Computación cuántica óptica lineal

Paradigma de la computadora cuántica

La computación cuántica óptica lineal o computación cuántica óptica lineal ( LOQC ), también computación cuántica fotónica (PQC) , es un paradigma de la computación cuántica , que permite (bajo ciertas condiciones, descritas a continuación) la computación cuántica universal . LOQC utiliza fotones como portadores de información, utiliza principalmente elementos ópticos lineales o instrumentos ópticos (incluidos espejos recíprocos y placas de onda ) para procesar información cuántica , y utiliza detectores de fotones y memorias cuánticas para detectar y almacenar información cuántica. ^{[1] [2] [3]}

Descripción general

Aunque existen muchas otras implementaciones para el procesamiento de información cuántica (QIP) y la computación cuántica, los sistemas ópticos cuánticos son candidatos destacados, ya que vinculan la computación cuántica y la comunicación cuántica en el mismo marco. En los sistemas ópticos para el procesamiento de información cuántica, la unidad de luz en un modo dado, o fotón , se utiliza para representar un qubit . Las superposiciones de estados cuánticos se pueden representar, cifrar , transmitir y detectar fácilmente utilizando fotones. Además, los elementos ópticos lineales de los sistemas ópticos pueden ser los bloques de construcción más simples para realizar operaciones cuánticas y puertas cuánticas . Cada elemento óptico lineal aplica de manera equivalente una transformación unitaria en un número finito de qubits. El sistema de elementos ópticos lineales finitos construye una red de óptica lineal, que puede realizar cualquier diagrama de circuito cuántico o red cuántica basada en el modelo de circuito cuántico. La computación cuántica con variables continuas también es posible bajo el esquema de óptica lineal. ^[4]

Se ha demostrado la universalidad de las puertas de 1 y 2 bits para implementar computación cuántica arbitraria. ^{[5] [6] [7] [8]} Se pueden realizar operaciones matriciales unitarias ( ) utilizando únicamente espejos, divisores de haz y desfasadores ^[9] (este es también un punto de partida del muestreo de bosones y del análisis de complejidad computacional para LOQC). Señala que cada operador con entradas y salidas se puede construir mediante elementos ópticos lineales. Basándose en la razón de la universalidad y la complejidad, LOQC normalmente solo utiliza espejos, divisores de haz, desfasadores y sus combinaciones, como los interferómetros de Mach-Zehnder con desfases, para implementar operadores cuánticos arbitrarios . Si se utiliza un esquema no determinista, este hecho también implica que LOQC podría ser ineficiente en términos de recursos en términos de la cantidad de elementos ópticos y pasos de tiempo necesarios para implementar una determinada puerta o circuito cuántico, lo que es un inconveniente importante de LOQC. ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle U(N)}$ ${\displaystyle U(N)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(N^{2})}$

Las operaciones a través de elementos ópticos lineales (divisores de haz, espejos y desfasadores, en este caso) preservan las estadísticas de fotones de la luz de entrada. Por ejemplo, una entrada de luz coherente (clásica) produce una salida de luz coherente; una entrada de superposición de estados cuánticos produce una salida de estado de luz cuántica . ^[3] Por esta razón, la gente suele utilizar el caso de fuente de fotón único para analizar el efecto de los elementos y operadores ópticos lineales. Los casos de múltiples fotones se pueden implicar a través de algunas transformaciones estadísticas.

