Modelo de campo de fase

Modelo matemático

Un modelo de campo de fases es un modelo matemático para resolver problemas interfaciales. Se ha aplicado principalmente a la dinámica de solidificación, ^[1] pero también se ha aplicado a otras situaciones como la digitación viscosa , ^{[2] la mecánica} de fracturas , [ ^{3] [4] [5] [6]} la fragilización por hidrógeno , ^[7] y la dinámica de vesículas . ^{[8] [9] [10] [11]}

El método sustituye las condiciones de contorno en la interfaz por una ecuación diferencial parcial para la evolución de un campo auxiliar (el campo de fase) que asume el papel de un parámetro de orden . Este campo de fase toma dos valores distintos (por ejemplo, +1 y −1) en cada una de las fases, con un cambio suave entre ambos valores en la zona alrededor de la interfaz, que entonces es difusa con un ancho finito. Una ubicación discreta de la interfaz puede definirse como la colección de todos los puntos donde el campo de fase toma un cierto valor (por ejemplo, 0).

Un modelo de campo de fases se construye generalmente de tal manera que en el límite de una anchura de interfaz infinitesimal (el llamado límite de interfaz agudo) se recupera la dinámica interfacial correcta. Este enfoque permite resolver el problema mediante la integración de un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales para todo el sistema, evitando así el tratamiento explícito de las condiciones de contorno en la interfaz.

Los modelos de campo de fase fueron introducidos por primera vez por Fix ^[12] y Langer, ^[13] y han experimentado un creciente interés en la solidificación y otras áreas.

Ecuaciones del modelo de campo de fase

Los modelos de campo de fases se construyen generalmente para reproducir una dinámica de interfaz dada. Por ejemplo, en problemas de solidificación, la dinámica del frente está dada por una ecuación de difusión para la concentración o la temperatura en la masa y algunas condiciones de contorno en la interfaz (una condición de equilibrio local y una ley de conservación), ^[14] que constituye el modelo de interfaz nítido.

Se muestra una microestructura de dos fases y el perfil de parámetros de orden en una línea que atraviesa el dominio. El cambio gradual de los parámetros de orden de una fase a otra muestra la naturaleza difusa de la interfaz. ${\displaystyle \varphi }$

Varias formulaciones del modelo de campo de fases se basan en una función de energía libre que depende de un parámetro de orden (el campo de fases) y de un campo difusivo (formulaciones variacionales). Las ecuaciones del modelo se obtienen entonces utilizando relaciones generales de física estadística . Dicha función se construye a partir de consideraciones físicas, pero contiene un parámetro o una combinación de parámetros relacionados con el ancho de la interfaz. Los parámetros del modelo se eligen entonces estudiando el límite del modelo con este ancho que tiende a cero, de tal manera que se pueda identificar este límite con el modelo de interfaz nítido deseado.

Otras formulaciones parten de la redacción directa de las ecuaciones de campo de fases, sin hacer referencia a ningún funcional termodinámico (formulaciones no variacionales). En este caso la única referencia es el modelo de interfase nítida, en el sentido de que debe recuperarse al realizar el límite de ancho de interfase pequeño del modelo de campo de fases.

Las ecuaciones de campo de fase reproducen en principio la dinámica interfacial cuando el ancho de la interfaz es pequeño en comparación con la escala de longitud más pequeña del problema. En la solidificación, esta escala es la longitud capilar , que es una escala microscópica. Desde un punto de vista computacional, la integración de ecuaciones diferenciales parciales que resuelven una escala tan pequeña es prohibitiva. Sin embargo, Karma y Rappel introdujeron el límite de interfaz delgada, ^[15] que permitió relajar esta condición y abrió el camino a simulaciones cuantitativas prácticas con modelos de campo de fase. Con el aumento de la potencia de las computadoras y el progreso teórico en el modelado de campo de fase, los modelos de campo de fase se han convertido en una herramienta útil para la simulación numérica de problemas interfaciales. ${\displaystyle d_{o}}$

Formulaciones variacionales

Se puede construir un modelo para un campo de fases mediante argumentos físicos si se tiene una expresión explícita para la energía libre del sistema. Un ejemplo simple para problemas de solidificación es el siguiente:

