Discusión:Grupo de permutación

El artículo necesita más exposición.

La introducción (muy breve) de la forma cíclica me parece todavía bastante opaca. Deberíamos intentar explicar con más claridad qué significa, por ejemplo, "(1,2,4)(3)".

152.3.68.83 ( discusión ) 14:33 25 jul 2013 (UTC) [ responder ]

Dos puntos: 1. Sé bastante de matemáticas, pero esta introducción es opaca, llena de jerga y de poco valor. El propósito de un artículo en Wikipedia es enseñar e informar. No es un lugar para que la gente exponga lo que sabe. Este artículo me desanima por completo. 2. La introducción de esta y muchas wikis de matemáticas omite el factor "Y qué". Por ejemplo, los grupos de permutaciones son muy importantes para la física, aparentemente. ¿Cómo? ¿Qué significa eso?

Centroyd ( discusión ) 09:44 19 jul 2014 (UTC) [ responder ]

Ejemplos de grupos de permutación

Agregué dos ejemplos de mi propio trabajo. Otros podrían argumentar que esto es demasiado egocéntrico. Cullinane 21:54, 10 de agosto de 2005 (UTC) [ responder ]

¿Permutaciones de conjuntos infinitos?

Me interesaría saber sobre permutaciones (y grupos de permutaciones) de conjuntos infinitos (por ejemplo, Z o Q). El artículo dice que "si M es cualquier conjunto finito o infinito, entonces el grupo de todas las permutaciones de M se escribe a menudo como Sym(M)". Me interesa saber cómo se definiría una permutación para un conjunto incontable como R .

Si sabe algo sobre este tema, incluya alguna información aquí (o inicie otro artículo al respecto).

Lo siento, olvidé firmar el último comentario DonkeyKong el matemático (en formación) 06:48, 28 de mayo de 2006 (UTC) [ responder ]

Una permutación de M puede definirse como una biyección de M en sí misma (un automorfismo en la categoría de conjuntos ), por lo que S(M) es el conjunto de todas esas permutaciones para un conjunto dado M . Por supuesto, no se puede escribir "explícitamente" la tabla de correspondencias

 [ x1 x2 ... ]f = [ ] [ f(x1) f(x2) ... ]

de tal permutación, si tiene un soporte infinito; sin embargo, esto es posible si tiene un soporte finito (supp f = { x | f(x) <> x }), en cuyo caso sólo se escribirían los elementos sobre los que actúa de forma no trivial. En ese caso, también se puede descomponer en ciclos y definir su orden, etc., de la manera habitual. Es fácil ver que el subconjunto So(M) = { f ∈ S(M) | supp f is finite } es un subgrupo (normal) de S(M). — MFH : Discusión 03:02, 11 de noviembre de 2006 (UTC) [ responder ]

Inversiones y transposiciones

{NOTA: la permutación 4,3,1,2 tiene cinco inversiones pero sólo tres transposiciones. Hay un error en el texto} —Comentario anterior sin firmar añadido por 01001 ( discusión • contribs )

Isomorfismos y grupo simétrico

No estoy de acuerdo con el siguiente párrafo:

"Si ( G , M ) y ( H , M ) tales que tanto G como H son isomorfos como grupos a Sym( M ), entonces ( G , M ) y ( H , M ) son isomorfos como grupos de permutación; por lo tanto, es apropiado hablar del grupo simétrico Sym( M ) ( hasta el isomorfismo)."

Si M es finito y un grupo G de permutaciones de M es isomorfo a Sym( M ) como grupo, entonces tiene la misma cardinalidad y por lo tanto contiene todas las permutaciones de M , por lo tanto también es igual a Sym(M). Usando este argumento, podemos concluir que el grupo simétrico Sym( M ) es simplemente único. Sin embargo, la unicidad de Sym( M ) ya estaba clara en la introducción cuando se definió como (el) grupo de todas las permutaciones de M con composición de funciones como operación.

Si M es infinito, creo que la afirmación es falsa en general, pero de todos modos creo que el párrafo no pretendía abordar este caso.

En conclusión, eliminaría el párrafo. Marcosaedro ( discusión ) 07:00 7 mar 2009 (UTC) [ responder ]

Estoy de acuerdo en que la afirmación es trivial o falsa, por lo que no es muy informativa en ninguno de los casos. Incluso hay un contraejemplo finito de la afirmación menos trivial para las representaciones de permutación (Sym(6) tiene dos representaciones de permutación no isomorfas en conjuntos de 6 elementos), por lo que creo que incluso si se corrigiera la afirmación, seguiría siendo confusa y no diría nada esclarecedor. JackSchmidt ( discusión ) 15:22 7 mar 2009 (UTC) [ responder ]

Tampoco entiendo tu ejemplo. Es la primera vez que oigo hablar de representaciones de permutaciones.