Un problema intrínseco en el uso de fotones como portadores de información es que los fotones casi no interactúan entre sí. Esto potencialmente causa un problema de escalabilidad para LOQC, ya que las operaciones no lineales son difíciles de implementar, lo que puede aumentar la complejidad de los operadores y, por lo tanto, puede aumentar los recursos necesarios para realizar una función computacional dada. Una forma de resolver este problema es incorporar dispositivos no lineales a la red cuántica. Por ejemplo, el efecto Kerr se puede aplicar a LOQC para hacer un NOT controlado por un solo fotón y otras operaciones. ^{[10] [11]}

Protocolo KLM

Se creía que añadir no linealidad a la red óptica lineal era suficiente para lograr una computación cuántica eficiente. ^[12] Sin embargo, implementar efectos ópticos no lineales es una tarea difícil. En 2000, Knill, Laflamme y Milburn demostraron que es posible crear computadoras cuánticas universales únicamente con herramientas ópticas lineales. ^[2] Su trabajo se ha conocido como el "esquema KLM" o " protocolo KLM ", que utiliza elementos ópticos lineales, fuentes de fotones individuales y detectores de fotones como recursos para construir un esquema de computación cuántica que involucra solo recursos ancilares , teletransportaciones cuánticas y correcciones de errores . Utiliza otra forma de computación cuántica eficiente con sistemas ópticos lineales y promueve operaciones no lineales únicamente con elementos ópticos lineales. ^[3]

En su raíz, el esquema KLM induce una interacción efectiva entre fotones al realizar mediciones proyectivas con fotodetectores , lo que cae en la categoría de computación cuántica no determinista. Se basa en un cambio de signo no lineal entre dos qubits que utiliza dos fotones ancillares y posselección. ^[13] También se basa en las demostraciones de que la probabilidad de éxito de las puertas cuánticas se puede hacer cercana a uno mediante el uso de estados entrelazados preparados de forma no determinista y teletransportación cuántica con operaciones de un solo qubit ^{[14] [15]} De lo contrario, sin una tasa de éxito suficientemente alta de una sola unidad de puerta cuántica, puede requerir una cantidad exponencial de recursos informáticos. Mientras tanto, el esquema KLM se basa en el hecho de que la codificación cuántica adecuada puede reducir los recursos para obtener qubits codificados con precisión de manera eficiente con respecto a la precisión lograda, y puede hacer que LOQC sea tolerante a fallas por pérdida de fotones, ineficiencia del detector y decoherencia de fase . Como resultado, LOQC se puede implementar de manera sólida a través del esquema KLM con un requerimiento de recursos lo suficientemente bajo como para sugerir escalabilidad práctica, lo que lo convierte en una tecnología tan prometedora para QIP como otras implementaciones conocidas.

Muestreo de bosones

El modelo de muestreo de bosones más limitado fue sugerido y analizado por Aaronson y Arkhipov en 2010. ^[16] No se cree que sea universal, ^[16] pero aún puede resolver problemas que se cree que están más allá de la capacidad de las computadoras clásicas, como el problema del muestreo de bosones . El 3 de diciembre de 2020, un equipo dirigido por el físico chino Pan Jianwei (潘建伟) y Lu Chaoyang (陆朝阳) de la Universidad de Ciencia y Tecnología de China en Hefei , provincia de Anhui , presentó sus resultados a Science en los que resolvieron un problema que es virtualmente inatacable por cualquier computadora clásica; demostrando así la supremacía cuántica de su computadora cuántica basada en fotones llamada Jiu Zhang Quantum Computer (九章量子计算机). ^[17] El problema del muestreo de bosones se resolvió en 200 segundos, estimaron que la supercomputadora Sunway TaihuLight de China tardaría 2.500 millones de años en resolverlo, una supremacía cuántica de alrededor de 10^14. Jiu Zhang recibió su nombre en honor al texto matemático más antiguo que se conserva en China (Jiǔ zhāng suàn shù) Los nueve capítulos sobre el arte matemático ^[18]

Ingredientes

Los criterios de DiVincenzo para la computación cuántica y QIP ^{[19] [20]} indican que un sistema universal para QIP debería satisfacer al menos los siguientes requisitos:

1. un sistema físico escalable con qubits bien caracterizados,
2. la capacidad de inicializar el estado de los qubits a un estado fiducial simple, como , ${\displaystyle |000\cdots \rangle }$
3. tiempos de decoherencia relevantes largos, mucho más largos que el tiempo de operación de la compuerta,
4. un conjunto "universal" de puertas cuánticas (este requisito no puede ser satisfecho por un sistema no universal),
5. una capacidad de medición específica de qubit;
   si el sistema también apunta a la comunicación cuántica, también debe satisfacer al menos los dos requisitos siguientes:
6. la capacidad de interconvertir qubits estacionarios y voladores, y
7. la capacidad de transmitir fielmente qubits voladores entre ubicaciones específicas.

