La pierna fantasma es un método de lotería diseñado para crear emparejamientos aleatorios entre dos conjuntos de cualquier cantidad de cosas, siempre que la cantidad de elementos en cada conjunto sea la misma. Esto se suele utilizar para distribuir cosas entre las personas, donde la cantidad de cosas distribuidas es la misma que la cantidad de personas. Por ejemplo, las tareas o los premios se podrían asignar de forma justa y aleatoria de esta manera.
Se conoce en japonés como Amidakuji (阿弥陀籤, " lotería de Amida ") , [nb 1] en coreano como Sadaritagi (사다리타기, literalmente "subir escalera") y en chino como Guijiaotu ( chino :鬼腳圖, literalmente "diagrama de piernas fantasma").
El diagrama consta de líneas verticales con líneas horizontales que conectan dos líneas verticales adyacentes esparcidas al azar a lo largo de su longitud; las líneas horizontales se llaman "piernas". El número de líneas verticales es igual al número de personas que juegan, y en la parte inferior de cada línea hay un elemento, una cosa que se emparejará con un jugador. La regla general para jugar a este juego es: elige una línea en la parte superior y sigue esta línea hacia abajo. Cuando encuentres una línea horizontal, síguela para llegar a otra línea vertical y continúa hacia abajo. Repite este procedimiento hasta llegar al final de la línea vertical. Luego, el jugador recibe el objeto escrito en la parte inferior de la línea.
Si los elementos escritos sobre la pata fantasma se tratan como una secuencia y, después de utilizar la pata fantasma, se escriben los mismos elementos en la parte inferior, entonces la secuencia inicial se ha transformado en otra permutación . Por lo tanto, la pata fantasma puede considerarse como un tipo de operador de permutación.
A modo de ejemplo, pensemos en asignar roles a los actores en una obra.
Otro proceso consiste en crear la escalera de antemano y luego ocultarla. Luego, las personas se turnan para elegir un camino desde el que empezar en la parte superior. Si no se oculta ninguna parte del amidakuji, entonces es posible arreglar el sistema de modo que se garantice un cierto emparejamiento, derrotando así la idea del azar.
Parte del atractivo de este juego es que, a diferencia de los juegos de azar como piedra, papel o tijera , el amidakuji siempre creará una correspondencia 1:1 y puede manejar una cantidad arbitraria de emparejamientos. Se garantiza que dos elementos en la parte superior nunca tendrán el mismo elemento correspondiente en la parte inferior, ni ningún elemento en la parte inferior carecerá nunca de un elemento correspondiente en la parte superior.
También funciona independientemente de cuántas líneas horizontales se agreguen. Cada persona podría agregar una, dos, tres o cualquier cantidad de líneas y se mantendría la correspondencia 1:1.
Una forma de entender cómo funciona esto es considerar la analogía de las monedas en los vasos. Hay n monedas en n vasos, que representan los elementos que se encuentran en la parte inferior del amidakuji . Luego, cada pata que se agrega representa el intercambio de la posición de dos vasos adyacentes. Por lo tanto, al final seguirá habiendo n vasos, y cada vaso tendrá una moneda, independientemente de cuántos intercambios se realicen.
Una pata fantasma transforma una secuencia de entrada en una secuencia de salida con el mismo número de elementos con (posiblemente) diferente orden. Por lo tanto, puede considerarse una permutación de n símbolos, donde n es el número de líneas verticales en la pata fantasma. [2] Por lo tanto, puede representarse mediante la matriz de permutación correspondiente .
La aplicación de una pata fantasma un número finito de veces a una secuencia de entrada eventualmente genera una secuencia de salida idéntica a la secuencia de entrada original.
Es decir, si M es una matriz que representa una pata fantasma particular, entonces M n = I para algún n finito .
Para cualquier pata fantasma con representación matricial M , existe una pata fantasma con representación M −1 , tal que M M −1 = I
Como cada pata intercambia los dos elementos vecinos en sus extremos, el número de patas indica la propiedad de permutación par/impar de la pata fantasma. Una cantidad impar de patas representa una permutación impar, y una cantidad par de patas da una permutación par.
Es posible expresar cada permutación como una pata fantasma, pero la expresión no es unívoca, es decir, una permutación particular no corresponde a una pata fantasma única. Una cantidad infinita de patas fantasma representa la misma permutación.
Como hay un número infinito de patas fantasma que representan una permutación particular, esas patas fantasma tienen una especie de equivalencia. Entre esas patas fantasma equivalentes, las que tienen el menor número de patas se denominan "primas".
