Porción de un sólido que se encuentra entre dos planos paralelos que cortan este sólido.
En geometría , un frustum ( en latín, 'bocado'); [a] ( pl.: frusta o frustums ) es la porción de un sólido (normalmente una pirámide o un cono ) que se encuentra entre dos planos paralelos que cortan el sólido. En el caso de una pirámide, las caras de la base son poligonales y las caras laterales son trapezoidales . Un tronco recto es una pirámide recta o un cono recto truncado perpendicularmente a su eje; [3] de lo contrario, es un tronco oblicuo . En un cono truncado o una pirámide truncada , el plano de truncamiento no es necesariamente paralelo a la base del cono, como en un tronco de cono. Si se fuerza a que todas sus aristas tengan la misma longitud, entonces un tronco se convierte en un prisma (posiblemente oblicuo y/o con bases irregulares).
Elementos, casos especiales y conceptos relacionados.
El eje de un tronco es el del cono o pirámide original. Un tronco es circular si tiene bases circulares; es recto si el eje es perpendicular a ambas bases y oblicuo en caso contrario.
La altura de un tronco de tronco es la distancia perpendicular entre los planos de las dos bases.
Los conos y las pirámides pueden verse como casos degenerados de frusta, donde uno de los planos cortantes pasa por el vértice (de modo que la base correspondiente se reduce a una punta). Los frusta piramidales son una subclase de prismatoides .
Dos troncos con dos bases congruentes unidas en estas bases congruentes forman un bifrutustum .
donde a y b son las longitudes de la base y del lado superior, y h es la altura.
Los egipcios conocían la fórmula correcta para el volumen de una pirámide cuadrada truncada, pero en el papiro de Moscú no se da ninguna prueba de esta ecuación.
El volumen de un tronco cónico o piramidal es el volumen del sólido antes de cortar su "ápice", menos el volumen de este "ápice":
donde B 1 y B 2 son las áreas base y superior, y h 1 y h 2 son las alturas perpendiculares desde el vértice hasta los planos base y superior.
Teniendo en cuenta que
la fórmula del volumen se puede expresar como el tercio del producto de esta proporcionalidad, , y de la diferencia de los cubos de las alturas h 1 y h 2 únicamente:
Al usar la identidad a 3 − b 3 = ( a − b )( a 2 + ab + b 2 ) , se obtiene:
donde h 1 − h 2 = h es la altura del tronco.
Distribuyendo y sustituyendo a partir de su definición, se obtiene la media heroniana de las áreas B 1 y B 2 :
^ El término frustum proviene del latín frustum , que significa "trozo" o "bocado". La palabra inglesa a menudo se escribe mal como frustrum , una palabra latina diferente relacionada con la palabra inglesa "frustrate". [1] La confusión entre estas dos palabras es muy antiguos: se puede encontrar una advertencia sobre ellos en el Apéndice Probi , y las obras de Plauto incluyen un juego de palabras con ellos. [2]
Referencias
^ Clark, John Spencer (1895). Manual del profesor: Libros I a VIII. Para el curso completo de Prang sobre estudio de formas y dibujo, libros 7–8. Compañía Educativa Prang. pag. 49.
^ Kern, William F.; Suave, James R. (1938). Medición de Sólidos con Pruebas . pag. 67.
^ Nahin, Paul. Un cuento imaginario: la historia de √ −1 . Prensa de la Universidad de Princeton. 1998
^ "Mathwords.com: Frustum" . Consultado el 17 de julio de 2011 .
^ Al-Sammarraie, Ahmed T.; Vafai, Kambiz (2017). "Aumento de la transferencia de calor mediante ángulos de convergencia en una tubería". Transferencia de calor numérica, parte A: aplicaciones . 72 (3): 197-214. Código Bib : 2017NHTA...72..197A. doi :10.1080/10407782.2017.1372670. S2CID 125509773.
enlaces externos
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Derivación de la fórmula para el volumen de los troncos de pirámide y cono (Mathalino.com)