${\displaystyle F[e,\varphi ]=\int d{\mathbf {r} }\left[K|{\mathbf {\nabla } }\varphi |^{2}+h_{0}f(\varphi )+e_{0}u(\varphi )^{2}\right]}$

donde es el campo de fases, , es la entalpía local por unidad de volumen, es una cierta función polinómica de , y (donde es el calor latente , es la temperatura de fusión y es el calor específico). El término con corresponde a la energía interfacial. La función se toma generalmente como un potencial de doble pozo que describe la densidad de energía libre de la masa de cada fase, que a su vez corresponden a los dos mínimos de la función . Las constantes y tienen dimensiones respectivamente de energía por unidad de longitud y energía por unidad de volumen. El ancho de la interfaz se da entonces por . El modelo de campo de fases se puede obtener entonces a partir de las siguientes relaciones variacionales: ^[16] ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle u(\varphi )=e/e_{0}+h(\varphi )/2}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle e_{0}={L^{2}}/{T_{M}c_{p}}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle T_{M}}$ ${\displaystyle c_{p}}$ ${\displaystyle \nabla \varphi }$ ${\displaystyle f(\varphi )}$ ${\displaystyle f(\varphi )}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle h_{0}}$ ${\displaystyle W={\sqrt {K/h_{0}}}}$

${\displaystyle \partial _{t}\varphi =-{\frac {1}{\tau }}\left({\frac {\delta F}{\delta \varphi }}\right)+\eta ({\mathbf {r} },t)}$

${\displaystyle \partial _{t}e=De_{0}\nabla ^{2}\left({\frac {\delta F}{\delta e}}\right)-{\mathbf {\nabla } }\cdot {\mathbf {q} }_{e}(\mathbf {r} ,t).}$

donde D es un coeficiente de difusión para la variable , y y son términos estocásticos que dan cuenta de las fluctuaciones térmicas (y cuyas propiedades estadísticas se pueden obtener a partir del teorema de disipación de fluctuaciones ). La primera ecuación da una ecuación para la evolución del campo de fases, mientras que la segunda es una ecuación de difusión, que normalmente se reescribe para la temperatura o para la concentración (en el caso de una aleación). Estas ecuaciones son, escalando el espacio con y los tiempos con : ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle \mathbf {q} _{e}}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle l^{2}/D}$

${\displaystyle \alpha \varepsilon ^{2}\partial _{t}\varphi =\varepsilon ^{2}\nabla ^{2}\varphi -f'(\varphi )-{\frac {e_{0}}{h_{0}}}h'(\varphi )u+{\tilde {\eta }}({\mathbf {r} },t)}$

${\displaystyle \partial _{t}u=\nabla ^{2}u+{\frac {1}{2}}h'(\varphi )\partial _{t}\varphi -\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {q} _{u}(\mathbf {r} ,t)}$

donde es el ancho de la interfaz adimensional, , y , son ruidos no dimensionalizados. ${\displaystyle \varepsilon =W/l}$ ${\displaystyle \alpha ={D\tau }/{W^{2}h_{0}}}$ ${\displaystyle {\tilde {\eta }}({\mathbf {r} },t)}$ ${\displaystyle \mathbf {q} _{u}(\mathbf {r} ,t)}$

