Curva plana con el mayor orden de contacto con otra curva
Una curva C que contiene un punto P donde el radio de curvatura es igual a r , junto con la línea tangente y el círculo osculador que toca C en P
En geometría diferencial , una curva osculadora es una curva plana de una familia dada que tiene el mayor orden posible de contacto con otra curva. Es decir, si F es una familia de curvas suaves , C es una curva suave (que en general no pertenece a F ) y P es un punto en C , entonces una curva osculadora de F en P es una curva de F que pasa por P y tiene tantas de sus derivadas (en sucesión, a partir de la primera derivada) en P iguales a las derivadas de C como sea posible. [1] [2]
El término deriva de la raíz latina «oscular», besar , porque las dos curvas entran en contacto entre sí de una manera más íntima que la simple tangencia . [3]
Ejemplos
Elipses osculantes – La espiral no está dibujada: la vemos como el lugar de los puntos donde las elipses están especialmente próximas entre sí.
Algunos ejemplos de curvas osculantes de diferentes órdenes incluyen:
La recta tangente a una curva C en un punto p , la curva osculadora de la familia de las rectas . La recta tangente comparte su primera derivada ( pendiente ) con C y por lo tanto tiene contacto de primer orden con C . [1] [2] [4]
El círculo osculador de C en p , la curva osculadora de la familia de círculos . El círculo osculador comparte tanto su primera como su segunda derivada (equivalentemente, su pendiente y curvatura ) con C . [1] [2] [4]
La parábola osculadora de C en p , la curva osculadora de la familia de parábolas , tiene contacto de tercer orden con C . [2] [4]
La cónica osculadora a C en p , la curva osculadora de la familia de secciones cónicas , tiene contacto de cuarto orden con C . [2] [4]
Generalizaciones
El concepto de osculación se puede generalizar a espacios de dimensiones superiores y a objetos que no son curvas dentro de esos espacios. Por ejemplo, un plano osculador de una curva espacial es un plano que tiene contacto de segundo orden con la curva. Este es el orden más alto posible en el caso general. [5]
En una dimensión, se dice que las curvas analíticas osculan en un punto si comparten los tres primeros términos de su expansión de Taylor en torno a ese punto. Este concepto se puede generalizar a la superosculación, en la que dos curvas comparten más de los tres primeros términos de su expansión de Taylor.
^ abc Rutter, JW (2000), Geometría de curvas, CRC Press, págs. 174-175, ISBN 9781584881667.
^ abcde Williamson, Benjamin (1912), Un tratado elemental sobre el cálculo diferencial: que contiene la teoría de curvas planas, con numerosos ejemplos, Longmans, Green, pág. 309.
^ Max, Black (1954-1955), "Metáfora", Actas de la Sociedad Aristotélica , Nueva Serie, 55 : 273-294. Reimpreso en Johnson, Mark, ed. (1981), Philosophical Perspectives on Metaphor , University of Minnesota Press, págs. 63-82, ISBN 9780816657971. P. 69: "Las curvas osculantes no se besan por mucho tiempo y rápidamente vuelven a un contacto matemático más prosaico".
^ abcd Taylor, James Morford (1898), Elementos del cálculo diferencial e integral: con ejemplos y aplicaciones, Ginn & Company, págs. 109-110.
^ Kreyszig, Erwin (1991), Geometría diferencial, Exposiciones matemáticas de la Universidad de Toronto, vol. 11, Courier Dover Publications, págs. 32-33, ISBN9780486667218.
