Oscilación de caza

Autooscilación sobre un equilibrio que normalmente no es deseado.

Oscilación de caza en ejes de ruedas de ferrocarril

La oscilación de caza es una autooscilación , generalmente no deseada, alrededor de un equilibrio . ^[1] La expresión entró en uso en el siglo XIX y describe cómo un sistema "busca" el equilibrio. ^[1] La expresión se utiliza para describir fenómenos en campos tan diversos como la electrónica, la aviación, la biología y la ingeniería ferroviaria. ^[1]

Juegos de ruedas de ferrocarril

Una oscilación de caza clásica es un movimiento de balanceo de un vehículo ferroviario (a menudo llamado caza de camión o caza de bogie ) causado por la acción de conificación de la que depende la estabilidad direccional de un ferrocarril de adhesión . Surge de la interacción de fuerzas de adhesión y fuerzas de inercia . A baja velocidad, la adhesión domina pero, a medida que aumenta la velocidad, las fuerzas de adhesión y las fuerzas de inercia se vuelven comparables en magnitud y la oscilación comienza a una velocidad crítica. Por encima de esta velocidad, el movimiento puede ser violento, dañando la vía y las ruedas y provocando potencialmente el descarrilamiento . El problema no ocurre en sistemas con diferencial porque la acción depende de que ambas ruedas de un juego de ruedas giren a la misma velocidad angular, aunque los diferenciales tienden a ser raros y los trenes convencionales tienen sus ruedas fijadas a los ejes en pares. Algunos trenes, como el Talgo 350 , no tienen diferencial, pero en su mayoría no se ven afectados por la oscilación, ya que la mayoría de sus ruedas giran independientemente unas de otras. Las ruedas del vehículo motorizado, sin embargo, pueden verse afectadas por la oscilación oscilante, porque las ruedas del vehículo motorizado están fijadas a los ejes en pares como en los bogies convencionales. Las ruedas menos cónicas y los bogies equipados con ruedas independientes que giran independientemente unas de otras y no están fijadas a un eje por pares son más baratos que un diferencial adecuado para los bogies de un tren. ^[2]

El problema se advirtió por primera vez a finales del siglo XIX, cuando las velocidades de los trenes aumentaron lo suficiente como para enfrentarlo. En la década de 1930 se pusieron en marcha serios esfuerzos para contrarrestarlo, dando lugar a los camiones alargados y al camión con suspensión oscilante con amortiguación lateral . En el desarrollo del Shinkansen japonés , se utilizaron ruedas menos cónicas y otros cambios de diseño para ampliar las velocidades de diseño del camión por encima de 225 km/h (140 mph). Los avances en el diseño de ruedas y camiones basados ​​en esfuerzos de investigación y desarrollo en Europa y Japón han ampliado las velocidades de los sistemas de ruedas de acero mucho más allá de las alcanzadas por el Shinkansen original , mientras que la ventaja de la compatibilidad con versiones anteriores mantiene dicha tecnología dominante sobre alternativas como el aerotren y sistemas maglev . El récord de velocidad para trenes con ruedas de acero lo ostenta el TGV francés , con 574,9 km/h (357 mph).

Análisis cinemático

Cinemática de la acción cónica de las ruedas de ferrocarril.

Si bien una descripción cualitativa proporciona cierta comprensión del fenómeno, una comprensión más profunda requiere inevitablemente un análisis matemático de la dinámica del vehículo . Incluso entonces, los resultados pueden ser sólo aproximados.

Una descripción cinemática trata de la geometría del movimiento, sin hacer referencia a las fuerzas que lo provocan, por lo que el análisis comienza con una descripción de la geometría de un juego de ruedas que circula sobre una vía recta. Dado que la segunda ley de Newton relaciona las fuerzas con la aceleración de los cuerpos, las fuerzas que actúan pueden derivarse de la cinemática calculando las aceleraciones de los componentes. Sin embargo, si estas fuerzas cambian la descripción cinemática (como lo hacen en este caso), es posible que los resultados sólo sean aproximadamente correctos.

Supuestos y descripción no matemática.