Actualización: encontré una definición en el artículo sobre representación de grupos . Dice que una representación de grupo de un grupo G en un conjunto M es un homomorfismo de G a Sym( M ). Esta definición me parece contraintuitiva, porque no requiere que el homomorfismo sea inyectivo y, por lo tanto, no codifica todo el conocimiento de G.

Actualización: Lo que yo llamaría representación en realidad se llama representación fiel .

¿Quieres decir que hay dos morfismos desde G = Sym(6) hasta Sym( X ) (siendo X un conjunto de seis elementos) cuyas imágenes son isomorfas como grupos pero no son conjugadas entre sí? Yo esperaría que esos morfismos no fueran inyectivos, porque con un argumento de cardinalidad podemos ver que la inyectividad implica sobreyectividad. De todos modos, ¿cuál es la afirmación que este ejemplo pretende refutar?

MetaWiki: Soy bastante nuevo en Wikipedia. Entiendo que con este comentario me estoy alejando del objetivo de mejorar el artículo, ya que es poco probable que el párrafo vuelva a aparecer. ¿Esta página de discusión es adecuada para este tipo de discusión? (¿Y tienes tiempo?) Marcosaedro ( discusión ) 22:44 7 mar 2009 (UTC) [ responder ]

Si X es un conjunto de seis elementos, entonces hay dos homomorfismos inyectivos f , g de Sym(6) a Sym( X ) tales que hay al menos un π en Sym(6), donde f ( π ) no es conjugado en Sym( X ) a g ( π ). Por supuesto, la imagen completa de f y g son conjugadas (incluso idénticas), es solo que el elemento conjugante no coincide con los mismos elementos de Sym(6). Esto sucede precisamente porque Sym(6) tiene un automorfismo externo (y ningún otro grupo simétrico finito lo tiene). En el lenguaje de las representaciones de permutación, las imágenes son isomorfas de permutación, pero las representaciones no lo son.

Esto sería un contraejemplo de "Para conjuntos finitos X , cada representación de permutación de Sym( X ) es isomorfa, por lo que tiene sentido hablar de la representación de permutación de Sym( X )".

Metawiki: si la discusión se desvía demasiado o se extiende demasiado, la mesa de referencia es un mejor lugar para discutir con la comunidad. Sin embargo, una discusión breve puede revelar una manera de agregar algo bueno al artículo (o a uno de sus parientes), y puede ayudar a futuros editores a entender nuestro punto de vista actual. JackSchmidt ( discusión ) 02:50, 8 de marzo de 2009 (UTC) [ responder ]

Definición

Me pregunto si una definición más exacta de un grupo de permutación sería algo como "Un grupo de permutación es un par ( G , M ) donde M es un conjunto y G es un grupo que actúa sobre M ; cuando no puede surgir ninguna ambigüedad, puede denotarse simplemente por G. Se dice que dos grupos de permutación son isomorfos (como grupos de permutación) siempre que exista una función blah blah blah tal que blah blah blah".

O tal vez, "Un grupo de permutación es un grupo G junto con un conjunto M tal que G actúa sobre (o permuta) M ".

Vea la forma en que se define el espacio topológico en Espacios topológicos , que de alguna manera parece más natural y más exacto.

(Por supuesto, si cada libro de teoría de grupos del mundo lo hace como lo hace el artículo, entonces no hay margen para hacer un cambio.) Son of eugene ( discusión ) 08:51 31 dic 2010 (UTC) [ responder ]

La operación de grupo es una "composición de permutaciones", que debería definirse. — Comentario anterior sin firmar añadido por 71.167.39.230 (discusión) 02:50, 2 de mayo de 2014 (UTC) [ responder ]

(1 2 3 4) en {1, 2}

Quizás esta sea una pregunta un tanto tonta para quienes están familiarizados con el tema, pero ¿cuál es el resultado cuando una permutación g = (1 2 3 4) | g G actúa sobre A = {1, 2}? Esta operación debería ser posible: podemos construir G a partir de {1, 2, 3, 4}, abstraerlo en un grupo y hacer que actúe sobre {1, 2}. Estoy confundido porque lo que (1 2 3 4) me está diciendo es que mueva el segundo elemento a la tercera posición, ¡pero no hay una tercera posición! En particular, si asumo que gA = {1} (es decir, que 2 se descarta del conjunto), ¿qué pasa con g ³ = (1 4 3 2) que actúa sobre A? Lo que quiero decir es, {} = g ² (gA) ≠ (g ³ )A = {2}, lo que viola la asociatividad de la acción grupal. Pratik.Mallya ¡ ^Habla! 23:32 2 mar 2011 (UTC) [ responder ] ${\displaystyle \in }$

