Onda plana sinusoidal

En física , una onda plana sinusoidal es un caso especial de onda plana : un campo cuyo valor varía en función sinusoidal del tiempo y de la distancia a un plano fijo. También se denomina onda plana monocromática , con frecuencia constante (como en la radiación monocromática ).

Representación básica

Para cualquier posición en el espacio y cualquier tiempo , el valor de dicho campo se puede escribir como donde es un vector de longitud unitaria , la dirección de propagación de la onda, y " " denota el producto escalar de dos vectores. El parámetro , que puede ser un escalar o un vector, se denomina amplitud de la onda; el coeficiente , un escalar positivo, su frecuencia espacial ; y el escalar adimensional , un ángulo en radianes, es su fase inicial o desplazamiento de fase . ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle F({\vec {x}},t)=A\cos \left(2\pi \nu ({\vec {x}}\cdot {\hat {n}}-ct)+\varphi \right)}$$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle \cdot }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \varphi }$

La cantidad escalar da el desplazamiento (con signo) del punto desde el plano que es perpendicular a y pasa por el origen del sistema de coordenadas. Esta cantidad es constante en cada plano perpendicular a . ${\displaystyle d={\vec {x}}\cdot {\hat {n}}}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$

En el momento , el campo varía con el desplazamiento como una función sinusoidal La frecuencia espacial es el número de ciclos completos por unidad de longitud a lo largo de la dirección . Para cualquier otro valor de , los valores del campo se desplazan por la distancia en la dirección . Es decir, todo el campo parece viajar en esa dirección con velocidad . ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle d}$ $${\displaystyle F({\vec {x}},0)=A\cos \left(2\pi \nu ({\vec {x}}\cdot {\hat {n}})+\varphi \right)}$$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle ct}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle c}$

Para cada desplazamiento , el plano móvil perpendicular a una distancia del origen se llama frente de onda . Este plano se encuentra a una distancia del origen cuando , y se desplaza en la dirección también con velocidad ; y el valor del campo es entonces el mismo y constante en el tiempo en cada uno de sus puntos. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle d+ct}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle c}$

Una onda plana sinusoidal podría ser un modelo adecuado para una onda sonora dentro de un volumen de aire que es pequeño en comparación con la distancia de la fuente (siempre que no haya ecos de objetos cercanos). En ese caso, sería un campo escalar, la desviación de la presión del aire en un punto y tiempo , con respecto a su nivel normal. ${\displaystyle F({\vec {x}},t)\,}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle t}$

En cualquier punto fijo , el campo también variará sinusoidalmente con el tiempo; será un múltiplo escalar de la amplitud , entre y ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle +A}$ ${\displaystyle -A}$

Cuando la amplitud es un vector ortogonal a , se dice que la onda es transversal . Tales ondas pueden presentar polarización , si se pueden orientar a lo largo de dos direcciones no colineales . Cuando es un vector colineal con , se dice que la onda es longitudinal . Estas dos posibilidades se ejemplifican con las ondas S (de corte) y las ondas P (de presión) estudiadas en sismología . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$

La fórmula anterior proporciona una descripción puramente "cinemática" de la onda, sin referencia a ningún proceso físico que pueda causar su movimiento. En una onda mecánica o electromagnética que se propaga a través de un medio isotrópico , el vector de propagación aparente de la onda es también la dirección en la que fluye realmente la energía o el momento. Sin embargo, las dos direcciones pueden ser diferentes en un medio anisotrópico . (Véase también: Vector de onda#Dirección del vector de onda ). ${\displaystyle {\hat {n}}}$

Representaciones alternativas

La misma onda plana sinusoidal anterior también se puede expresar en términos de seno en lugar de coseno utilizando la identidad elemental donde . Por lo tanto, el valor y el significado del cambio de fase dependen de si la onda se define en términos de seno o coseno. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \cos a=\sin(a+\pi /2)}$ $${\displaystyle F({\vec {x}},t)=A\sin \left(2\pi \nu ({\vec {x}}\cdot {\hat {n}}-ct)+\varphi '\right)}$$ ${\displaystyle \varphi '=\varphi +\pi /2}$

Añadir cualquier múltiplo entero de a la fase inicial no tiene efecto sobre el campo. Añadir un múltiplo impar de tiene el mismo efecto que negar la amplitud . Asignar un valor negativo a la frecuencia espacial tiene el efecto de invertir la dirección de propagación, con un ajuste adecuado de la fase inicial. ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \nu }$

En el tiempo igual a cero, un cambio de fase positivo da como resultado que la onda se desplace hacia la izquierda.

