En matemáticas , un par ( B , N ) es una estructura sobre grupos de tipo Lie que permite dar pruebas uniformes de muchos resultados, en lugar de dar un gran número de pruebas caso por caso. En términos generales, demuestra que todos esos grupos son similares al grupo lineal general sobre un cuerpo . Fueron introducidos por el matemático Jacques Tits y también se conocen a veces como sistemas Tits .
Definición
Un par ( B , N ) es un par de subgrupos B y N de un grupo G tales que se cumplen los siguientes axiomas:
- G es generado por B y N.
- La intersección , T , de B y N es un subgrupo normal de N.
- El grupo W = N / T está generado por un conjunto S de elementos de orden 2 tales que
- Si s es un elemento de S y w es un elemento de W entonces sBw está contenido en la unión de BswB y BwB .
- Ningún elemento de S normaliza B.
El conjunto S está determinado de forma única por B y N y el par ( W , S ) es un sistema de Coxeter .
Terminología
Los pares BN están estrechamente relacionados con los grupos reductivos y la terminología en ambos temas se superpone. El tamaño de S se denomina rango . Llamamos
Un subgrupo de G se llama
- parabólico si contiene un conjugado de B ,
- parabólica estándar si, de hecho, contiene al propio B , y
- un Borel (o parabólico mínimo ) si es conjugado de B.
Ejemplos
Ejemplos abstractos de pares ( B , N ) surgen de ciertas acciones grupales.
- Supongamos que G es cualquier grupo de permutación doblemente transitivo en un conjunto E con más de 2 elementos. Sea B el subgrupo de G que fija un punto x , y sea N el subgrupo que fija o intercambia 2 puntos x e y . El subgrupo T es entonces el conjunto de elementos que fijan tanto x como y , y W tiene orden 2 y su elemento no trivial está representado por cualquier cosa que intercambie x e y .
- Por el contrario, si G tiene un par ( B , N ) de rango 1, entonces la acción de G sobre las clases laterales de B es doblemente transitiva . Por lo tanto, los pares ( B , N ) de rango 1 son más o menos lo mismo que las acciones doblemente transitivas sobre conjuntos con más de 2 elementos.
Se pueden encontrar ejemplos más concretos de pares ( B , N ) en grupos reductivos.
- Supongamos que G es el grupo lineal general GL n K sobre un cuerpo K . Tomamos B como las matrices triangulares superiores , T como las matrices diagonales y N como las matrices monomiales , es decir, matrices con exactamente un elemento distinto de cero en cada fila y columna. Hay n − 1 generadores, representados por las matrices obtenidas al intercambiar dos filas adyacentes de una matriz diagonal. El grupo de Weyl es el grupo simétrico sobre n letras.
- De manera más general, si G es un grupo reductivo sobre un campo K , entonces el grupo G = G ( K ) tiene un par ( B , N ) en el que
- B = P ( K ), donde P es un subgrupo parabólico mínimo de G , y
- N = N ( K ), donde N es el normalizador de un toro máximo dividido contenido en P .
- En particular, cualquier grupo finito de tipo Lie tiene la estructura de un par ( B , N ).
- Un grupo algebraico semisimple simplemente conexo sobre un cuerpo local tiene un par ( B , N ) donde B es un subgrupo de Iwahori .
Propiedades
Descomposición de Bruhat
La descomposición de Bruhat establece que G = BWB . Más precisamente, las clases laterales dobles B\G/B están representadas por un conjunto de elevaciones de W a N.
Subgrupos parabólicos
Cada subgrupo parabólico es igual a su normalizador en G. ]
Toda parábola estándar tiene la forma BW ( X ) B para algún subconjunto X de S , donde W ( X ) denota el subgrupo de Coxeter generado por X . Además, dos parábolas estándar son conjugadas si y solo si sus conjuntos X son iguales. Por lo tanto, existe una biyección entre subconjuntos de S y parábolas estándar. De manera más general, esta biyección se extiende a las clases de conjugación de subgrupos parabólicos.
Teorema de simplicidad de Tits
Los pares BN se pueden utilizar para demostrar que muchos grupos de tipo Lie son simples módulo sus centros . Más precisamente, si G tiene un par BN tal que B es un grupo resoluble , la intersección de todos los conjugados de B es trivial y el conjunto de generadores de W no se puede descomponer en dos conjuntos conmutativos no vacíos , entonces G es simple siempre que sea un grupo perfecto . En la práctica, todas estas condiciones, excepto que G sea perfecto, son fáciles de comprobar. Comprobar que G es perfecto requiere algunos cálculos un poco complicados (y, de hecho, hay unos pocos grupos pequeños de tipo Lie que no son perfectos). Pero demostrar que un grupo es perfecto suele ser mucho más fácil que demostrar que es simple.
Citas
Referencias
- Abramenko, Peter; Brown, Kenneth S. (2008). Edificios. Teoría y aplicaciones . Springer. ISBN 978-0-387-78834-0.MR 2439729.Zbl 1214.20033 .La sección 6.2.6 analiza los pares BN.
- Borel, Armand (1991) [1969], Grupos algebraicos lineales , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 126 (2.ª ed.), Nueva York: Springer Nature , doi : 10.1007/978-1-4612-0941-6, ISBN 0-387-97370-2, Sr. 1102012
- Bourbaki, Nicolas (1981). Grupos de Lie y álgebras de Lie: capítulos 4 a 6. Elementos de matemáticas (en francés). Hermann. ISBN 2-225-76076-4.MR 0240238.Zbl 0483.22001 . El Capítulo IV, § 2 es la referencia estándar para los pares BN.
- Bourbaki, Nicolas (2002). Grupos de Lie y álgebras de Lie: capítulos 4 a 6. Elementos de matemáticas. Springer. ISBN 3-540-42650-7.MR 1890629.Zbl 0983.17001 .
- Serre, Jean-Pierre (2003). Árboles . Saltador. ISBN 3-540-44237-5.Zbl 1013.20001 .
