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Pirámide (geometría)

En geometría , una pirámide es un poliedro formado al unir una base poligonal y un punto, llamado vértice . Cada arista de la base y vértice forman un triángulo , llamado cara lateral . Una pirámide es un sólido cónico con una base poligonal. Se pueden encontrar muchos tipos de pirámides determinando la forma de las bases, como en las pirámides regulares (basadas en un polígono regular ), o cortando el vértice ( pirámide truncada ). Se puede generalizar a una dimensión superior, conocida como hiperpirámide . Todas las pirámides son autoduales .

Etimología

La palabra "pirámide" deriva del término griego antiguo "πυραμίς" (pyramis), que se refería a una estructura en forma de pirámide y a un tipo de torta de trigo. [1] [2] El término tiene su raíz en el griego "πυρ" (pyr, 'fuego') y "άμις" (amis, 'vasija'), lo que resalta la apariencia puntiaguda y similar a una llama de la forma. [3]

En griego bizantino , el término evolucionó a "πυραμίδα" (pyramída), que sigue denotando estructuras piramidales. [4] El término griego "πυραμίς" fue tomado prestado al latín como "pyramis". El término "πυραμίδα" influyó en la evolución de la palabra a "pirámide" en inglés y otros idiomas. [5] [6]

Definición

Partes de una pirámide

Una pirámide es un poliedro que se puede formar conectando una base poligonal y un punto, llamado vértice . Cada arista de la base y vértice forman un triángulo isósceles, llamado cara lateral . [7] Las aristas conectadas desde los vértices de la base poligonal hasta el vértice se denominan aristas laterales . [8] Históricamente, la definición de una pirámide ha sido descrita por muchos matemáticos en la antigüedad. Euclides en sus Elementos definió una pirámide como una figura sólida, construida desde un plano hasta un punto. El contexto de su definición era vago hasta que Herón de Alejandría la definió como la figura uniendo el punto con una base poligonal. [9]

Un prismatoide se define como un poliedro donde sus vértices se encuentran en dos planos paralelos, y sus caras laterales son triángulos, trapecios y paralelogramos . [10] Las pirámides se clasifican como prismatoides. [11]

Clasificación y tipos

La familia de una pirámide de base poligonal regular: tetraedro, pirámide cuadrada, pirámide pentagonal y pirámide hexagonal.

Una pirámide recta es una pirámide en la que la base está circunscrita al círculo y la altura de la pirámide se encuentra en el centro del círculo; de lo contrario, se llama pirámide oblicua . [12] Esta pirámide se puede clasificar según la regularidad de sus bases. Una pirámide con un polígono regular como base se llama pirámide regular . [13] Para la pirámide con una base regular de n lados, tiene n + 1 vértices, n + 1 caras y 2 n aristas. [14] Tal pirámide tiene triángulos isósceles como caras, con su simetría es C n v , una simetría de orden 2 n : las pirámides son simétricas ya que giran alrededor de su eje de simetría (una línea que pasa por el vértice y el centroide de la base), y son simétricas especulares con respecto a cualquier plano perpendicular que pase por una bisectriz de la base. [15] [16] Ejemplos son la pirámide cuadrada y la pirámide pentagonal , una pirámide de cuatro y cinco caras triangulares con una base cuadrada y pentagonal, respectivamente; se clasifican como el primer y segundo sólido de Johnson si sus caras y aristas regulares son iguales en longitud, y sus simetrías son C 4v de orden 8 y C 5v de orden 10, respectivamente. [17] [18] Un tetraedro o pirámide triangular es un ejemplo que tiene cuatro triángulos equiláteros, con todas las aristas iguales en longitud, y uno de ellos se considera como la base. Debido a que las caras son regulares, es un ejemplo de un sólido platónico y deltaedros , y tiene simetría tetraédrica . [19] [20] Una pirámide con la base como círculo se conoce como cono . [21] Las pirámides tienen la propiedad de auto-dual , lo que significa que sus duales son los mismos que los vértices correspondientes a las aristas y viceversa. [22] Su esqueleto puede representarse como el gráfico de rueda . [23]

Pirámides con bases rectangulares y rómbicas

Una pirámide recta también puede tener una base con un polígono irregular. Ejemplos de ello son las pirámides con base rectangular y romboidal . Estas dos pirámides tienen la simetría C 2v de orden 4.

