Teoría de la onda piloto

Una interpretación de la mecánica cuántica

^{Los controvertidos [1]} experimentos de Couder , ^{[2] [3]} supuestamente "materializaron" el modelo de onda piloto .

En física teórica , la teoría de la onda piloto , también conocida como mecánica de Bohm , fue el primer ejemplo conocido de una teoría de variables ocultas , presentada por Louis de Broglie en 1927. Su versión más moderna, la teoría de De Broglie-Bohm , interpreta la mecánica cuántica como una teoría determinista y evita problemas como la dualidad onda-partícula , el colapso instantáneo de la función de onda y la paradoja del gato de Schrödinger al ser inherentemente no local .

La teoría de la onda piloto de De Broglie-Bohm es una de varias interpretaciones de la mecánica cuántica (no relativista) .

Historia

Los primeros resultados de Louis de Broglie sobre la teoría de la onda piloto se presentaron en su tesis (1924) en el contexto de los orbitales atómicos donde las ondas son estacionarias. Los primeros intentos de desarrollar una formulación general para la dinámica de estas ondas guía en términos de una ecuación de onda relativista no tuvieron éxito hasta que en 1926 Schrödinger desarrolló su ecuación de onda no relativista . Sugirió además que, dado que la ecuación describía ondas en el espacio de configuración, el modelo de partículas debería abandonarse. ^[4] Poco después, ^[5] Max Born sugirió que la función de onda de la ecuación de onda de Schrödinger representa la densidad de probabilidad de encontrar una partícula. A raíz de estos resultados, de Broglie desarrolló las ecuaciones dinámicas para su teoría de la onda piloto. ^[6] Inicialmente, de Broglie propuso un enfoque de doble solución , en el que el objeto cuántico consiste en una onda física ( onda u ) en el espacio real que tiene una región singular esférica que da lugar a un comportamiento similar al de una partícula; En esta forma inicial de su teoría no tuvo que postular la existencia de una partícula cuántica. ^[7] Posteriormente la formuló como una teoría en la que una partícula va acompañada de una onda piloto.

De Broglie presentó la teoría de la onda piloto en la Conferencia Solvay de 1927. ^[8] Sin embargo, Wolfgang Pauli planteó una objeción en la conferencia, diciendo que no trataba adecuadamente el caso de la dispersión inelástica . De Broglie no pudo encontrar una respuesta a esta objeción, y abandonó el enfoque de la onda piloto. A diferencia de David Bohm años después, de Broglie no completó su teoría para abarcar el caso de muchas partículas. ^[7] El caso de muchas partículas muestra matemáticamente que la disipación de energía en la dispersión inelástica podría distribuirse a la estructura del campo circundante por un mecanismo aún desconocido de la teoría de variables ocultas. ^{[ aclaración necesaria ]}

En 1932, John von Neumann publicó un libro ^[9] , en el que en parte afirmaba que todas las teorías de variables ocultas eran imposibles. Tres años más tarde, Grete Hermann ^{[10] [11]} descubrió que este resultado era erróneo , aunque por diversas razones la comunidad de físicos no se percató de ello durante más de cincuenta años.

En 1952, David Bohm , insatisfecho con la ortodoxia predominante, redescubrió la teoría de la onda piloto de De Broglie. Bohm desarrolló la teoría de la onda piloto en lo que ahora se llama la teoría de De Broglie-Bohm . ^{[12] [13]} La teoría de De Broglie-Bohm en sí misma podría haber pasado desapercibida para la mayoría de los físicos, si no hubiera sido defendida por John Bell , quien también contrarrestó las objeciones a la misma. En 1987, John Bell redescubrió el trabajo de Grete Hermann, ^[14] y, por lo tanto, mostró a la comunidad de físicos que las objeciones de Pauli y von Neumann solo mostraban que la teoría de la onda piloto no tenía localidad .

