Oscilación de caza

Oscilación de caza en los ejes de las ruedas del ferrocarril

La oscilación de caza es una autooscilación , generalmente no deseada, en torno a un equilibrio . ^[1] La expresión comenzó a usarse en el siglo XIX y describe cómo un sistema "busca" el equilibrio. ^[1] La expresión se utiliza para describir fenómenos en campos tan diversos como la electrónica, la aviación, la biología y la ingeniería ferroviaria. ^[1]

Juegos de ruedas de ferrocarril

Una oscilación de caza clásica es un movimiento de balanceo de un vehículo ferroviario (a menudo llamado caza de camiones o caza de bogies ) causado por la acción de conificación de la que depende la estabilidad direccional de un ferrocarril de adherencia . Surge de la interacción de las fuerzas de adherencia y las fuerzas de inercia . A baja velocidad, la adherencia domina pero, a medida que la velocidad aumenta, las fuerzas de adherencia y las fuerzas de inercia se vuelven comparables en magnitud y la oscilación comienza a una velocidad crítica. Por encima de esta velocidad, el movimiento puede ser violento, dañando la vía y las ruedas y potencialmente causando descarrilamiento . El problema no ocurre en sistemas con un diferencial porque la acción depende de que ambas ruedas de un juego de ruedas giren a la misma velocidad angular, aunque los diferenciales tienden a ser raros y los trenes convencionales tienen sus ruedas fijadas a los ejes en pares. Algunos trenes, como el Talgo 350 , no tienen diferencial, pero en su mayoría no se ven afectados por la oscilación de caza, ya que la mayoría de sus ruedas giran independientemente unas de otras. Las ruedas del vagón motor, sin embargo, pueden verse afectadas por oscilaciones de vaivén, ya que las ruedas del vagón motor están fijadas a los ejes por pares, como en los bogies convencionales. Las ruedas menos cónicas y los bogies equipados con ruedas independientes que giran independientemente unas de otras y no están fijados a un eje por pares son más económicos que un diferencial adecuado para los bogies de un tren. ^[2]

El problema se advirtió por primera vez hacia finales del siglo XIX, cuando las velocidades de los trenes se volvieron lo suficientemente altas como para encontrarlo. Se hicieron serios esfuerzos para contrarrestarlo en la década de 1930, dando lugar a bogies alargados y al bogie de suspensión oscilante con amortiguación lateral . En el desarrollo del Shinkansen japonés , se utilizaron ruedas menos cónicas y otros cambios de diseño para extender las velocidades de diseño de los bogies por encima de los 225 km/h (140 mph). Los avances en el diseño de ruedas y bogies basados en esfuerzos de investigación y desarrollo en Europa y Japón han extendido las velocidades de los sistemas de ruedas de acero mucho más allá de las alcanzadas por el Shinkansen original , mientras que la ventaja de la compatibilidad con versiones anteriores mantiene a esta tecnología dominante sobre alternativas como los sistemas de tren flotante y levitación magnética . El récord de velocidad para trenes con ruedas de acero lo tiene el TGV francés , a 574,9 km/h (357 mph).

Análisis cinemático

Diagrama, desde el frente, de un juego de ruedas desplazado lateralmente sobre rieles (modelado como círculos). Etiquetas: en una línea de circunferencia de la rueda, "Posición del punto de contacto para marcha en línea recta"; en el radio de esa circunferencia, "Radio nominal"; en la distancia entre esa circunferencia y la parte superior del riel, "Desplazamiento lateral"; en general: "El centro de curvatura es la intersección de la línea de contacto y la línea central del juego de ruedas". — Cinemática de la acción de conificación de las ruedas del ferrocarril

Si bien una descripción cualitativa permite comprender en cierta medida el fenómeno, una comprensión más profunda requiere inevitablemente un análisis matemático de la dinámica del vehículo . Incluso en ese caso, los resultados pueden ser solo aproximados.

Una descripción cinemática se ocupa de la geometría del movimiento, sin hacer referencia a las fuerzas que lo provocan, por lo que el análisis comienza con una descripción de la geometría de un juego de ruedas que se desplaza sobre una pista recta. Dado que la segunda ley de Newton relaciona las fuerzas con la aceleración de los cuerpos, las fuerzas que actúan pueden derivarse de la cinemática calculando las aceleraciones de los componentes. Sin embargo, si estas fuerzas modifican la descripción cinemática (como ocurre en este caso), los resultados pueden ser solo aproximadamente correctos.

