Las paradojas de implicación material son un grupo de fórmulas verdaderas que involucran condicionales materiales cuyas traducciones al lenguaje natural son intuitivamente falsas cuando el condicional se traduce como "si... entonces...". Una fórmula condicional material es verdadera a menos que sea verdadera y sea falsa. Si los condicionales del lenguaje natural se entendieran de la misma manera, eso significaría que la oración "Si los nazis hubieran ganado la Segunda Guerra Mundial, todos estarían felices" es vacuamente verdadera . Dado que tales consecuencias problemáticas se derivan de una suposición aparentemente correcta sobre la lógica, se las llama paradojas . Demuestran un desajuste entre la lógica clásica y las intuiciones robustas sobre el significado y el razonamiento . [1]
La paradoja de implicación , la más conocida de las paradojas y la más simple desde el punto de vista formal, constituye la mejor introducción.
En lenguaje natural surge un ejemplo de la paradoja de la implicación:
Y
Por lo tanto
Esto surge del principio de explosión , una ley de la lógica clásica que establece que las premisas inconsistentes siempre hacen que un argumento sea válido; es decir, las premisas inconsistentes no implican ninguna conclusión . Esto parece paradójico porque, aunque el argumento anterior es lógicamente válido, no es sólido (no todas sus premisas son verdaderas).
La validez se define en la lógica clásica de la siguiente manera:
Por ejemplo, un argumento válido podría ser:
En este ejemplo no existe ninguna situación posible en la que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Como no hay ningún contraejemplo , el argumento es válido.
Pero se podría construir un argumento en el que las premisas fueran inconsistentes . Esto satisfaría la prueba de un argumento válido ya que no habría ninguna situación posible en la que todas las premisas fueran verdaderas y, por lo tanto, ninguna situación posible en la que todas las premisas fueran verdaderas y la conclusión fuera falsa .
Por ejemplo, un argumento con premisas inconsistentes podría ser:
Como no hay ninguna situación posible en la que ambas premisas puedan ser verdaderas, entonces ciertamente no hay ninguna situación posible en la que las premisas puedan ser verdaderas mientras que la conclusión sea falsa. Por lo tanto, el argumento es válido cualquiera sea la conclusión; las premisas inconsistentes implican todas las conclusiones.
Las fórmulas clásicas de paradoja están estrechamente vinculadas a la eliminación de conjunciones , que se puede derivar de las fórmulas de paradoja, por ejemplo, de (1) por importación . Además, existen serios problemas al intentar usar la implicación material como representación de la expresión inglesa "si... entonces...". Por ejemplo, las siguientes son inferencias válidas:
Pero al trasladar esto a oraciones en inglés usando "si" se generan paradojas.
La primera podría leerse así: “Si Juan está en Londres, entonces está en Inglaterra, y si está en París, entonces está en Francia. Por lo tanto, es cierto que (a) si Juan está en Londres, entonces está en Francia, o (b) si está en París, entonces está en Inglaterra”. Utilizando la implicación material, si Juan no está en Londres, entonces (a) es cierto; mientras que si está en Londres, entonces, porque no está en París, (b) es cierto. De cualquier manera, la conclusión de que al menos una de las dos (a) o (b) es verdadera es válida.
Pero esto no coincide con el uso que se hace en el lenguaje natural de la expresión "si... entonces...": el escenario más probable en el que se diría "si Juan está en Londres, entonces está en Inglaterra" es si no se sabe dónde está Juan, pero se sabe que si está en Londres, está en Inglaterra. Según esta interpretación, ambas premisas son verdaderas, pero ambas cláusulas de la conclusión son falsas.
El segundo ejemplo puede leerse como "Si tanto el interruptor A como el interruptor B están cerrados, entonces la luz está encendida. Por lo tanto, es cierto que si el interruptor A está cerrado, la luz está encendida, o que si el interruptor B está cerrado, la luz está encendida". Aquí, la interpretación en lenguaje natural más probable de las afirmaciones "si... entonces..." sería " siempre que el interruptor A esté cerrado, la luz está encendida" y " siempre que el interruptor B esté cerrado, la luz está encendida". Nuevamente, bajo esta interpretación ambas cláusulas de la conclusión pueden ser falsas (por ejemplo, en un circuito en serie, con una luz que se enciende solo cuando ambos interruptores están cerrados).