La teoría de la onda piloto

Principios

(a) Un caminante en un corral circular. Las trayectorias de longitud creciente están codificadas por colores según la velocidad local de la gota. (b) La distribución de probabilidad de la posición del caminante corresponde aproximadamente a la amplitud del modo de onda de Faraday del corral. ^[15]

La teoría de la onda piloto es una teoría de variables ocultas . Por lo tanto:

• la teoría tiene realismo (es decir, sus conceptos existen independientemente del observador);
• La teoría tiene determinismo .

Las posiciones de las partículas se consideran variables ocultas. El observador no conoce los valores precisos de estas variables; no puede conocerlos con precisión porque cualquier medición los perturba. Por otra parte, el observador no se define por la función de onda de sus propios átomos, sino por las posiciones de estos. Por lo tanto, lo que uno ve a su alrededor son también las posiciones de las cosas cercanas, no sus funciones de onda.

Un conjunto de partículas tiene asociada una onda de materia que evoluciona según la ecuación de Schrödinger . Cada partícula sigue una trayectoria determinista, guiada por la función de onda; colectivamente, la densidad de las partículas se ajusta a la magnitud de la función de onda. La función de onda no se ve influenciada por la partícula y puede existir también como una función de onda vacía. ^[16]

La teoría saca a la luz la no localidad implícita en la formulación no relativista de la mecánica cuántica y la utiliza para satisfacer el teorema de Bell . Se puede demostrar que estos efectos no locales son compatibles con el teorema de no comunicación , que impide su uso para comunicaciones más rápidas que la luz, y por lo tanto es empíricamente compatible con la relatividad. ^[17]

Análogo macroscópico

Couder, Fort, et al. afirmaron ^[18] que las gotas de aceite macroscópicas en un baño de fluido vibrante pueden usarse como un modelo análogo de ondas piloto; una gota localizada crea un campo de ondas periódico a su alrededor. Propusieron que la interacción resonante entre la gota y su propio campo de ondas exhibe un comportamiento análogo a las partículas cuánticas: interferencia en el experimento de doble rendija, ^[19] efecto túnel impredecible ^[20] (dependiendo de una manera complicada de un estado de campo prácticamente oculto), cuantificación de órbitas ^[21] (que una partícula tiene que "encontrar una resonancia" con las perturbaciones de campo que crea; después de una órbita, su fase interna tiene que volver al estado inicial) y efecto Zeeman . ^[22] Los intentos de reproducir estos experimentos ^{[23] [24]} han demostrado que las interacciones entre la pared y la gota, en lugar de la difracción o la interferencia de la onda piloto, pueden ser responsables de los patrones hidrodinámicos observados, que son diferentes de los patrones de interferencia inducidos por la rendija exhibidos por las partículas cuánticas. ^[25]

Fundamentos matemáticos

Para derivar la onda piloto de De Broglie-Bohm para un electrón, se utiliza el lagrangiano cuántico

${\displaystyle L(t)={\frac {1}{2}}mv^{2}-(V+Q),}$

donde es la energía potencial, es la velocidad y es el potencial asociado con la fuerza cuántica (la partícula que es empujada por la función de onda), se integra a lo largo de exactamente un camino (el que el electrón realmente sigue). Esto conduce a la siguiente fórmula para el propagador de Bohm ^{[ cita requerida ]} : ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle K^{Q}(X_{1},t_{1};X_{0},t_{0})={\frac {1}{J(t)^{\frac {1}{2}}}}\exp \left[{\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{0}}^{t_{1}}L(t)\,dt\right].}$

Este propagador permite rastrear con precisión el electrón a lo largo del tiempo bajo la influencia del potencial cuántico . ${\displaystyle Q}$

Derivación de la ecuación de Schrödinger

La teoría de la onda piloto se basa en la dinámica de Hamilton-Jacobi , ^[26] en lugar de la dinámica lagrangiana o hamiltoniana . Utilizando la ecuación de Hamilton-Jacobi

${\displaystyle H\left(\,{\vec {x}}\,,\;{\vec {\nabla }}_{\!x}\,S\,,\;t\,\right)+{\partial S \over \partial t}\left(\,{\vec {x}},\,t\,\right)=0}$

Es posible derivar la ecuación de Schrödinger :

