $${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {F}}({\vec {x}},t)\;=\;{\vec {n}}\cdot \partial _{1}G({\vec {x}}\cdot {\vec {n}},t)}$$ ${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {F}}=0}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle t}$

Véase también

• Expansión de onda plana
• Propagación rectilínea
• Ecuación de onda
• Expansión de Weyl

Referencias

1. Brekhovskikh, L. (1980). Ondas en medios estratificados (2.ª ed.). Nueva York: Academic Press . pp. 1–3. ISBN 9780323161626.
2. Jackson, John David (1998). Electrodinámica clásica (3.ª ed.). Nueva York: Wiley . pág. 296. ISBN. 9780471309321.