A medida que t aumenta, la onda viaja hacia la derecha y el valor en un punto dado x oscila sinusoidalmente .

Animación de una onda plana en 3D. Cada color representa una fase diferente de la onda.

La fórmula de una onda plana sinusoidal se puede escribir de varias otras maneras:

• $${\displaystyle F({\vec {x}},t)=A\cos(2\pi [({\vec {x}}\cdot {\hat {n}})/\lambda -t/T]+\varphi )}$$Aquí se expresa la longitud de onda , la distancia entre dos frentes de onda donde el campo es igual a la amplitud ; y es el período de variación del campo a lo largo del tiempo, visto en cualquier punto fijo del espacio. Su recíproco es la frecuencia temporal de la onda medida en ciclos completos por unidad de tiempo. ${\displaystyle \lambda =1/\nu }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T=\lambda /c}$ ${\displaystyle f=1/T}$
• $${\displaystyle F({\vec {x}},t)=A\cos(k({\vec {x}}\cdot {\hat {n}})-\omega t+\varphi )}$$Aquí hay un parámetro llamado número de onda angular (medido en radianes por unidad de longitud), y es la frecuencia angular de la variación en un punto fijo (en radianes por unidad de tiempo). ${\displaystyle k=2\pi \nu =2\pi /\lambda }$ ${\displaystyle \omega =2\pi /T}$
• $${\displaystyle F({\vec {x}},t)=A\cos(2\pi ({\vec {x}}\cdot {\vec {\nu }})-\omega t+\varphi )}$$donde es el vector de frecuencia espacial o vector de onda , un vector tridimensional donde es el número de ciclos completos que ocurren por unidad de longitud, en cualquier tiempo fijo, a lo largo de cualquier línea recta paralela al eje de coordenadas . ${\displaystyle {\vec {\nu }}=\nu {\hat {n}}={\hat {n}}/\lambda }$ ${\displaystyle {\vec {\nu }}=(\nu _{1},\nu _{2},\nu _{3})}$ ${\displaystyle \nu _{i}}$ ${\displaystyle i}$

Forma exponencial compleja

Una onda plana sinusoidal también puede expresarse en términos de la función exponencial compleja donde es la base de la función exponencial natural , y es la unidad imaginaria , definida por la ecuación i 2 = − 1 {\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1} . Con esas herramientas, se define la onda plana exponencial compleja como donde son como se definen para la onda plana sinusoidal (real). Esta ecuación da un campo cuyo valor es un número complejo , o un vector con coordenadas complejas. La expresión de onda original es ahora simplemente la parte real, $${\displaystyle e^{\mathrm {i} z}=\exp(\mathrm {i} z)=\cos z+\mathrm {i} \sin z}$$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \mathrm {i} }$ $${\displaystyle U({\vec {x}},t)\;=\;A\exp[\mathrm {i} (2\pi \nu ({\vec {x}}\cdot {\hat {n}}-ct)+\varphi )]\;=\;A\exp[\mathrm {i} (2\pi {\vec {x}}\cdot {\vec {v}}-\omega t+\varphi )]}$$ ${\displaystyle A,\nu ,{\hat {n}},c,{\vec {v}},\omega ,\varphi }$ ${\displaystyle U({\vec {x}},t)}$ $${\displaystyle F({\vec {x}},t)=\operatorname {Re} {\left[U({\vec {x}},t)\right]}}$$

Para apreciar la relación de esta ecuación con las anteriores, a continuación se muestra la misma ecuación expresada mediante senos y cosenos. Observe que el primer término es igual a la forma real de la onda plana que acabamos de analizar.