Supuestos y descripción no matemática

Esta descripción cinemática hace una serie de suposiciones simplificadoras ya que descuida las fuerzas. Por un lado, supone que la resistencia a la rodadura es cero. Un juego de ruedas (no unido a un tren o camión ) recibe un empujón hacia adelante en una vía recta y nivelada. El juego de ruedas comienza a deslizarse y nunca disminuye la velocidad ya que no hay fuerzas (excepto fuerzas hacia abajo sobre el juego de ruedas para hacer que se adhiera a la vía y no resbale). Si inicialmente el juego de ruedas está centrado en la vía del tren, entonces los diámetros efectivos de cada rueda son los mismos y el juego de ruedas rueda por la vía en una línea perfectamente recta para siempre. Pero si el juego de ruedas está un poco descentrado de modo que los diámetros efectivos (o radios) son diferentes, entonces el juego de ruedas comienza a moverse en una curva de radio R (dependiendo de estos radios del juego de ruedas, etc.; que se derivarán más adelante). El problema es utilizar el razonamiento cinemático para encontrar la trayectoria del juego de ruedas, o más precisamente, la trayectoria del centro del juego de ruedas proyectado verticalmente sobre la plataforma de la carretera en el centro de la vía. Esta es una trayectoria en el plano de la superficie de la tierra y está representada en un gráfico x - y , donde x es la distancia a lo largo del ferrocarril e y es el "error de seguimiento", la desviación del centro del juego de ruedas respecto de la línea recta del ferrocarril que corre por el centro de la vía (a mitad de camino entre los dos rieles).

Para ilustrar que la trayectoria de un juego de ruedas sigue una trayectoria curva, se puede colocar un clavo o un tornillo sobre una mesa plana y empujarlo. Rodará en una curva circular porque el clavo o el tornillo es como un juego de ruedas con ruedas de diámetros extremadamente diferentes. La cabeza es análoga a una rueda de diámetro grande y el extremo puntiagudo es como una rueda de diámetro pequeño. Mientras que el clavo o el tornillo girará en un círculo completo (y más), el juego de ruedas del ferrocarril se comporta de manera diferente porque tan pronto como comienza a girar en una curva, los diámetros efectivos cambian de tal manera que disminuye la curvatura de la trayectoria. Tenga en cuenta que "radio" y "curvatura" se refieren a la curvatura de la trayectoria del juego de ruedas y no a la curvatura del ferrocarril, ya que se trata de una vía perfectamente recta. A medida que el juego de ruedas avanza, la curvatura disminuye hasta que las ruedas alcanzan el punto donde sus diámetros efectivos son iguales y la trayectoria ya no se curva. Pero la trayectoria tiene una pendiente en este punto (es una línea recta que cruza diagonalmente la línea central de la vía) de modo que sobrepasa la línea central de la vía y los diámetros efectivos se invierten (la rueda que antes tenía un diámetro más pequeño se convierte en la de mayor diámetro y viceversa). Esto da como resultado que el juego de ruedas se mueva en una curva en la dirección opuesta. Nuevamente sobrepasa la línea central y este fenómeno continúa indefinidamente con el juego de ruedas oscilando de un lado a otro. Tenga en cuenta que la pestaña de la rueda nunca hace contacto con el riel. En este modelo, se supone que los rieles siempre entran en contacto con la banda de rodadura de la rueda a lo largo de la misma línea en la cabeza del riel, lo que supone que los rieles son de borde afilado y solo entran en contacto con la banda de rodadura de la rueda a lo largo de una línea (de ancho cero).

Análisis matemático

El tren se mantiene sobre la vía gracias a la forma cónica de las bandas de rodadura de las ruedas . Si un juego de ruedas se desplaza hacia un lado en una cantidad y (el error de seguimiento), el radio de la banda de rodadura en contacto con el raíl en un lado se reduce, mientras que en el otro lado aumenta. La velocidad angular es la misma para ambas ruedas (están acopladas mediante un eje rígido ), por lo que la banda de rodadura de mayor diámetro acelera, mientras que la de menor diámetro desacelera. El juego de ruedas gira alrededor de un centro de curvatura definido por la intersección de la generatriz de un cono que pasa por los puntos de contacto con las ruedas sobre los raíles y el eje del juego de ruedas. Aplicando triángulos similares , tenemos para el radio de giro:

{\frac {1}{R}}={\frac {2ky}{rd}}

donde d es el ancho de la vía , r el radio de la rueda cuando circula en línea recta y k es la conicidad de la banda de rodadura (que es la pendiente de la banda de rodadura en la dirección horizontal perpendicular a la vía).