Como resultado del uso de fotones y circuitos ópticos lineales, en general los sistemas LOQC pueden satisfacer fácilmente las condiciones 3, 6 y 7. ^[3] Las siguientes secciones se centran principalmente en las implementaciones de preparación de información cuántica, lectura, manipulación, escalabilidad y corrección de errores, con el fin de discutir las ventajas y desventajas de LOQC como candidato para QIP.

Qubits y modos

Un qubit es una de las unidades fundamentales de QIP. Un estado de qubit que puede representarse por es un estado de superposición que, si se mide en la base ortonormal , tiene probabilidad de estar en el estado y probabilidad de estar en el estado, donde es la condición de normalización. Un modo óptico es un canal de comunicación óptica distinguible, que generalmente se etiqueta con subíndices de un estado cuántico. Hay muchas formas de definir canales de comunicación óptica distinguibles. Por ejemplo, un conjunto de modos podría ser una polarización diferente de la luz que se puede seleccionar con elementos ópticos lineales, varias frecuencias o una combinación de los dos casos anteriores. ${\displaystyle \alpha |0\rangle +\beta |1\rangle }$ ${\displaystyle \{|0\rangle ,|1\rangle \}}$ ${\displaystyle |\alpha |^{2}}$ ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |\beta |^{2}}$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$

En el protocolo KLM, cada uno de los fotones suele estar en uno de dos modos, y los modos son diferentes entre los fotones (la posibilidad de que un modo esté ocupado por más de un fotón es cero). Esto no es así solo durante las implementaciones de puertas cuánticas controladas como CNOT. Cuando el estado del sistema es como se describe, los fotones se pueden distinguir, ya que están en modos diferentes, y por lo tanto un estado de qubit se puede representar usando un solo fotón en dos modos, vertical (V) y horizontal (H): por ejemplo, y . Es común referirse a los estados definidos a través de la ocupación de modos como estados de Fock . ${\displaystyle |0\rangle \equiv |0,1\rangle _{VH}}$ ${\displaystyle |1\rangle \equiv |1,0\rangle _{VH}}$

En el muestreo de bosones, los fotones no se distinguen y, por lo tanto, no pueden representar directamente el estado del cúbit. En cambio, representamos el estado del cúbit de todo el sistema cuántico utilizando los estados de Fock de los modos que están ocupados por fotones individuales indistinguibles (este es un sistema cuántico de nivel α). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\tbinom {M+N-1}{M}}}$

Preparación del estado

Para preparar un estado cuántico multifotón deseado para LOQC, primero se requiere un estado de fotón único. Por lo tanto, se emplearán elementos ópticos no lineales , como generadores de fotón único y algunos módulos ópticos. Por ejemplo, se puede utilizar la conversión descendente paramétrica óptica para generar condicionalmente el estado en el canal de polarización vertical en el momento (los subíndices se ignoran para este caso de un solo cúbit). Al utilizar una fuente de fotón único condicional, se garantiza el estado de salida, aunque esto puede requerir varios intentos (dependiendo de la tasa de éxito). Se puede preparar un estado multi-cúbit conjunto de manera similar. En general, se puede generar un estado cuántico arbitrario para QIP con un conjunto adecuado de fuentes de fotones. ${\displaystyle |1\rangle \equiv |1,0\rangle _{VH}}$ ${\displaystyle t}$

Implementaciones de puertas cuánticas elementales

Para lograr la computación cuántica universal, LOQC debería ser capaz de implementar un conjunto completo de puertas universales . Esto se puede lograr en el protocolo KLM, pero no en el modelo de muestreo de bosones.