Funciones de densidad de energía alternativas

La elección de la función de energía libre, , puede tener un efecto significativo en el comportamiento físico de la interfaz, y debe seleccionarse con cuidado. La función de doble pozo representa una aproximación de la ecuación de estado de Van der Waals cerca del punto crítico, y se ha utilizado históricamente por su simplicidad de implementación cuando el modelo de campo de fase se emplea únicamente para fines de seguimiento de la interfaz. Pero esto ha llevado al fenómeno de contracción espontánea de la gota observado con frecuencia, por el cual la alta miscibilidad de fase predicha por una ecuación de estado cerca del punto crítico permite una interpenetración significativa de las fases y eventualmente puede llevar a la desaparición completa de una gota cuyo radio está por debajo de algún valor crítico. ^[17] Minimizar las pérdidas de continuidad percibidas durante la duración de una simulación requiere límites en el parámetro de movilidad, lo que resulta en un delicado equilibrio entre el smearing interfacial debido a la convección, la reconstrucción interfacial debido a la minimización de la energía libre (es decir, la difusión basada en la movilidad) y la interpenetración de fases, también dependiente de la movilidad. Una revisión reciente de funciones de densidad de energía alternativas para aplicaciones de seguimiento de interfaz ha propuesto una forma modificada de la función de doble obstáculo que evita los fenómenos de contracción espontánea de la gota y los límites de movilidad ^[18] , con resultados comparativos que proporcionan una serie de simulaciones de referencia utilizando la función de doble pozo y la técnica de interfaz nítida de volumen de fluido . La implementación propuesta tiene una complejidad computacional solo ligeramente mayor que la de la función de doble pozo, y puede resultar útil para aplicaciones de seguimiento de interfaz del modelo de campo de fase donde la duración/naturaleza de los fenómenos simulados introduce preocupaciones de continuidad de fase (es decir, gotas pequeñas, simulaciones extendidas, interfaces múltiples, etc.). ${\displaystyle f(\varphi )}$

Límite de interfaz agudo de las ecuaciones de fase-campo

Se puede construir un modelo de campo de fase para reproducir deliberadamente una dinámica interfacial dada tal como se representa mediante un modelo de interfaz nítido. En tal caso, se debe realizar el límite de interfaz nítido (es decir, el límite cuando el ancho de la interfaz tiende a cero) del conjunto propuesto de ecuaciones de campo de fase. Este límite se toma generalmente mediante expansiones asintóticas de los campos del modelo en potencias del ancho de la interfaz . Estas expansiones se realizan tanto en la región interfacial (expansión interna) como en el volumen (expansión externa), y luego se emparejan asintóticamente orden por orden. El resultado proporciona una ecuación diferencial parcial para el campo difusivo y una serie de condiciones de contorno en la interfaz, que deben corresponder al modelo de interfaz nítido y cuya comparación con él proporciona los valores de los parámetros del modelo de campo de fase. ${\displaystyle \varepsilon }$

Mientras que en los primeros modelos de campo de fases se realizaban estas expansiones hasta el orden inferior , los modelos más recientes utilizan asintóticas de orden superior (límites de interfaz delgada) para cancelar efectos espurios no deseados o para incluir nueva física en el modelo. Por ejemplo, esta técnica ha permitido cancelar efectos cinéticos, ^[15] tratar casos con difusividades desiguales en las fases, ^[19] modelar digitación viscosa ^[2] y flujos de Navier-Stokes bifásicos, ^[20] incluir fluctuaciones en el modelo, ^[21] etc. ${\displaystyle \varepsilon }$

Modelos de campos multifásicos

Los parámetros de orden múltiple describen una microestructura de material policristalino.

En los modelos de campo multifásico, la microestructura se describe mediante un conjunto de parámetros de orden, cada uno de los cuales está relacionado con una fase específica u orientación cristalográfica. Este modelo se utiliza principalmente para transformaciones de fase de estado sólido donde evolucionan múltiples granos (por ejemplo, crecimiento de grano , recristalización o transformación de primer orden como austenita a ferrita en aleaciones ferrosas). Además de permitir la descripción de múltiples granos en una microestructura, los modelos de campo multifásico permiten especialmente la consideración de múltiples fases termodinámicas que ocurren, por ejemplo, en grados de aleaciones técnicas. ^[22]

Modelos de campo de fase en gráficos

Muchos de los resultados de los modelos de campo de fase continuo tienen análogos discretos para los gráficos, simplemente reemplazando el cálculo con cálculo sobre gráficos .

