En geometría , el panal de abejas 5 21 es una teselación uniforme del espacio euclidiano de ocho dimensiones. El símbolo 5 21 proviene de Coxeter y recibe su nombre por la longitud de las tres ramas de su diagrama de Coxeter-Dynkin. [1]
Al colocar esferas en sus vértices se obtiene el empaquetamiento más denso posible de esferas en 8 dimensiones. Esto fue demostrado por Maryna Viazovska en 2016 utilizando la teoría de formas modulares . Viazovska recibió la Medalla Fields por este trabajo en 2022.
Este panal fue estudiado por primera vez por Gosset, quien lo llamó una figura semirregular 9-ica [2] (Gosset consideraba a los panales en n dimensiones como politopos degenerados n +1).
Cada vértice del panal 5 21 está rodeado por 2160 8-ortoplexes y 17280 8-simplicies .
La figura del vértice del panal de Gosset es el politopo semirregular 4 21 . Es la figura final de la familia k 21 .
Este panal es altamente regular en el sentido de que su grupo de simetría (el grupo de Weyl afín) actúa transitivamente sobre las k -caras para k ≤ 6. Todas las k -caras para k ≤ 7 son símplices.
Se crea mediante una construcción de Wythoff sobre un conjunto de 9 espejos hiperplanos en un espacio de 8 dimensiones.
La información de la faceta se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin .
Al quitar el nodo en el extremo de la rama de 2 longitudes queda el ortoplex 8 , 6 11 .
Al eliminar el nodo en el extremo de la rama de longitud 1, queda el 8-símplex .
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y anillando el nodo vecino. Esto forma el politopo 4 21 .
La figura de la arista se determina a partir de la figura del vértice eliminando el nodo anillado y anillando el nodo vecino. Esto forma el politopo 3 21 .
La figura de la cara se determina a partir de la figura del borde eliminando el nodo anillado y anillando el nodo vecino. Esto forma el politopo 2 21 .
La figura de la celda se determina a partir de la figura de la cara eliminando el nodo anillado y anillando el nodo vecino. Esto forma el politopo 1 21 .
Cada vértice de esta teselación es el centro de una 7-esfera en el empaquetamiento más denso en 8 dimensiones; su número de beso es 240, representado por los vértices de su figura de vértice 4 21 .
contiene como subgrupo del índice 5760. [3] Tanto y pueden verse como extensiones afines de desde diferentes nodos:
contiene como subgrupo del índice 270. [4] Tanto y pueden verse como extensiones afines de desde diferentes nodos:
La disposición de vértices de 5 21 se llama red E8 . [5]
La red E8 también se puede construir como una unión de los vértices de dos panales de 8 semicubes (llamada red D 8 2 o D 8 + ), así como la unión de los vértices de tres panales de 8 símplex (llamada red A 8 3 ): [6]
=
∪
=
∪
∪
Utilizando un sistema de coordenadas de números complejos , también se puede construir como un politopo complejo regular , dado el símbolo 3{3}3{3}3{3}3{3}3, y el diagrama de Coxeter. 
Sus elementos están en proporción relativa como 1 vértice, 80 aristas de 3 lados, 270 caras de 3 lados , 80 celdas de 3 lados y 1 celda de politopo de 3 lados de Witting . [7]
El 5 21 es el séptimo de una serie dimensional de politopos semirregulares , identificados en 1900 por Thorold Gosset . Cada miembro de la secuencia tiene como figura de vértice al miembro anterior . Todas las facetas de estos politopos son politopos regulares , es decir, símplex y ortoplex .