Ignorando la corrección de errores y otros problemas, el principio básico en las implementaciones de puertas cuánticas elementales que utilizan solo espejos, divisores de haz y desplazadores de fase es que al utilizar estos elementos ópticos lineales , se puede construir cualquier operación unitaria arbitraria de 1 qubit; en otras palabras, esos elementos ópticos lineales admiten un conjunto completo de operadores en cualquier qubit individual.

La matriz unitaria asociada a un divisor de haz es: ${\displaystyle \mathbf {B} _{\theta ,\phi }}$

${\displaystyle U(\mathbf {B} _{\theta ,\phi })={\begin{bmatrix}\cos \theta &-e^{i\phi }\sin \theta \\e^{-i\phi }\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}$,

donde y están determinados por la amplitud de reflexión y la amplitud de transmisión (la relación se dará más adelante para un caso más simple). Para un divisor de haz simétrico, que tiene un cambio de fase bajo la condición de transformación unitaria y , se puede demostrar que ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle |t|^{2}+|r|^{2}=1}$ ${\displaystyle t^{*}r+tr^{*}=0}$

${\displaystyle U(\mathbf {B} _{\theta ,\phi ={\frac {\pi }{2}}})={\begin{bmatrix}t&r\\r&t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-i\sin \theta \\-i\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}=\cos \theta {\hat {I}}-i\sin \theta {\hat {\sigma }}_{x}=e^{-i\theta {\hat {\sigma }}_{x}}}$,

que es una rotación del estado de qubit único alrededor del eje en la esfera de Bloch . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2\theta =2\cos ^{-1}(|t|)}$

Un espejo es un caso especial donde la tasa de reflexión es 1, de modo que el operador unitario correspondiente es una matriz de rotación dada por

${\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$.

Para la mayoría de los casos de espejos utilizados en QIP, el ángulo de incidencia es . ${\displaystyle \theta =45^{\circ }}$

De manera similar, un operador de cambio de fase se asocia con un operador unitario descrito por , o, si se escribe en un formato de 2 modos ${\displaystyle \mathbf {P} _{\phi }}$ ${\displaystyle U(\mathbf {P} _{\phi })=e^{i\phi }}$

${\displaystyle U(\mathbf {P} _{\phi })={\begin{bmatrix}e^{i\phi }&0\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e^{i\phi /2}&0\\0&e^{-i\phi /2}\end{bmatrix}}{\text{(global phase ignored )}}=e^{i{\frac {\phi }{2}}{\hat {\sigma }}_{z}}}$,

lo que equivale a una rotación sobre el eje . ${\displaystyle -\phi }$ ${\displaystyle z}$

Dado que dos rotaciones cualesquiera a lo largo de ejes rotatorios ortogonales pueden generar rotaciones arbitrarias en la esfera de Bloch, se puede utilizar un conjunto de divisores de haz simétricos y espejos para implementar operadores arbitrarios para QIP. Las figuras a continuación son ejemplos de implementación de una compuerta Hadamard y una compuerta Pauli-X (compuerta NO) mediante el uso de divisores de haz (ilustrados como rectángulos que conectan dos conjuntos de líneas cruzadas con parámetros y ) y espejos (ilustrados como rectángulos que conectan dos conjuntos de líneas cruzadas con parámetro ). ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle R(\theta )}$

En las figuras anteriores, un qubit se codifica utilizando dos canales de modo (líneas horizontales): representa un fotón en el modo superior y representa un fotón en el modo inferior. ${\displaystyle \left\vert 0\right\rangle }$ ${\displaystyle \left\vert 1\right\rangle }$