Pienso que tal vez el ejemplo concreto de permutación, tal como lo tengo aquí, sólo se puede aplicar al conjunto a partir del cual se construyeron originalmente. Pratik.Mallya ^Talk! 23:43, 2 de marzo de 2011 (UTC) [ responder ]

Para que un grupo G actúe sobre un conjunto S, cada elemento g de G debe mapear S a S. En otras palabras, el conjunto S debe ser fijo por la acción de cualquier elemento del grupo. Por lo tanto, en tu caso, G no actúa sobre A, ya que la permutación g no envía elementos de A a elementos de A. Ver acción de grupo . - Krasnoludek ( discusión ) 00:05 24 mar 2011 (UTC) [ responder ]

Teorema de Cayley

Creo que valdría la pena mencionar el Teorema de Cayley (dedicarle una sección o simplemente incluir un enlace) en algún punto de esta página. Para mí, esa es la razón por la que estos grupos son tan importantes... --ShmulikG ( discusión ) 15:42 11 mar 2013 (UTC) [ responder ]

Sección de ejemplos

He movido temporalmente una edición reciente aquí. La sección movida es:

Si bien podemos pensar en una única permutación como una reorganización de nuestros objetos, 1, 2, 3 y 4 en el presente caso, es más fácil entender los grupos de permutaciones si pensamos en una permutación P de n objetos como una aplicación del conjunto de objetos sobre sí mismo. Podemos presentarlo como una tabla

${\displaystyle P={\tbinom {a_{1}\ a_{2}\ \dots \ a_{n}}{b_{1}\ b_{2}\ \dots \ b_{n}}}.}$

Si Q es otra permutación

${\displaystyle Q={\tbinom {b_{1}\ b_{2}\ \dots \ b_{n}}{c_{1}\ c_{2}\ \dots \ c_{n}}}\ }$

La composición o producto de las permutaciones se define como

${\displaystyle \ PQ={\tbinom {a_{1}\ a_{2}\ \dots \ a_{n}}{c_{1}\ c_{2}\ \dots \ c_{n}}}.}$

Nótese que la convención para la composición de permutaciones es la opuesta a la convención utilizada al formar la composición f∘g de dos funciones. En PQ aplicamos primero P y después Q, pero cuando formamos f∘g aplicamos primero la segunda función g.

Ejemplo. Sea

${\displaystyle P={\tbinom {1\ 2\ 3\ 4}{2\ 1\ 4\ 3}},\ \ Q={\tbinom {2\ 1\ 4\ 3}{2\ 3\ 4\ 1}}={\tbinom {1\ 2\ 3\ 4}{3\ 2\ 1\ 4}}.}$

Entonces y ${\displaystyle PQ={\tbinom {1\ 2\ 3\ 4}{2\ 3\ 4\ 1}}}$ ${\displaystyle QP={\tbinom {1\ 2\ 3\ 4}{4\ 1\ 2\ 3}}.}$

PQ también se denomina producto de los elementos del grupo P y Q. Como acabamos de ver, este tipo de multiplicación no suele ser conmutativa.

Creo que este intento de reescritura tiene como objetivo explicar de forma más amable lo que reemplaza y estoy a favor de eso, pero no está a la altura de los estándares de los artículos de WP. Pensé que sería mejor señalar los problemas y solucionarlos aquí antes de volver a incluirlos en el artículo.

• Un problema es el tono no enciclopédico del pasaje creado por el uso constante del pronombre "nosotros".
• La primera oración se refiere a un conjunto de cuatro elementos, pero el resto del párrafo habla de un conjunto general de n elementos.
• La frase sobre el orden de composición es engañosa. Ambas convenciones son de uso común y la que se pregona aquí (aunque es mi preferencia personal) ha ido perdiendo terreno en las últimas décadas.
• No se dan citas en la sección y, si bien no son necesarias aquí para verificar la veracidad, son necesarias para ofrecer a los lectores un lugar donde acudir para obtener más información.