El tipo de pirámides se puede derivar de muchas maneras. La regularidad de la base de una pirámide se puede clasificar según el tipo de polígono, y un ejemplo es la pirámide con un polígono regular en estrella como base, conocida comopirámide estrellada . [24] La pirámide cortada por un plano se llamapirámide truncada ; si el plano de truncamiento es paralelo a la base de una pirámide, se denomina tronco .

Medición

El área de la superficie es la suma del área de las caras de cada poliedro. En el caso de una pirámide, su área de superficie es la suma del área de los triángulos y el área de la base del polígono.

El volumen de una pirámide es el producto de un tercio del área de la base por la altura. La altura de la pirámide se define como la longitud del segmento de línea entre el vértice y su proyección ortogonal sobre la base. Dado que es el área de la base y es la altura de una pirámide, el volumen de una pirámide es: [25] El volumen de una pirámide se registró en el antiguo Egipto, donde calcularon el volumen de un tronco de cono cuadrado , lo que sugiere que conocían el volumen de una pirámide cuadrada. [26] La fórmula del volumen para una pirámide general fue descubierta por el matemático indio Aryabhata , donde citó en su Aryabhatiya que el volumen de una pirámide es incorrectamente el medio producto del área de la base por la altura. [27]

Generalización

Hiperpirámide de cuatro dimensiones con un cubo como base

La hiperpirámide es la generalización de una pirámide en un espacio de n dimensiones. En el caso de la pirámide, se conectan todos los vértices de la base, un polígono en un plano, a un punto fuera del plano, que es el pico . La altura de la pirámide es la distancia del pico al plano. Esta construcción se generaliza a n dimensiones. La base se convierte en un politopo de ( n − 1) en un hiperplano de ( n − 1) dimensiones. Un punto llamado vértice se encuentra fuera del hiperplano y se conecta a todos los vértices del politopo y la distancia del vértice al hiperplano se llama altura. [28]

El volumen n - dimensional de una hiperpirámide n - dimensional se puede calcular de la siguiente manera: Aquí V n denota el volumen n - dimensional de la hiperpirámide. A denota el volumen ( n  − 1) -dimensional de la base y h la altura, es decir la distancia entre el vértice y el hiperplano ( n  − 1) -dimensional que contiene la base A . [28]