Utilizando circuitos fotónicos integrados

En realidad, ensamblar un conjunto entero (posiblemente del orden de ^[21] ) de divisores de haz y desfasadores en una mesa experimental óptica es un desafío y poco realista. Para hacer que LOQC sea funcional, útil y compacto, una solución es miniaturizar todos los elementos ópticos lineales, fuentes de fotones y detectores de fotones, e integrarlos en un chip. Si se utiliza una plataforma de semiconductores , las fuentes de fotones individuales y los detectores de fotones se pueden integrar fácilmente. Para separar los modos, se han integrado rejillas de guía de ondas en matriz (AWG) que se utilizan comúnmente como (de)multiplexores ópticos en multiplexación por división de longitud de onda (WDM). En principio, los divisores de haz y otros elementos ópticos lineales también se pueden miniaturizar o reemplazar por elementos nanofotónicos equivalentes . Se pueden encontrar algunos avances en estos esfuerzos en la literatura, por ejemplo, Refs. ^{[22] [23] [24]} En 2013, se demostró el primer circuito fotónico integrado para el procesamiento de información cuántica utilizando una guía de ondas de cristal fotónico para lograr la interacción entre el campo guiado y los átomos. ^[25] ${\displaystyle 10^{4}}$

Comparación de implementaciones

Comparación del protocolo KLM y el modelo de muestreo de bosones

La ventaja del protocolo KLM sobre el modelo de muestreo de bosones es que, si bien el protocolo KLM es un modelo universal, no se cree que el muestreo de bosones sea universal. Por otra parte, parece que los problemas de escalabilidad en el muestreo de bosones son más manejables que los del protocolo KLM.

En el muestreo de bosones sólo se permite una única medición, una medición de todos los modos al final del cálculo. El único problema de escalabilidad en este modelo surge del requisito de que todos los fotones lleguen a los detectores de fotones en un intervalo de tiempo suficientemente corto y con frecuencias suficientemente cercanas. ^[16]

En el protocolo KLM hay puertas cuánticas no deterministas, que son esenciales para que el modelo sea universal. Estas se basan en la teletransportación de puertas, donde se preparan múltiples puertas probabilísticas fuera de línea y se realizan mediciones adicionales a mitad del circuito. Esos dos factores son la causa de problemas de escalabilidad adicionales en el protocolo KLM.

En el protocolo KLM, el estado inicial deseado es aquel en el que cada uno de los fotones se encuentra en uno de dos modos, y la posibilidad de que un modo esté ocupado por más de un fotón es cero. Sin embargo, en el muestreo de bosones, el estado inicial deseado es específico y requiere que los primeros modos estén ocupados cada uno por un único fotón ^[16] ( es el número de fotones y es el número de modos) y que todos los demás estados estén vacíos. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M\geq N}$

Modelos anteriores

Otro modelo anterior que se basa en la representación de varios qubits por un solo fotón se basa en el trabajo de C. Adami y NJ Cerf. ^[1] Al utilizar tanto la ubicación como la polarización de los fotones, un solo fotón en este modelo puede representar varios qubits; sin embargo, como resultado, la compuerta CNOT solo se puede implementar entre los dos qubits representados por el mismo fotón.

Las figuras a continuación son ejemplos de cómo hacer una compuerta Hadamard y una compuerta CNOT equivalentes utilizando divisores de haz (ilustrados como rectángulos que conectan dos conjuntos de líneas cruzadas con parámetros y ) y desplazadores de fase (ilustrados como rectángulos en una línea con parámetro ). ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$

En la realización óptica de la puerta CNOT, la polarización y la ubicación son el qubit de control y el objetivo, respectivamente.

Referencias

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Enlaces externos

• "Un chip óptico permite reprogramar un ordenador cuántico en segundos". kurzweilai.net. 14 de agosto de 2015.
• Las matemáticas de los ordenadores cuánticos | Series infinitas , consultado el 23 de noviembre de 2019