La trayectoria del conjunto de ruedas con respecto a la vía recta se define mediante una función y ( x ), donde x es el avance a lo largo de la vía. Esto a veces se denomina error de seguimiento. ^[3] Siempre que la dirección del movimiento se mantenga más o menos paralela a los rieles, la curvatura de la trayectoria puede relacionarse con la segunda derivada de y con respecto a la distancia a lo largo de la vía como aproximadamente ^[4]

\left|{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}\right|\approx {\frac {1}{R}}

De ello se deduce que la trayectoria a lo largo de la pista está gobernada por la ecuación: ^[5]

{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=-\left({\frac {2k}{rd}}\right)y

Este es un movimiento armónico simple que tiene longitud de onda:

\lambda =2\pi {\sqrt {\frac {rd}{2k}}}

conocida como fórmula de Klingel (derivada en 1883) ^[6]

Este análisis cinemático implica que los trenes se balancean de un lado a otro todo el tiempo. De hecho, esta oscilación se amortigua por debajo de una velocidad crítica y el viaje es correspondientemente más cómodo. El resultado cinemático ignora las fuerzas que causan el movimiento. Estas pueden analizarse utilizando el concepto de deslizamiento (no lineal), pero son algo difíciles de cuantificar de manera simple, ya que surgen de la distorsión elástica de la rueda y el riel en las regiones de contacto. Estos son el tema de la mecánica de contacto por fricción ; una presentación temprana que incluye estos efectos en el análisis del movimiento oscilatorio fue presentada por Carter. ^[7] Consulte Knothe ^[8] para una descripción histórica.

Si el movimiento es sustancialmente paralelo a los rieles, el desplazamiento angular del juego de ruedas viene dado por: $\left(\theta \right)$

\theta ={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}

Por eso:

{\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} x}}&={\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=-\left({\frac {2k}{rd}}\right)y\\{\frac {\operatorname {d} ^{2}\theta }{\operatorname {d} x^{2}}}&=-\left({\frac {2k}{rd}}\right){\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=-\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta \end{aligned}}

La desviación angular también sigue un movimiento armónico simple, que va un cuarto de ciclo por detrás del movimiento de lado a lado. En muchos sistemas que se caracterizan por un movimiento armónico que implica dos estados diferentes (en este caso, la desviación de guiñada del eje y el desplazamiento lateral), el cuarto de ciclo de retraso entre los dos movimientos otorga al sistema la capacidad de extraer energía del movimiento hacia delante. Este efecto se observa en el " aleteo " de las alas de los aviones y en el " bamboleo " de los vehículos de carretera, así como en el movimiento oscilante de los vehículos ferroviarios. La solución cinemática derivada anteriormente describe el movimiento a la velocidad crítica.

En la práctica, por debajo de la velocidad crítica, el desfase entre los dos movimientos es inferior a un cuarto de ciclo, de modo que el movimiento se amortigua, pero, por encima de la velocidad crítica, el desfase es superior a un cuarto de ciclo, de modo que el movimiento se amplifica.

Para estimar las fuerzas de inercia , es necesario expresar las derivadas de la distancia como derivadas del tiempo . Esto se hace utilizando la velocidad del vehículo U , que se supone constante:

{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}=U{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} x}}

La aceleración angular del eje en guiñada es:

{\frac {\operatorname {d} ^{2}\theta }{\operatorname {d} t^{2}}}=-U^{2}\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta

El momento inercial (ignorando los efectos giroscópicos) es:

Fd=C{\frac {\operatorname {d} ^{2}\theta }{\operatorname {d} t^{2}}}

donde F es la fuerza que actúa a lo largo de los rieles y C es el momento de inercia del juego de ruedas.