Consideremos una partícula clásica, cuya posición no se conoce con certeza. Debemos tratarla estadísticamente, por lo que solo se conoce la densidad de probabilidad. La probabilidad debe conservarse, es decir, para cada . Por lo tanto, debe satisfacer la ecuación de continuidad ${\displaystyle \rho ({\vec {x}},t)}$ ${\displaystyle \int \rho \,\mathrm {d} ^{3}{\vec {x}}=1}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {\,\partial \rho \,}{\partial t}}=-{\vec {\nabla }}\cdot (\rho \,{\vec {v}})\qquad \qquad (1)}$

¿Dónde está la velocidad de la partícula? ${\displaystyle \,{\vec {v}}({\vec {x}},t)\,}$

En la formulación de Hamilton-Jacobi de la mecánica clásica , la velocidad está dada por donde es una solución de la ecuación de Hamilton-Jacobi ${\displaystyle \;{\vec {v}}({\vec {x}},t)={\frac {1}{\,m\,}}\,{\vec {\nabla }}_{\!x}S({\vec {x}},\,t)\;}$ ${\displaystyle \,S({\vec {x}},t)\,}$

${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {\;\left|\,\nabla S\,\right|^{2}\,}{2m}}+{\tilde {V}}\qquad \qquad (2)}$

${\displaystyle \,(1)\,}$y se pueden combinar en una sola ecuación compleja introduciendo la función compleja , entonces las dos ecuaciones son equivalentes a ${\displaystyle \,(2)\,}$ ${\displaystyle \;\psi ={\sqrt {\rho \,}}\,e^{\frac {\,i\,S\,}{\hbar }}\;,}$

${\displaystyle i\,\hbar \,{\frac {\,\partial \psi \,}{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\tilde {V}}-Q\right)\psi \quad }$

con

${\displaystyle \;Q=-{\frac {\;\hbar ^{2}\,}{\,2m\,}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho \,}}}{\sqrt {\rho \,}}}~.}$

La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo se obtiene si partimos del potencial habitual con un potencial cuántico adicional . El potencial cuántico es el potencial de la fuerza cuántica, que es proporcional (en aproximación) a la curvatura de la amplitud de la función de onda. ${\displaystyle \;{\tilde {V}}=V+Q\;,}$ ${\displaystyle Q}$

Nótese que este potencial es el mismo que aparece en las ecuaciones de Madelung , un análogo clásico de la ecuación de Schrödinger.

Formulación matemática para una sola partícula

La onda de materia de De Broglie se describe mediante la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo:

${\displaystyle i\,\hbar \,{\frac {\,\partial \psi \,}{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{\,2m\,}}\nabla ^{2}+V\right)\psi \quad }$

La función de onda compleja se puede representar como:

${\displaystyle \psi ={\sqrt {\rho \,}}\;\exp \left({\frac {i\,S}{\hbar }}\right)~}$

Si introducimos esto en la ecuación de Schrödinger, podemos derivar dos nuevas ecuaciones para las variables reales. La primera es la ecuación de continuidad para la densidad de probabilidad ^[12]. ${\displaystyle \,\rho \,:}$

${\displaystyle {\frac {\,\partial \rho \,}{\,\partial t\,}}+{\vec {\nabla }}\cdot \left(\rho \,{\vec {v}}\right)=0~,}$

donde el campo de velocidad está determinado por la “ecuación de guía”

${\displaystyle {\vec {v}}\left(\,{\vec {r}},\,t\,\right)={\frac {1}{\,m\,}}\,{\vec {\nabla }}S\left(\,{\vec {r}},\,t\,\right)~.}$

Según la teoría de la onda piloto, la partícula puntual y la onda de materia son entidades físicas reales y distintas (a diferencia de la mecánica cuántica estándar, que no postula la existencia de partículas físicas ni de entidades ondulatorias, sino solo la dualidad onda-partícula observada). La onda piloto guía el movimiento de las partículas puntuales, tal como se describe en la ecuación de guía.