Modelado de campos de fases en mecánica de fracturas

Las fracturas en sólidos se analizan a menudo numéricamente dentro de un contexto de elementos finitos utilizando representaciones de grietas discretas o difusas. Los enfoques que utilizan una representación de elementos finitos a menudo hacen uso de fuertes discontinuidades incrustadas en el nivel intraelemento y a menudo requieren criterios adicionales basados ​​en, por ejemplo, tensiones, densidades de energía de deformación o tasas de liberación de energía u otros tratamientos especiales como técnicas de cierre de grietas virtuales y remallado para determinar las trayectorias de las grietas. Por el contrario, los enfoques que utilizan una representación de grietas difusas conservan la continuidad del campo de desplazamiento, como los modelos de daño continuo y las teorías de fractura de campo de fase. Este último se remonta a la reformulación del principio de Griffith en una forma variacional y tiene similitudes con los modelos de tipo de daño mejorado por gradiente. Quizás la característica más atractiva de los enfoques de campo de fase para la fractura es que la iniciación de grietas y las trayectorias de grietas se obtienen automáticamente a partir de un problema de minimización que acopla las energías elásticas y de fractura. En muchas situaciones, la nucleación de grietas se puede explicar adecuadamente siguiendo las ramas de los puntos críticos asociados con las soluciones elásticas hasta que pierden estabilidad. En particular, los modelos de fractura de campo de fase pueden permitir la nucleación incluso cuando la densidad de energía de deformación elástica es constante en el espacio. ^[23] Una limitación de este enfoque es que la nucleación se basa en la densidad de energía de deformación y no en la tensión. Una visión alternativa basada en la introducción de una fuerza impulsora de la nucleación busca abordar esta cuestión. ^[24]

Modelos de campo de fases para la migración celular colectiva

Un grupo de células biológicas puede autopropulsarse de una manera compleja debido al consumo de trifosfato de adenosina . Las interacciones entre células como la cohesión o varias señales químicas pueden producir movimiento de manera coordinada, este fenómeno se llama "migración celular colectiva". Un modelo teórico para estos fenómenos es el modelo de campo de fase ^{[25] [26]} e incorpora un campo de fase para cada especie celular y variables de campo adicionales como la concentración de agente quimiotáctico . Tal modelo puede usarse para fenómenos como el cáncer, la cicatrización de heridas, la morfogénesis y los fenómenos de ectoplasma .

Software

• PACE3D – Algoritmos paralelos para la evolución de cristales en 3D es un paquete de simulación de campo de fase paralelizado que incluye transformaciones multifase y multicomponente, estructuras de grano a gran escala y acoplamiento con interacciones elásticas, plásticas, magnéticas y de flujo de fluidos. Se desarrolló en la Universidad de Ciencias Aplicadas de Karlsruhe y el Instituto Tecnológico de Karlsruhe .
• El Proyecto de Simulación de Microestructura a Mesoescala (MMSP) es una colección de clases de C++ para simulación de microestructura basada en cuadrícula.
• El software de simulación de evolución de microestructuras (MICRESS) es un paquete de simulación de campo multifase y multicomponente acoplado a bases de datos termodinámicas y cinéticas. Lo desarrolla y mantiene ACCESS eV.
• MOOSE, marco de elementos finitos multifísicos C++ de código abierto y masivamente paralelo con soporte para simulaciones de campo de fase desarrollado en el Laboratorio Nacional de Idaho.
• PhasePot es una herramienta de simulación de microestructura basada en Windows, que utiliza una combinación de modelos de campo de fase y Monte Carlo Potts.
• OpenPhase es un software de código abierto para la simulación de la formación de microestructuras en sistemas que experimentan una transformación de fase de primer orden basada en el modelo de campo multifásico.
• mef90/vDef es un simulador de fractura de campo de fase variacional de código abierto basado en la teoría desarrollada en. ^{[3] [4] [5]}
• MicroSim es una pila de software que consta de códigos de campo de fase que ofrecen flexibilidad con discretización, modelos y hardware de computación de alto rendimiento (CPU/GPU) en el que pueden ejecutarse.
• PRISMS-PF es un código de elementos finitos masivamente paralelo para realizar simulaciones de campo de fase y otras simulaciones relacionadas con la evolución de la microestructura. ^[27] Se basa en la biblioteca de elementos finitos deal.II y es desarrollado y mantenido por el Centro PRISMS de la Universidad de Michigan.

Referencias

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Lectura adicional

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