F=-CU^{2}\left({\frac {2k}{rd^{2}}}\right)\theta

La fuerza de fricción máxima entre la rueda y el carril viene dada por:

F=\mu {\frac {W}{2}}

donde W es la carga del eje y es el coeficiente de fricción . El deslizamiento total se producirá con una combinación de velocidad y deflexión del eje dada por: $\mu$

\theta U^{2}=\mu W{\frac {rd^{2}}{4Ck}}

Esta expresión sobreestima considerablemente la velocidad crítica, pero ilustra la razón física por la que se produce la oscilación, es decir, las fuerzas de inercia se vuelven comparables con las fuerzas de adhesión por encima de una cierta velocidad. La fricción límite es una representación deficiente de la fuerza de adhesión en este caso.

Las fuerzas de adherencia reales surgen de la distorsión de la banda de rodadura y del raíl en la región de contacto. No hay deslizamiento general, solo distorsión elástica y cierto deslizamiento local (deslizamiento por deslizamiento). Durante el funcionamiento normal, estas fuerzas se encuentran dentro de la restricción de fricción límite. Un análisis completo tiene en cuenta estas fuerzas, utilizando teorías de mecánica de contacto rodante .

Sin embargo, el análisis cinemático suponía que no había deslizamiento alguno en el contacto rueda-carril. Ahora está claro que hay cierto deslizamiento por deslizamiento que hace que la trayectoria sinusoidal calculada del juego de ruedas (según la fórmula de Klingel) no sea exactamente correcta.

Balance energético

Para obtener una estimación de la velocidad crítica, utilizamos el hecho de que la condición para la cual esta solución cinemática es válida corresponde al caso en el que no hay intercambio neto de energía con el entorno, por lo que al considerar la energía cinética y potencial del sistema, deberíamos poder derivar la velocidad crítica.

Dejar:

\omega ={\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}}

Usando el operador:

\omega {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \theta }}={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}

La ecuación de aceleración angular puede expresarse en términos de la velocidad angular en guiñada : $\omega$

\omega {\frac {\operatorname {d} \omega }{\operatorname {d} \theta }}=-U^{2}\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta

integrando:

{\frac {1}{2}}\omega ^{2}=-{\frac {1}{2}}U^{2}\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta ^{2}

Entonces la energía cinética debida a la rotación es:

{\frac {1}{2}}C\omega ^{2}=-{\frac {1}{2}}CU^{2}\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta ^{2}

Diagrama, desde arriba, de un juego de ruedas en ángulo con respecto a los rieles. El ángulo del juego de ruedas con respecto a los rieles se indica con la letra theta; el ancho de vía se indica con la letra d; el espaciamiento de los puntos de contacto se indica con la letra d sobre cos theta. — Desplazamiento hacia afuera de los puntos de contacto con el eje de giro

Cuando el eje se desvía, los puntos de apoyo se desplazan hacia fuera en las bandas de rodadura, de modo que la altura del eje disminuye. La distancia entre los puntos de apoyo aumenta hasta:

{\frac {d}{cos(\theta )}}=d\left(1+{\frac {1}{2}}\theta ^{2}\right)

(de segundo orden de pequeñas cantidades). El desplazamiento del punto de apoyo respecto de los centros de los escalones es:

{\frac {1}{2}}\left(d+{\frac {1}{2}}d\theta ^{2}-d\right)

La carga del eje cae en

h={\frac {1}{4}}kd\theta ^{2}

Por tanto, el trabajo realizado al reducir la carga del eje es:

E={\frac {1}{4}}Wkd\theta ^{2}

Esta es una pérdida de energía del sistema, por lo que para que el movimiento continúe, se debe extraer una cantidad igual de energía del movimiento hacia adelante del juego de ruedas.

La velocidad de la rueda exterior viene dada por:

V={\frac {U}{r}}\left(r+ky\right)

La energía cinética es:

{\frac {1}{4}}m\left(U^{2}+2U^{2}{\frac {ky}{r}}+U^{2}{\frac {k^{2}y^{2}}{r^{2}}}\right)

Para la rueda interior es

{\frac {1}{4}}m\left(U^{2}-2U^{2}{\frac {ky}{r}}+U^{2}{\frac {k^{2}y^{2}}{r^{2}}}\right)

donde m es la masa de ambas ruedas.

El aumento de la energía cinética es:

\delta E={\frac {1}{2}}m\left({\frac {Uky}{r}}\right)^{2}

El movimiento continuará en amplitud constante mientras la energía extraída del movimiento hacia adelante, y que se manifiesta como una mayor energía cinética del conjunto de ruedas en guiñada cero, sea igual a la energía potencial perdida por la reducción de la carga del eje en guiñada máxima.

