Teorema de Cayley

Representación de grupos por permutaciones

En teoría de grupos , el teorema de Cayley , llamado así en honor a Arthur Cayley , establece que cada grupo G es isomorfo a un subgrupo de un grupo simétrico . ^[1] Más específicamente, G es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico cuyos elementos son las permutaciones del conjunto subyacente de G. Explícitamente, ${\displaystyle \operatorname {Sym} (G)}$

• para cada , el mapa de multiplicación por la izquierda por g que envía cada elemento x a gx es una permutación de G , y ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle \ell _{g}\colon G\to G}$
• el mapa que envía cada elemento g a es un homomorfismo inyectivo , por lo que define un isomorfismo de G en un subgrupo de . ${\displaystyle G\to \operatorname {Sym} (G)}$ ${\displaystyle \ell _{g}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} (G)}$

El homomorfismo también puede entenderse como el resultado de la acción de traslación a la izquierda de G sobre el conjunto subyacente G. ^[2 ] ${\displaystyle G\to \operatorname {Sym} (G)}$

Cuando G es finito, también es finito. La prueba del teorema de Cayley en este caso muestra que si G es un grupo finito de orden n , entonces G es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico estándar . Pero G también podría ser isomorfo a un subgrupo de un grupo simétrico más pequeño, para algunos ; por ejemplo, el grupo de orden 6 no solo es isomorfo a un subgrupo de , sino también (trivialmente) isomorfo a un subgrupo de . ^[3] El problema de encontrar el grupo simétrico de orden mínimo en el que se inserta un grupo G dado es bastante difícil. ^{[4] [5]} ${\displaystyle \operatorname {Sym} (G)}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle S_{m}}$ ${\displaystyle m<n}$ ${\displaystyle G=S_{3}}$ ${\displaystyle S_{6}}$ ${\displaystyle S_{3}}$

Alperin y Bell señalan que "en general, el hecho de que los grupos finitos estén incrustados en grupos simétricos no ha influido en los métodos utilizados para estudiar los grupos finitos". ^[6]

Cuando G es infinito, es infinito, pero el teorema de Cayley todavía se aplica. ${\displaystyle \operatorname {Sym} (G)}$

Historia

Aunque parezca bastante elemental, en aquel momento no existían las definiciones modernas, y cuando Cayley introdujo lo que ahora se denominan grupos , no quedó inmediatamente claro que esto fuera equivalente a los grupos conocidos anteriormente, que ahora se denominan grupos de permutación . El teorema de Cayley unifica los dos.

Aunque Burnside ^[7] atribuye el teorema a Jordan , ^[8] Eric Nummela ^[9] sostiene que el nombre estándar - "Teorema de Cayley" - es de hecho apropiado. Cayley, en su artículo original de 1854, ^[10] demostró que la correspondencia en el teorema es biunívoca, pero no logró demostrar explícitamente que era un homomorfismo (y por lo tanto una incrustación). Sin embargo, Nummela señala que Cayley dio a conocer este resultado a la comunidad matemática de la época, por lo que se adelantó a Jordan en unos 16 años aproximadamente.

El teorema fue publicado posteriormente por Walther Dyck en 1882 ^[11] y se atribuye a Dyck en la primera edición del libro de Burnside. ^[12]

Fondo

Una permutación de un conjunto A es una función biyectiva de A a A . El conjunto de todas las permutaciones de A forma un grupo bajo composición de funciones , llamado grupo simétrico en A , y escrito como . ^[13] En particular, tomar A como el conjunto subyacente de un grupo G produce un grupo simétrico denotado . ${\displaystyle \operatorname {Sym} (A)}$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} (G)}$

Prueba del teorema

Si g es un elemento cualquiera de un grupo G con operación ∗, considérese la función f _g  : G → G , definida por f _g ( x ) = g ∗ x . Por la existencia de inversas, esta función también tiene una inversa, . Por lo tanto, la multiplicación por g actúa como una función biyectiva . Por lo tanto, f _g es una permutación de G , y por lo tanto es un miembro de Sym( G ). ${\displaystyle f_{g^{-1}}}$

El conjunto K = { f _g  : g ∈ G } es un subgrupo de Sym( G ) que es isomorfo a G . La forma más rápida de establecer esto es considerar la función T  : G → Sym( G ) con T ( g ) = f _g para cada g en G . T es un homomorfismo de grupo porque (usando · para denotar composición en Sym( G )):

${\displaystyle (f_{g}\cdot f_{h})(x)=f_{g}(f_{h}(x))=f_{g}(h*x)=g*(h*x)=(g*h)*x=f_{g*h}(x),}$

para todo x en G , y por lo tanto:

${\displaystyle T(g)\cdot T(h)=f_{g}\cdot f_{h}=f_{g*h}=T(g*h).}$

El homomorfismo T es inyectivo ya que T ( g ) = id _G (el elemento identidad de Sym( G )) implica que g ∗ x = x para todo x en G , y tomando x como el elemento identidad e de G se obtiene g = g ∗ e = e , es decir, el núcleo es trivial. Alternativamente, T también es inyectivo ya que g ∗ x = g ′ ∗ x implica que g = g ′ (porque cada grupo es cancelativo ).

Por lo tanto, G es isomorfo a la imagen de T , que es el subgrupo K.

A veces se denomina a T la representación regular de G.