Esta descripción cinemática hace una serie de suposiciones simplificadoras ya que desprecia las fuerzas. Por un lado, se supone que la resistencia a la rodadura es cero. Un juego de ruedas (no unido a un tren o camión ) recibe un empujón hacia adelante en una vía recta y nivelada. El juego de ruedas comienza a deslizarse y nunca frena ya que no hay fuerzas (excepto fuerzas hacia abajo sobre el juego de ruedas para que se adhiera a la pista y no resbale). Si inicialmente el juego de ruedas está centrado en la vía del ferrocarril, entonces los diámetros efectivos de cada rueda son los mismos y el juego de ruedas rueda por la vía en una línea perfectamente recta para siempre. Pero si el juego de ruedas está un poco descentrado, de modo que los diámetros (o radios) efectivos son diferentes, entonces el juego de ruedas comienza a moverse en una curva de radio R (dependiendo de estos radios del juego de ruedas, etc.; se derivará más adelante). . El problema es utilizar el razonamiento cinemático para encontrar la trayectoria del juego de ruedas, o más precisamente, la trayectoria del centro del juego de ruedas proyectado verticalmente sobre la plataforma en el centro de la vía. Esta es una trayectoria en el plano de la superficie terrestre nivelada y representada en un gráfico x - y donde x es la distancia a lo largo del ferrocarril e y es el "error de seguimiento", la desviación del centro del juego de ruedas de la línea recta. del ferrocarril que discurre por el centro de la vía (a medio camino entre los dos carriles).

Para ilustrar que la trayectoria de un juego de ruedas sigue una trayectoria curva, se puede colocar un clavo o un tornillo sobre una mesa plana y empujarlo. Rodará en una curva circular porque el clavo o el tornillo es como un juego de ruedas con ruedas de diámetros extremadamente diferentes. La cabeza es análoga a una rueda de gran diámetro y el extremo puntiagudo es como una rueda de pequeño diámetro. Mientras que el clavo o el tornillo girará en un círculo completo (y más), el juego de ruedas del ferrocarril se comporta de manera diferente porque tan pronto como comienza a girar en una curva, los diámetros efectivos cambian de tal manera que disminuyen la curvatura del camino. Tenga en cuenta que "radio" y "curvatura" se refieren a la curvatura de la trayectoria del juego de ruedas y no a la curvatura del ferrocarril, ya que se trata de una vía perfectamente recta. A medida que el juego de ruedas avanza, la curvatura disminuye hasta que las ruedas alcanzan el punto en el que sus diámetros efectivos son iguales y la trayectoria ya no es curva. Pero la trayectoria tiene una pendiente en este punto (es una línea recta que cruza diagonalmente la línea central de la vía) de modo que sobrepasa la línea central de la vía y los diámetros efectivos se invierten (la rueda que antes tenía un diámetro más pequeño se convierte en la de mayor diámetro y en cambio). Esto hace que el juego de ruedas se mueva en una curva en la dirección opuesta. Nuevamente sobrepasa la línea central y este fenómeno continúa indefinidamente con el juego de ruedas oscilando de un lado a otro. Tenga en cuenta que la brida de la rueda nunca hace contacto con el riel. En este modelo, se supone que los rieles siempre hacen contacto con la banda de rodadura de la rueda a lo largo de la misma línea en la cabeza del riel, lo que supone que los rieles son de filo y solo hacen contacto con la banda de rodadura de la rueda a lo largo de una línea (de ancho cero).

Análisis matemático

El tren se mantiene en la vía gracias a la forma cónica de las bandas de rodadura . Si un juego de ruedas se desplaza hacia un lado una cantidad y (el error de seguimiento), el radio de la banda de rodadura en contacto con el riel en un lado se reduce, mientras que en el otro lado aumenta. La velocidad angular es la misma para ambas ruedas (están acopladas mediante un eje rígido ), por lo que la banda de rodadura de mayor diámetro acelera, mientras que la de menor diámetro frena. El juego de ruedas gira alrededor de un centro de curvatura definido por la intersección del generador de un cono que pasa por los puntos de contacto con las ruedas sobre los carriles y el eje del juego de ruedas. Aplicando triángulos semejantes , tenemos para el radio de giro:

Cálculo del radio de giro.