Referencias

  1. ^ "Henry George Liddell, Robert Scott, Un léxico griego-inglés, πυραμίς", www.perseus.tufts.edu.
  2. ^ La palabra significaba "una especie de torta de granos de trigo tostados conservados en miel"; las pirámides egipcias recibieron su nombre por su forma. Véase Beekes, Robert S. (2009), Etymological Dictionary of Greek , Brill, p. 1261.
  3. ^ Liddell, Henry George; Scott, Robert (1940). Un léxico griego-inglés . Clarendon Press.
  4. ^ "πυραμίδα". Wikcionario . 12 de julio de 2022 . Consultado el 30 de junio de 2024 .
  5. ^ Lewis, Charlton T.; Short, Charles (1879). Diccionario latino . Clarendon Press.
  6. ^ Peck, Harry Thurston (1898). Diccionario Harper de antigüedades clásicas . Harper & Brothers.
  7. ^ Cromwell, Peter R. (1997), Poliedros, Cambridge University Press, pág. 13.
  8. ^ Smith, James T. (2000), Métodos de geometría, John Wiley & Sons, pág. 98, ISBN 0-471-25183-6.
  9. ^ Heath, Thomas (1908), Euclides: Los trece libros de los elementos, vol. 3, Cambridge University Press, pág. 268.
  10. ^ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2015), Una odisea espacial matemática: geometría sólida en el siglo XXI, Asociación Matemática de América , pág. 85, ISBN 978-0-88385-358-0.
  11. ^ Grünbaum, Branko (1997), "Prismatoides isogonales", Geometría computacional y discreta , 18 : 13–52, doi : 10.1007/PL00009307.
  12. ^ Polya, G. (1954), Matemáticas y razonamiento plausible: inducción y analogía en matemáticas, Princeton University Press, pág. 138, ISBN 0-691-02509-6.
  13. ^ O'Leary, Michael (2010), Revoluciones de la geometría, John Wiley & Sons, pág. 10, ISBN 978-0-470-59179-6.
  14. ^ Humble, Steve (2016), La A a la Z de las matemáticas para el experimentador: actividades matemáticas con apoyo informático, Taylor & Francis, pág. 23, ISBN 978-1-134-13953-8.
  15. ^ Johnson, Norman W. (2018), Geometrías y transformaciones , Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-10340-5. Véase el Capítulo 11: Grupos de simetría finita, 11.3 Pirámides, prismas y antiprismas.
  16. ^ Alexandroff, Paul (2012), Introducción a la teoría de grupos, Dover Publications, pág. 48, ISBN 978-0-486-48813-4.
  17. ^ Johnson, Norman W. (1966), "Poliedros convexos con caras regulares", Revista canadiense de matemáticas , 18 : 169-200, doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 , MR  0185507, S2CID  122006114, Zbl  0132.14603. Véase el cuadro III, línea 1.
  18. ^ Uehara, Ryuhei (2020), Introducción al origami computacional: el mundo de la nueva geometría computacional, Springer, pág. 62, doi :10.1007/978-981-15-4470-5, ISBN 978-981-15-4470-5.
  19. ^ Shavinina, Larisa V. (2013), Manual de Routledge International sobre educación para la innovación, Routledge, pág. 333, ISBN 978-0-203-38714-6.
  20. ^ Cundy, H. Martyn (1952), "Deltaedros", The Mathematical Gazette , 36 (318): 263–266, doi :10.2307/3608204, JSTOR  3608204, S2CID  250435684.
  21. ^ Kelley, W. Michael (2009), El enorme libro de problemas de geometría, Penguin Group, pág. 455, ISBN 978-1-61564-698-2.
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  23. ^ Pisanski, Tomaž; Servatius, Brigitte (2013), Configuración desde un punto de vista gráfico, Springer, pág. 21, doi :10.1007/978-0-8176-8364-1, ISBN 978-0-8176-8363-4.
  24. ^ Wenninger, Magnus J. (1974), Modelos de poliedros, Cambridge University Press, pág. 50, ISBN 978-0-521-09859-5, archivado desde el original el 11 de diciembre de 2013
  25. ^ Alexander, Daniel C.; Koeberlin, Geralyn M. (2014), Geometría elemental para estudiantes universitarios (6.ª ed.), Cengage Learning, pág. 403, ISBN 978-1-285-19569-8.
  26. ^ Gillings, RJ (1964), "El volumen de una pirámide truncada en papiros egipcios antiguos", The Mathematics Teacher , 57 (8): 552–555, doi :10.5951/MT.57.8.0552, JSTOR  27957144.
  27. ^ Cajori, Florian (1991), Historia de las matemáticas (5.ª ed.), American Mathematical Society, pág. 87, ISBN 978-1-4704-7059-3.
  28. ^ ab Mathai, AM (1999), Introducción a la probabilidad geométrica: aspectos distributivos con aplicaciones, Taylor & Francis, pág. 42–43, ISBN 978-90-5699-681-9.

Véase también

Enlaces externos

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