Configuración alternativa de la prueba

Una configuración alternativa utiliza el lenguaje de las acciones grupales . Consideramos que el grupo actúa sobre sí mismo mediante la multiplicación por la izquierda, es decir , que tiene una representación de permutación, digamos . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle g\cdot x=gx}$ ${\displaystyle \phi :G\to \mathrm {Sym} (G)}$

La representación es fiel si es inyectiva, es decir, si el núcleo de es trivial. Supóngase . Entonces, . Por lo tanto, es trivial. El resultado se deduce mediante el uso del primer teorema de isomorfismo , del que obtenemos . ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle g\in \ker \phi }$ ${\displaystyle g=ge=g\cdot e=e}$ ${\displaystyle \ker \phi }$ ${\displaystyle \mathrm {Im} \,\phi \cong G}$

Observaciones sobre la representación regular del grupo

El elemento identidad del grupo corresponde a la permutación identidad. Todos los demás elementos del grupo corresponden a desarreglos : permutaciones que no dejan ningún elemento inalterado. Como esto también se aplica a potencias de un elemento del grupo, inferiores al orden de ese elemento, cada elemento corresponde a una permutación que consta de ciclos todos de la misma longitud: esta longitud es el orden de ese elemento. Los elementos de cada ciclo forman una clase lateral derecha del subgrupo generado por el elemento.

Ejemplos de la representación regular del grupo

${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\{0,1\}}$con adición módulo 2; el elemento de grupo 0 corresponde a la permutación identidad e, el elemento de grupo 1 a la permutación (12) (véase notación cíclica ). Por ejemplo, 0 + 1 = 1 y 1 + 1 = 0, por lo que y como lo harían bajo una permutación. ${\textstyle 1\mapsto 0}$ ${\textstyle 0\mapsto 1,}$

${\displaystyle \mathbb {Z} _{3}=\{0,1,2\}}$con adición módulo 3; el elemento de grupo 0 corresponde a la permutación identidad e, el elemento de grupo 1 a la permutación (123), y el elemento de grupo 2 a la permutación (132). Por ejemplo, 1 + 1 = 2 corresponde a (123)(123) = (132).

${\displaystyle \mathbb {Z} _{4}=\{0,1,2,3\}}$con adición módulo 4; los elementos corresponden a e, (1234), (13)(24), (1432).

Los elementos del grupo de cuatro de Klein {e, a, b, c} corresponden a e, (12)(34), (13)(24) y (14)(23).

S ₃ ( grupo diedro de orden 6 ) es el grupo de todas las permutaciones de 3 objetos, pero también un grupo de permutación de los 6 elementos del grupo, y esto último es como se realiza mediante su representación regular.

Declaración más general

Teorema: Sea G un grupo y sea H un subgrupo. Sea el conjunto de clases laterales izquierdas de H en G. Sea N el núcleo normal de H en G , definido como la intersección de los conjugados de H en G. Entonces, el grupo cociente es isomorfo a un subgrupo de . ${\displaystyle G/H}$ ${\displaystyle G/N}$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} (G/H)}$

El caso especial es el teorema original de Cayley. ${\displaystyle H=1}$

Véase también

• El teorema de Wagner-Preston es el análogo de los semigrupos inversos.
• Teorema de representación de Birkhoff , un resultado similar en la teoría del orden
• Teorema de Frucht , todo grupo finito es el grupo de automorfismos de un grafo
• Lema de Yoneda , una generalización del teorema de Cayley en la teoría de categorías
• Teorema de representación

Notas

1. Jacobson (2009, pág. 38)
2. Jacobson (2009, pág. 72, ej. 1)
3. Peter J. Cameron (2008). Introducción al álgebra, segunda edición . Oxford University Press. pág. 134. ISBN 978-0-19-852793-0.
4. Johnson, DL (1971). "Representaciones de grupos finitos mediante permutación mínima". American Journal of Mathematics . 93 (4): 857–866. doi :10.2307/2373739. JSTOR  2373739.
5. Grechkoseeva, MA (2003). "Sobre representaciones de permutación mínima de grupos clásicos simples". Siberian Mathematical Journal . 44 (3): 443–462. doi :10.1023/A:1023860730624. S2CID  126892470.
6. JL Alperin; Rowen B. Bell (1995). Grupos y representaciones . Springer. pág. 29. ISBN. 978-0-387-94525-5.
7. Burnside, William (1911), Teoría de grupos de orden finito (2.ª ed.), Cambridge, pág. 22, ISBN 0-486-49575-2{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
8. Jordan, Camille (1870), Traité des substitutions et des ecuaciones algebriques , París: Gauther-Villars
9. Nummela, Eric (1980), "Teorema de Cayley para grupos topológicos", American Mathematical Monthly , 87 (3), Asociación Matemática de América: 202–203, doi :10.2307/2321608, JSTOR  2321608
10. Cayley, Arthur (1854), "Sobre la teoría de grupos en función de la ecuación simbólica θn=1", Philosophical Magazine , 7 (42): 40–47
11. von Dyck, Walther (1882), "Gruppentheoretische Studien" [Estudios teóricos de grupos], Mathematische Annalen , 20 (1): 30, doi :10.1007/BF01443322, hdl : 2027/njp.32101075301422 , ISSN  0025-5831, S2CID  179178038. (en alemán)
12. Burnside, William (1897), Teoría de grupos de orden finito (1.ª ed.), Cambridge, pág. 22{{citation}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
13. Jacobson (2009, pág. 31)

Referencias

• Jacobson, Nathan (2009), Álgebra básica (2.ª ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1.