${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {2ky}{rd}}}$

donde d es el ancho de vía , r el radio de la rueda cuando va en línea recta y k es la conicidad de la banda de rodadura (que es la pendiente de la banda de rodadura en la dirección horizontal perpendicular a la vía).

La trayectoria del juego de ruedas con respecto a la vía recta está definida por una función y ( x ), donde x es el progreso a lo largo de la vía. A esto a veces se le llama error de seguimiento. ^[3] Siempre que la dirección del movimiento permanezca más o menos paralela a los rieles, la curvatura de la trayectoria puede estar relacionada con la segunda derivada de y con respecto a la distancia a lo largo de la vía como aproximadamente ^[4]

${\displaystyle \left|{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}\right|\approx {\frac {1}{R}}}$

De ello se deduce que la trayectoria a lo largo de la pista está regida por la ecuación: ^[5]

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=-\left({\frac {2k}{rd}}\right)y}$

Este es un movimiento armónico simple que tiene una longitud de onda:

${\displaystyle \lambda =2\pi {\sqrt {\frac {rd}{2k}}}}$ conocida como fórmula de Klingel (derivada en 1883) ^[6]

Este análisis cinemático implica que los trenes se balancean de un lado a otro todo el tiempo. De hecho, esta oscilación se amortigua por debajo de una velocidad crítica y, en consecuencia, la conducción es más cómoda. El resultado cinemático ignora las fuerzas que causan el movimiento. Estos pueden analizarse utilizando el concepto de fluencia (no lineal), pero son algo difíciles de cuantificar de manera simple, ya que surgen de la distorsión elástica de la rueda y el riel en las regiones de contacto. Estos son el tema de la mecánica de contacto por fricción ; Carter presentó una presentación inicial que incluye estos efectos en el análisis del movimiento de caza. ^[7] Véase Knothe ^[8] para una descripción histórica.

Si el movimiento es sustancialmente paralelo a los rieles, el desplazamiento angular del juego de ruedas viene dado por: ${\displaystyle \left(\theta \right)}$

${\displaystyle \theta ={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}}$

Por eso:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} x}}&={\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=-\left({\frac {2k}{rd}}\right)y\\{\frac {\operatorname {d} ^{2}\theta }{\operatorname {d} x^{2}}}&=-\left({\frac {2k}{rd}}\right){\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=-\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta \end{aligned}}}$

La desviación angular también sigue un movimiento armónico simple, que está retrasado con respecto al movimiento de lado a lado en un cuarto de ciclo. En muchos sistemas que se caracterizan por un movimiento armónico que involucra dos estados diferentes (en este caso, la deflexión de orientación del eje y el desplazamiento lateral), el retraso de un cuarto de ciclo entre los dos movimientos dota al sistema de la capacidad de extraer energía del movimiento de avance. Este efecto se observa en el " aleteo " de las alas de los aviones y en el " balanceo " de los vehículos de carretera, así como en el movimiento oscilante de los vehículos ferroviarios. La solución cinemática derivada anteriormente describe el movimiento a la velocidad crítica.

En la práctica, por debajo de la velocidad crítica, el retraso entre los dos movimientos es menor que un cuarto de ciclo, por lo que el movimiento se amortigua, pero, por encima de la velocidad crítica, el retraso es mayor que un cuarto de ciclo, por lo que el movimiento se amplifica.

Para estimar las fuerzas de inercia es necesario expresar las derivadas de la distancia como derivadas del tiempo . Esto se hace utilizando la velocidad del vehículo U , que se supone constante:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}=U{\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} x}}}$

La aceleración angular del eje en guiñada es:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}\theta }{\operatorname {d} t^{2}}}=-U^{2}\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta }$

El momento de inercia (ignorando los efectos giroscópicos) es:

${\displaystyle Fd=C{\frac {\operatorname {d} ^{2}\theta }{\operatorname {d} t^{2}}}}$

donde F es la fuerza que actúa a lo largo de los rieles y C es el momento de inercia del juego de ruedas.