Se puede construir un tramo fantasma de forma arbitraria, pero no necesariamente es primo. Se puede demostrar que solo los tramos fantasma construidos mediante ordenamiento de burbuja contienen la menor cantidad de tramos y, por lo tanto, son primos. Esto equivale a decir que el ordenamiento de burbuja realiza la cantidad mínima de intercambios adyacentes para ordenar una secuencia.
Para una permutación con n elementos, el número máximo de vecinos que intercambian =
De la misma manera, el número máximo de patas en un primo con n pistas =
En el caso de una pierna fantasma arbitraria, es posible transformarla en una pierna principal mediante un procedimiento llamado "burbujeo". Cuando se lleva a cabo el burbujeo, se aplican repetidamente las dos identidades siguientes para mover y eliminar las piernas "inútiles".
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Cuando las dos identidades ya no se pueden aplicar, se demuestra que la pata fantasma es exactamente la misma que la pata fantasma construida mediante la clasificación de burbuja , por lo que la burbujeación puede reducir las patas fantasma a números primos.
Dado que, como se mencionó anteriormente, un número impar de patas produce una permutación impar y un número par de patas produce una permutación par, un número dado de patas puede producir un máximo de la mitad del total de permutaciones posibles (menos de la mitad si el número de patas es pequeño en relación con el número de pistas, llegando a la mitad a medida que el número de patas aumenta más allá de un cierto número crítico).
Si los tramos se extraen aleatoriamente (para definiciones razonables de "extraer aleatoriamente"), la uniformidad de la distribución de permutaciones aumenta con el número de tramos. Si el número de tramos es pequeño en relación con el número de pistas, las probabilidades de diferentes permutaciones alcanzables pueden variar en gran medida; para un gran número de tramos, las probabilidades de diferentes permutaciones alcanzables se acercan a la igualdad.
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El juego arcade Amidar de 1981 , programado por Konami y publicado por Stern , utiliza el mismo entramado como laberinto. El juego tomó su nombre de amidakuji y la mayor parte del movimiento del enemigo se ajustaba a las reglas del juego.
Un juego temprano de Master System llamado Psycho Fox usa la mecánica de un tablero amidakuji como un medio para apostar una bolsa de monedas por la posibilidad de ganar un premio en la parte superior de la pantalla. Los juegos posteriores de Sega Genesis basados en el mismo concepto de juego , DecapAttack y su predecesor japonés Magical Hat no Buttobi Tabo! Daibōken, siguen la misma mecánica de juego, incluidos los niveles de bonificación de amidakuji .
El lanzamiento de Famicom de 1990 Akumajo Special: Boku Dracula-Kun (localizado en 2019 como Kid Dracula como parte de Castlevania Anniversary Collection ) usa esta lotería de piernas fantasma después de cada etapa como un medio para elegir uno de los cuatro juegos de bonificación posibles. Un hombre con micrófono grita "¡Amidakuji! ¡Amidakuji!" antes de que elijas tu camino A, B, C o D.
Super Mario Land 2: 6 Golden Coins incluye un juego de bonificación de estilo amidakuji que recompensa al jugador con un potenciador. New Super Mario Bros. , Super Mario 64 DS y Wario: Master of Disguise incluyen un minijuego de estilo amidakuji en el que el jugador usa el lápiz para agregar nuevas líneas que deben llevar al personaje del jugador por el camino ganador mientras se desliza por el tablero.
En Mega Man X, Bospider desciende por un riel con forma de telaraña similar a un amidakuji para atacar en la primera etapa de la fortaleza de Sigma.
El Gimnasio Azalea en Pokémon HeartGold y SoulSilver fue rediseñado con un sistema de carritos para cruzar basado en amidakuji . Las decisiones correctas conducen al líder del gimnasio; las incorrectas conducen a otros entrenadores con los que luchar.
Phantasy Star Online 2 utiliza el principio de amidakuji para un minijuego de desactivación de bombas que aparece aleatoriamente. Hay que trazar un camino de amidakuji alrededor de cada bomba para determinar qué botón la desactiva; las selecciones incorrectas alejan a los jugadores durante unos segundos, lo que hace perder tiempo.
En el drama japonés Don Quijote (episodio 10), el personaje Shirota ( Shota Matsuda ) usa amidakuji para ayudar a decidir entre familias candidatas para una adopción.
En Raging Loop , se describe una "lotería de piernas fantasma" como una analogía para la selección de roles en una aldea para una ceremonia que es central para la trama del juego.