$${\displaystyle {\begin{array}{rcccc}U({\vec {x}},t)&=&A\cos(2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}-\omega t+\varphi )&+&\mathrm {i} A\sin(2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}-\omega t+\varphi )\\[1ex]U({\vec {x}},t)&=&F({\vec {x}},t)&+&\mathrm {i} A\sin(2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}-\omega t+\varphi )\end{array}}}$$

La forma compleja introducida de la onda plana se puede simplificar utilizando un sustituto de amplitud de valor complejo de la amplitud de valor real . Específicamente, desde la forma compleja se puede absorber el factor de fase en una amplitud compleja haciendo , lo que da como resultado la ecuación más compacta ${\displaystyle C\,}$ ${\displaystyle A\,}$
$${\displaystyle \exp[\mathrm {i} (2\pi {\vec {x}}\cdot {\vec {v}}-\omega t+\varphi )]\;=\;\exp[\mathrm {i} (2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}-\omega t)]\,e^{\mathrm {i} \varphi }}$$ ${\displaystyle e^{\mathrm {i} \varphi }}$ ${\displaystyle C=Ae^{\mathrm {i} \varphi }}$ $${\displaystyle U({\vec {x}},t)=C\exp[\mathrm {i} (2\pi {\vec {x}}\cdot {\vec {v}}-\omega t)]}$$

Si bien la forma compleja tiene un componente imaginario, después de realizar los cálculos necesarios en el plano complejo, se puede extraer su valor real (que corresponde a la onda que uno realmente observaría o mediría físicamente), obteniendo una ecuación de valor real que representa una onda plana real. $${\displaystyle \operatorname {Re} [U({\vec {x}},t)]=F({\vec {x}},t)=A\cos(2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}-\omega t+\varphi )}$$

La razón principal por la que se optaría por trabajar con la forma exponencial compleja de ondas planas es que las exponenciales complejas suelen ser más fáciles de manejar desde el punto de vista algebraico que los senos y cosenos trigonométricos. En concreto, las reglas de adición de ángulos son extremadamente sencillas para las exponenciales.

Además, al utilizar técnicas de análisis de Fourier para ondas en un medio con pérdidas , la atenuación resultante es más fácil de manejar utilizando coeficientes de Fourier complejos . Si una onda viaja a través de un medio con pérdidas, la amplitud de la onda ya no es constante y, por lo tanto, la onda, estrictamente hablando, ya no es una verdadera onda plana.

En mecánica cuántica, las soluciones de la ecuación de onda de Schrödinger son, por su propia naturaleza, complejas y, en el caso más simple, adoptan una forma idéntica a la representación de onda plana compleja que se ha descrito anteriormente. Sin embargo, en este caso, el componente imaginario no se ha introducido con fines de conveniencia matemática, sino que, de hecho, es una parte inherente de la “onda”.

En relatividad especial , se puede utilizar una expresión aún más compacta utilizando cuatro vectores .

• Las cuatro posiciones ${\displaystyle {\vec {x}}=(ct,{\vec {x}})}$
• El vector de cuatro ondas ${\displaystyle 2\pi \nu {\hat {n}}=\left({\frac {\omega }{c}},2\pi \nu {\hat {n}}\right)}$
• El producto escalar ${\displaystyle 2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}=\omega t-2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}}$

Por lo tanto, se convierte en $${\displaystyle U({\vec {x}},t)=C\exp[\mathrm {i} (2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}-\omega t)]}$$ $${\displaystyle U({\vec {x}})=C\exp[-\mathrm {i} (2\pi \nu {\hat {n}}\cdot {\vec {x}})]}$$

Aplicaciones

Las ecuaciones que describen la radiación electromagnética en un medio dieléctrico homogéneo admiten como soluciones especiales las ondas planas sinusoidales. En electromagnetismo , el campo es típicamente el campo eléctrico , el campo magnético o el vector potencial , que en un medio isótropo es perpendicular a la dirección de propagación . La amplitud es entonces un vector de la misma naturaleza, igual al campo de máxima intensidad. La velocidad de propagación será la velocidad de la luz en el medio. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c}$

Las ecuaciones que describen vibraciones en un sólido elástico homogéneo admiten también como solución ondas planas sinusoidales, tanto transversales como longitudinales. Estos dos tipos tienen velocidades de propagación diferentes, que dependen de la densidad y de los parámetros de Lamé del medio.