Ahora, desde la cinemática:

{\begin{aligned}2U{\frac {ky}{rd}}&=\omega \\\delta E&={\frac {1}{8}}md^{2}\omega ^{2}\end{aligned}}

pero

\omega ^{2}=-U^{2}\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta ^{2}

La energía cinética traslacional es

\delta E=-{\frac {1}{8}}U^{2}md^{2}\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta ^{2}

La energía cinética total es:

T={\frac {1}{2}}U^{2}\left(C+{\frac {md^{2}}{4}}\right)\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta ^{2}

La velocidad crítica se obtiene a partir del balance de energía:

{\frac {Wkd}{2}}=U^{2}{\frac {2k}{rd}}\left(C+{\frac {md^{2}}{4}}\right)

Por lo tanto, la velocidad crítica viene dada por

U^{2}={\frac {Wrd^{2}}{4C+md^{2}}}

Esto es independiente de la conicidad de la rueda, pero depende de la relación entre la carga del eje y la masa del juego de ruedas. Si las bandas de rodadura tuvieran una forma verdaderamente cónica, la velocidad crítica sería independiente de la conicidad. En la práctica, el desgaste de la rueda hace que la conicidad varíe a lo largo del ancho de la banda de rodadura, de modo que el valor de la conicidad utilizado para determinar la energía potencial es diferente del utilizado para calcular la energía cinética. Denotando la primera como a , la velocidad crítica se convierte en:

U^{2}={\frac {Ward^{2}}{k(4C+md^{2})}}

donde a es ahora un factor de forma determinado por el desgaste de la rueda . Este resultado se deriva en Wickens (1965) ^[9] a partir de un análisis de la dinámica del sistema utilizando métodos de ingeniería de control estándar .

Limitación del análisis simplificado

El movimiento de un conjunto de ruedas es mucho más complicado de lo que indicaría este análisis. Existen fuerzas de restricción adicionales aplicadas por la suspensión del vehículo ^[10] y, a alta velocidad, el conjunto de ruedas generará pares giroscópicos adicionales , que modificarán la estimación de la velocidad crítica. Convencionalmente, un vehículo ferroviario tiene un movimiento estable a bajas velocidades, cuando alcanza velocidades altas, la estabilidad cambia a una forma inestable. El objetivo principal del análisis no lineal de la dinámica del sistema de vehículos ferroviarios es mostrar el punto de vista de la investigación analítica de la bifurcación, la estabilidad lateral no lineal y el comportamiento de oscilación de los vehículos ferroviarios en una vía tangente. Este estudio describe el método de Bogoliubov para el análisis. ^[11]

En los estudios se centran principalmente en dos cuestiones: la asunción de la carrocería como soporte fijo y la influencia de los elementos no lineales en el cálculo de la velocidad de oscilación. ^[12] Un vehículo ferroviario real tiene muchos más grados de libertad y, en consecuencia, puede tener más de una velocidad crítica; no es de ninguna manera seguro que la más baja esté determinada por el movimiento del juego de ruedas. Sin embargo, el análisis es instructivo porque muestra por qué se produce la oscilación. A medida que aumenta la velocidad, las fuerzas de inercia se vuelven comparables con las fuerzas de adherencia. Es por eso que la velocidad crítica depende de la relación entre la carga del eje (que determina la fuerza de adherencia) y la masa del juego de ruedas (que determina las fuerzas de inercia).

Alternativamente, por debajo de una cierta velocidad, la energía que se extrae del movimiento hacia adelante es insuficiente para reemplazar la energía perdida al bajar los ejes y el movimiento se amortigua; por encima de esta velocidad, la energía extraída es mayor que la pérdida de energía potencial y la amplitud aumenta.

La energía potencial en el giro máximo del eje se puede aumentar mediante la inclusión de una restricción elástica en el movimiento de giro del eje, de modo que exista una contribución que surja de la tensión del resorte. La disposición de las ruedas en los bogies para aumentar la restricción en el movimiento de giro de los juegos de ruedas y la aplicación de restricciones elásticas al bogie también aumentan la velocidad crítica. La introducción de fuerzas elásticas en la ecuación permite diseños de suspensión que están limitados solo por el inicio del deslizamiento bruto, en lugar de la oscilación clásica. La penalidad que se debe pagar por la eliminación virtual de la oscilación es una vía recta, con un problema de derecho de paso concomitante e incompatibilidad con la infraestructura heredada.