La mecánica cuántica ordinaria y la teoría de ondas piloto se basan en la misma ecuación diferencial parcial. La principal diferencia es que en la mecánica cuántica ordinaria, la ecuación de Schrödinger está conectada con la realidad por el postulado de Born, que establece que la densidad de probabilidad de la posición de la partícula está dada por La teoría de ondas piloto considera la ecuación de guía como la ley fundamental y ve la regla de Born como un concepto derivado. ${\displaystyle \;\rho =|\psi |^{2}~.}$

La segunda ecuación es una ecuación de Hamilton-Jacobi modificada para la acción S :

${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}={\frac {\;\left|\,{\vec {\nabla }}S\,\right|^{2}\,}{\,2m\,}}+V+Q~,}$

donde Q es el potencial cuántico definido por

${\displaystyle Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{\,2m\,}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho \,}}}{\sqrt {\rho \,}}}~.}$

Si decidimos descuidar Q , nuestra ecuación se reduce a la ecuación de Hamilton-Jacobi de una partícula puntual clásica. ^[a] Entonces, el potencial cuántico es responsable de todos los efectos misteriosos de la mecánica cuántica.

También se puede combinar la ecuación de Hamilton-Jacobi modificada con la ecuación de guía para derivar una ecuación de movimiento cuasi-newtoniana.

${\displaystyle m\,{\frac {d}{dt}}\,{\vec {v}}=-{\vec {\nabla }}(V+Q)~,}$

donde la derivada temporal hidrodinámica se define como

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {\partial }{\,\partial t\,}}+{\vec {v}}\cdot {\vec {\nabla }}~.}$

Formulación matemática para partículas múltiples

La ecuación de Schrödinger para la función de onda de muchos cuerpos está dada por ${\displaystyle \psi ({\vec {r}}_{1},{\vec {r}}_{2},\cdots ,t)}$

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {\nabla _{i}^{2}}{m_{i}}}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\cdots \mathbf {r} _{N})\right)\psi }$

La función de onda compleja se puede representar como:

${\displaystyle \psi ={\sqrt {\rho \,}}\;\exp \left({\frac {i\,S}{\hbar }}\right)}$

La onda piloto guía el movimiento de las partículas. La ecuación de guía para la partícula j es:

${\displaystyle {\vec {v}}_{j}={\frac {\nabla _{j}S}{m_{j}}}\;.}$

La velocidad de la partícula j-ésima depende explícitamente de las posiciones de las otras partículas, lo que significa que la teoría no es local.

Relatividad

Desde la década de 1990 se ha desarrollado una extensión del caso relativista con espín. ^{[27] [28] [29] [30] [31] [32]}

Función de onda vacía

Lucien Hardy ^[33] y John Stewart Bell ^[16] han enfatizado que en la imagen de De Broglie-Bohm de la mecánica cuántica pueden existir ondas vacías , representadas por funciones de onda que se propagan en el espacio y el tiempo pero que no transportan energía o momento, ^[34] y no están asociadas con una partícula. El mismo concepto fue llamado ondas fantasma (o "Gespensterfelder", campos fantasma ) por Albert Einstein . ^[34] La noción de función de onda vacía ha sido discutida controvertidamente. ^{[35] [36] [37]} En contraste, la interpretación de muchos mundos de la mecánica cuántica no requiere funciones de onda vacías. ^[16]

Véase también

• Análogos cuánticos hidrodinámicos
• Potencial cuántico

Notas

1. En sentido estricto, se trata de un límite semiclásico; ^{[ es necesaria una aclaración ],} ya que el principio de superposición sigue vigente, por lo que se necesita un “mecanismo de decoherencia” para eliminarlo. La interacción con el entorno puede proporcionar este mecanismo.

Referencias

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Enlaces externos

• "Ondas piloto, metafísica bohmiana y los fundamentos de la mecánica cuántica" Archivado el 10 de abril de 2016 en Wayback Machine , curso de conferencias sobre teoría de ondas piloto por Mike Towler , Universidad de Cambridge (2009).
• Entrada de Sheldon Goldstein sobre "Mecánica de Bohm" en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford , otoño de 2021
• Demostraciones de mecánica bohmiana de Klaus von Bloh en: Wolfram Demonstrations Project