Estos problemas deben solucionarse. Un problema menos grave es el uso de la notación de dos líneas para las permutaciones. Si bien no es incorrecto, cualquier referencia sobre grupos de permutaciones va a utilizar la notación cíclica y un lector, a partir de esta página, no estará preparado para eso. Sugiero utilizar ambos estilos de notación inicialmente y luego eliminar gradualmente la notación de dos líneas. También creo que el tamaño de fuente utilizado por el comando \tbinom es un poco pequeño para esta visualización (especialmente para las expresiones generales). Bill Cherowitzo ( discusión ) 05:25, 3 de mayo de 2014 (UTC) [ responder ]

Planchazo

La sección Elemento neutro e inversos contenía la declaración:

"En la notación cíclica se puede invertir el orden de los elementos en cada ciclo para obtener una notación cíclica para su inverso. Por lo tanto,

${\displaystyle [(125)(34)]^{-1}=(521)(43)=(152)(34).}$"

Este es un caso en el que el procedimiento incorrecto conduce al resultado correcto. Es correcto en este caso porque (125) y (34) no tienen ningún elemento común, por lo que conmutan. Esto no es cierto en general para permutaciones con elementos comunes. Por ejemplo:

${\displaystyle [(12)(13)]^{-1}=(13)(12)\neq (12)(13)}$

El error aquí puede haber sido suponer que la notación de ciclos sólo se aplica a las órbitas de una permutación, pero no es así. (125)(34) también se puede escribir como (15)(12)(34), un producto de 2 ciclos. Esto también está en "forma de ciclo", pero sus dos primeros términos no conmutan. -- Stfg ( discusión ) 12:53 23 jul 2015 (UTC) [ responder ]

Comentario de evaluación

Los comentarios que aparecen a continuación se dejaron originalmente en el grupo Talk:Permutation/Comments y se publican aquí para su posterior publicación. Tras varias discusiones en los últimos años , estas subpáginas ahora están obsoletas. Los comentarios pueden ser irrelevantes o estar desactualizados; si es así, no dude en eliminar esta sección.

Última edición a las 14:00, 29 de enero de 2010 (UTC). Sustituido a las 02:28, 5 de mayo de 2016 (UTC)

Teorema de Cayley completo

El teorema de Cayley dice que hay una correspondencia 1 a 1 entre grupos y subgrupos de Sn=grupos de permutación. Como sabemos, los grupos de permutación pueden considerarse subgrupos de Sn. Eso significa que, según el teorema de Cayley, están en correspondencia 1 a 1 con los grupos axiomáticos. Esto es extremadamente importante de notar, porque conecta esta noción no tan utilizada hoy en día directamente con un concepto fundamental que se enseña hoy en día en los grados y cursos de matemáticas. — Comentario anterior sin firmar agregado por Santropedro ( discusión • contribs ) 20:23, 17 de enero de 2017 (UTC) [ responder ]

Propuesta de fusión

Propongo fusionar el grupo de permutación de rango 3 , el grupo oligomórfico y el grupo de permutación primitivo en este artículo. Cada uno de los 3 artículos es bastante breve, y el grupo de permutación de rango 3 consta principalmente de ejemplos, mientras que tanto el grupo oligomórfico como el grupo de permutación primitivo son artículos de clase de referencia. Cada uno de estos tres artículos son casos específicos de grupos de permutación y tendrían más sentido en el contexto de los grupos de permutación en general. -- TripleShortOfACycle ( discusión ) 05:28, 17 de mayo de 2020 (UTC) [ responder ]

El grupo oligomórfico es un artículo pequeño y la fusión parece una obviedad. El material en Grupo de permutación primitiva también parece que podría cubrirse cómodamente aquí. La tabla en Grupo de permutación de rango 3 es realmente enorme, y no creo que en la actualidad ese artículo encaje tan bien con este: no hay discusión sobre la transitividad o el rango en este artículo. (Me inclinaría a decir que eso es un descuido o falla significativa del presente artículo que debería eventualmente corregirse; pero mientras no se corrija, el contenido de Grupo de permutación de rango 3 encaja mal). Debido a la enorme tabla, sugeriría como mucho una breve glosa con un enlace a {{artículo principal}}. -- JBL ( discusión ) 12:52, 29 de mayo de 2020 (UTC) [ responder ]

He fusionado el grupo oligomórfico aquí. -- JBL ( discusión ) 14:38 10 jun 2020 (UTC) [ responder ]

Cambié de opinión sobre si el grupo de permutación primitiva se puede incluir aquí: es un artículo breve, pero muy técnico. En cambio, he incluido una definición breve y un ejemplo aquí, con un enlace al artículo principal. Intentaré hacer lo mismo con el rango en algún momento. -- JBL ( discusión ) 14:36 ​​5 jul 2020 (UTC) [ responder ]