La caza es un problema dinámico que se puede resolver, al menos en principio, mediante un control de retroalimentación activo, que puede adaptarse a la calidad de la pista. Sin embargo, la introducción del control activo plantea problemas de fiabilidad y seguridad.

Poco después del inicio de la caza, se produce un deslizamiento importante y las bridas de las ruedas impactan contra los rieles, lo que puede causar daños a ambos.

Vehículos de carretera y ferrocarril

Muchos vehículos de carretera y ferrocarril cuentan con ejes independientes y sistemas de suspensión en cada rueda de la vía. Cuando esto se combina con la presencia de ruedas de carretera sobre el riel, resulta difícil utilizar las fórmulas anteriores. Históricamente, los vehículos de carretera y ferrocarril tienen las ruedas delanteras ligeramente orientadas hacia adentro , lo que se ha comprobado que minimiza el movimiento mientras el vehículo se desplaza sobre rieles.

Véase también

Para conocer los métodos generales que abordan esta clase de problemas, consulte

Ingeniería de control

Referencias

^ abc Oxford English Dictionary (2.ª ed.). Oxford University Press. 1989. f. La acción de una máquina, instrumento, sistema, etc., que oscila (véase oscilación v. 7b); una oscilación indeseable en torno a una velocidad, posición o estado de equilibrio.
^ https://www.talgo.com/en/rolling-stock/very-high-speed/350/
^ El error de seguimiento será cero si la trayectoria de las ruedas discurre absolutamente recta a lo largo de la pista y el par de ruedas está centrado en la pista.
^ Véase Curvatura#Gráfico de una función para obtener detalles matemáticos. La igualdad aproximada se convierte en igualdad solo cuando el error de seguimiento, y , tiene pendiente cero con respecto a x . Dado que el error de seguimiento resultará ser una onda sinusoidal, los puntos de pendiente cero están en los puntos de error de seguimiento máximo y . Pero la igualdad es aproximadamente correcta siempre que la pendiente de y sea baja.
^ Nótese que es negativo cuando y es positivo y viceversa. La otra ecuación para R no se cumple cuando y se vuelve negativa, ya que el radio R no puede ser negativo (según la definición matemática). Pero después de eliminar el radio R combinando las dos ecuaciones, la ecuación resultante se vuelve correcta al verificar los dos casos: y negativa e y positiva. ${\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}$ ${\frac {1}{R}}={\frac {2ky}{rd}}$
^ Iwnicki, p.7 fórmula 2.1
^ Carter, FW (25 de julio de 1928). "Sobre la estabilidad del funcionamiento de las locomotoras". Actas de la Royal Society . 121 (788): 585–610. Bibcode :1928RSPSA.121..585C. doi : 10.1098/rspa.1928.0220 .
^ Knothe, K. (2008). "Historia de la mecánica de contacto rueda/carril: de Redtenbacher a Kalker". Dinámica de sistemas de vehículos . 46 (1–2): 9–26. doi :10.1080/00423110701586469. S2CID 109580328.
^ Wickens, AH (1965–66). "La dinámica de los vehículos ferroviarios en vías rectas: consideraciones fundamentales de la estabilidad lateral". Actas de la Institución de Ingenieros Mecánicos : 29–.
^ Wickens, AH; Gilchrist, AO; Hobbs, AEW (1969–70). "Diseño de suspensión para vehículos de carga de dos ejes de alto rendimiento". Actas de la Institución de Ingenieros Mecánicos : 22–.
^ Serajian, Reza (2013). "Influencia del cambio de parámetros con diferentes rigideces laterales en el análisis no lineal del comportamiento de oscilación de un bogie". Journal of Measurements in Engineering : 195–206.
^ Serajian, Reza (2011). "Efectos de la inercia del bogie y de la carrocería en la oscilación no lineal del juego de ruedas reconocida por la teoría de bifurcación de Hopf". Int J Auto Engng : 186–196.

Iwnicki, Simon (2006). Manual de dinámica de vehículos ferroviarios . CRC Press.
Shabana, Ahmed A.; et al. (2008). Dinámica de vehículos ferroviarios: un enfoque computacional . CRC Press.
Wickens, AH (1 de enero de 2003). Fundamentos de la dinámica de vehículos ferroviarios: guía y estabilidad lateral . Swets & Zeitlinger.
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