El hecho de que el medio imponga una velocidad de propagación significa que los parámetros y deben satisfacer una relación de dispersión característica del medio. La relación de dispersión se expresa a menudo como una función, . La relación da la magnitud de la velocidad de fase , y la derivada da la velocidad de grupo . Para el electromagnetismo en un medio isótropo con índice de refracción , la velocidad de fase es , que es igual a la velocidad de grupo si el índice no depende de la frecuencia. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \omega (k)}$ ${\displaystyle \omega /|k|}$ ${\displaystyle \partial \omega /\partial k}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle c/r}$

En medios lineales uniformes, una solución general para la ecuación de onda se puede expresar como una superposición de ondas planas sinusoidales. Este enfoque se conoce como el método del espectro angular . La forma de la solución de onda plana es en realidad una consecuencia general de la simetría traslacional . De manera más general, para las estructuras periódicas que tienen simetría traslacional discreta, las soluciones toman la forma de ondas de Bloch , más famosas en materiales atómicos cristalinos pero también en cristales fotónicos y otras ecuaciones de onda periódicas. Como otra generalización, para las estructuras que solo son uniformes a lo largo de una dirección (como una guía de ondas a lo largo de la dirección), las soluciones (modos de la guía de ondas) tienen la forma multiplicada por alguna función de amplitud . Este es un caso especial de una ecuación diferencial parcial separable . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle exp[i(kx-\omega t)]}$ ${\displaystyle a(y,z)}$

Ondas planas electromagnéticas polarizadas

Los bloques de vectores representan cómo la magnitud y la dirección del campo eléctrico son constantes para todo un plano perpendicular a la dirección de viaje.

En la primera ilustración, hacia la derecha, se representa una onda electromagnética polarizada linealmente . Como se trata de una onda plana, cada vector azul , que indica el desplazamiento perpendicular desde un punto del eje hasta la onda sinusoidal, representa la magnitud y la dirección del campo eléctrico para todo un plano perpendicular al eje.

En la segunda ilustración se representa una onda electromagnética plana polarizada circularmente . Cada vector azul, que indica el desplazamiento perpendicular desde un punto del eje hasta la hélice, también representa la magnitud y la dirección del campo eléctrico para todo un plano perpendicular al eje.

En ambas ilustraciones, a lo largo de los ejes hay una serie de vectores azules más cortos que son versiones a escala reducida de los vectores azules más largos. Estos vectores azules más cortos se extrapolan al bloque de vectores negros que llenan un volumen de espacio. Observe que para un plano determinado, los vectores negros son idénticos, lo que indica que la magnitud y la dirección del campo eléctrico son constantes a lo largo de ese plano.

En el caso de la luz polarizada linealmente, la intensidad del campo de un plano a otro varía desde un máximo en una dirección hasta cero, y luego vuelve a subir hasta un máximo en la dirección opuesta.

En el caso de la luz polarizada circularmente, la intensidad del campo permanece constante de un plano a otro, pero su dirección cambia constantemente de manera rotatoria.

En ninguna de las ilustraciones se indica el campo magnético correspondiente al campo eléctrico , que es proporcional en intensidad al campo eléctrico en cada punto del espacio, pero que forma un ángulo recto con él. Las ilustraciones de los vectores del campo magnético serían prácticamente idénticas a estas, salvo que todos los vectores estarían rotados 90 grados sobre el eje de propagación, de modo que fueran perpendiculares tanto a la dirección de propagación como al vector del campo eléctrico.

La relación de las amplitudes de los componentes del campo eléctrico y magnético de una onda plana en el espacio libre se conoce como impedancia de onda en el espacio libre , igual a 376,730313 ohmios.

Véase también

• Método del espectro angular
• Haz colimado
• Ondas planas en el vacío
• Expansión de onda plana
• Propagación rectilínea
• Ecuación de onda

Referencias

• JD Jackson, Electrodinámica clásica (Wiley: Nueva York, 1998).
• LM Brekhovskikh, "Ondas en medios estratificados, Serie: Matemáticas Aplicadas y Mecánica, Vol. 16, (Academic Press, 1980).