@ Joel B. Lewis : Creo que probablemente sea lo correcto. He estado pensando en la fusión durante los últimos días y no me gustó la cantidad de trabajo que se necesita para reducir los tecnicismos para que quepan en este artículo. También estoy de acuerdo en que el artículo de rango 3 debe permanecer separado, esa tabla nunca encajaría en este artículo. -- Bill Cherowitzo ( discusión ) 19:41, 5 de julio de 2020 (UTC) [ responder ]

Fusión con el grupo Symmetric

https://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Permutation_group/Symmetric_group

Creo que hablan del mismo tema? 100.36.227.237 ( discusión ) 02:36 7 oct 2021 (UTC) [ responder ]

No : Lee el primer párrafo de este artículo. El grupo simétrico es un grupo de permutación específico. Tiene muchas propiedades importantes que no comparten otros grupos de permutación y justifican un artículo específico. D.Lazard ( discusión ) 10:00, 7 octubre 2021 (UTC) [ responder ]

No, por supuesto que no. -- JBL ( discusión ) 10:09 7 oct 2021 (UTC) [ responder ]

Notación para composición

El artículo dice (y algunos otros artículos son similares):

Hay dos formas de denotar la composición de dos permutaciones. En la notación más común, es la función que asigna cualquier elemento x a . La permutación más a la derecha se aplica primero al argumento [cita a Biggs] ${\displaystyle \sigma \cdot \tau }$ ${\displaystyle \sigma (\tau (x))}$

Una regla diferente para multiplicar permutaciones proviene de escribir el argumento a la izquierda de la función, de modo que la permutación más a la izquierda actúe primero. [cita a Dixon y Mortimer, Cameron y Jerrum] ... En esta notación, la permutación a menudo se escribe como un exponente, por lo que σ actuando sobre x se escribe x ^σ ; luego el producto se define por . Este artículo utiliza la primera definición, donde la permutación más a la derecha se aplica primero. ${\displaystyle x^{\sigma \cdot \tau }=(x^{\sigma })^{\tau }}$

Trabajo con grupos de permutación con bastante frecuencia y estoy bastante seguro de que nunca he visto la notación . En particular, la fuente Biggs no utiliza un punto, sino que simplemente escribe . Ninguna de las tres citas para la segunda regla utiliza un punto tampoco. Por lo tanto, el punto tiene que desaparecer. ${\displaystyle \sigma \cdot \tau }$ ${\displaystyle \sigma \tau }$

También me opongo a la "notación más común", ya que es OR y no se puede demostrar. Tal vez en algunos campos de las matemáticas o la ciencia sea la más común, pero dentro del dominio de la teoría de grupos es probablemente la menos común. Hice un rápido repaso de libros: Aquí está la imagen de debajo de " " : ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \sigma \tau }$

Kerber en línea de derecha a izquierda , Representaciones de grupos de permutación (1971); Biggs&White, Grupos de permutación y estructuras combinatorias (1979). ${\displaystyle \sigma \tau x=(\sigma \tau )(x)=\sigma (\tau (x))}$

de izquierda a derecha en línea Passman, Grupos de permutación (1968); Cameron, Grupos de permutación (1999). ${\displaystyle x\sigma \tau =(x)(\sigma \tau )=((x)\sigma )\tau }$

exponencial de izquierda a derecha Wielandt, Grupos de permutación (1964); Dixon y Mortimer, Grupos de permutación (1996); Bhattacharjee et al, Notas sobre grupos de permutación infinita (1998); Holt et al, Manual de teoría computacional de grupos (2005); Huppert, Endliche Gruppen I (1967); Praeger y Schneider, Grupos de permutación y descomposiciones cartesianas (2018); Seress, Algoritmos de grupos de permutación (2003); Enciclopedia de matemáticas (2002+). ${\displaystyle x^{\sigma \tau }=(x^{\sigma })^{\tau }}$

Un especialista en grupos de permutaciones con el que hablé de esto cree que la preferencia por la notación exponencial en ese campo se deriva de la enorme influencia del pequeño libro de Wielandt (y también que funciona muy bien). Como dije, las preferencias pueden ser diferentes fuera de ese campo. Planeo reformular esa sección del artículo para comenzar con la notación exponencial y mencionar las otras dos como alternativas. Esperaré un poco para recibir comentarios primero. McKay ( discusión ) 06:08, 12 de abril de 2024 (UTC) [ responder ]