${\displaystyle F=-CU^{2}\left({\frac {2k}{rd^{2}}}\right)\theta }$

La fuerza de fricción máxima entre la rueda y el carril viene dada por:

${\displaystyle F=\mu {\frac {W}{2}}}$

donde W es la carga por eje y es el coeficiente de fricción . El deslizamiento brusco se producirá con una combinación de velocidad y deflexión del eje dada por: ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \theta U^{2}=\mu W{\frac {rd^{2}}{4Ck}}}$

esta expresión produce una sobreestimación significativa de la velocidad crítica, pero ilustra la razón física por la que se produce la caza, es decir, las fuerzas de inercia se vuelven comparables con las fuerzas de adhesión por encima de una determinada velocidad. Limitar la fricción es en este caso una mala representación de la fuerza de adherencia.

Las fuerzas de adherencia reales surgen de la deformación de la banda de rodadura y del carril en la zona de contacto. No hay deslizamiento grave, sólo distorsión elástica y algo de deslizamiento local (deslizamiento por fluencia). Durante el funcionamiento normal, estas fuerzas están dentro de la restricción límite de fricción. Un análisis completo tiene en cuenta estas fuerzas, utilizando teorías de la mecánica de contacto rodante .

Sin embargo, el análisis cinemático asumió que no había ningún deslizamiento en el contacto rueda-carril. Ahora está claro que hay cierto deslizamiento que hace que la trayectoria sinusoidal calculada del juego de ruedas (según la fórmula de Klingel) no sea exactamente correcta.

Balance de energía

Para obtener una estimación de la velocidad crítica, utilizamos el hecho de que la condición para la cual esta solución cinemática es válida corresponde al caso donde no hay intercambio neto de energía con el entorno, por lo que al considerar la energía cinética y potencial de la sistema, deberíamos poder derivar la velocidad crítica.

Dejar:

${\displaystyle \omega ={\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}}}$

Usando el operador:

${\displaystyle \omega {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \theta }}={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} t}}}$

la ecuación de aceleración angular se puede expresar en términos de la velocidad angular en guiñada ,: ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega {\frac {\operatorname {d} \omega }{\operatorname {d} \theta }}=-U^{2}\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta }$

integrando:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\omega ^{2}=-{\frac {1}{2}}U^{2}\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta ^{2}}$

entonces la energía cinética debida a la rotación es:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}C\omega ^{2}=-{\frac {1}{2}}CU^{2}\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta ^{2}}$

Desplazamiento hacia afuera de los puntos de contacto con la orientación del eje.

Cuando el eje se inclina, los puntos de contacto se mueven hacia afuera en las bandas de rodadura de modo que se reduce la altura del eje. La distancia entre los puntos de apoyo aumenta a:

${\displaystyle {\frac {d}{cos(\theta )}}=d\left(1+{\frac {1}{2}}\theta ^{2}\right)}$

(a segundo orden de pequeñas cantidades). el desplazamiento del punto de apoyo desde los centros de las huellas es:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(d+{\frac {1}{2}}d\theta ^{2}-d\right)}$

la carga del eje cae por

${\displaystyle h={\frac {1}{4}}kd\theta ^{2}}$

Por tanto, el trabajo realizado al reducir la carga por eje es:

${\displaystyle E={\frac {1}{4}}Wkd\theta ^{2}}$

Esta es la energía que se pierde del sistema, por lo que para que el movimiento continúe, se debe extraer una cantidad igual de energía del movimiento hacia adelante del juego de ruedas.

La velocidad de la rueda exterior viene dada por:

${\displaystyle V={\frac {U}{r}}\left(r+ky\right)}$

La energía cinética es:

${\displaystyle {\frac {1}{4}}m\left(U^{2}+2U^{2}{\frac {ky}{r}}+U^{2}{\frac {k^{2}y^{2}}{r^{2}}}\right)}$

para la rueda interior es

${\displaystyle {\frac {1}{4}}m\left(U^{2}-2U^{2}{\frac {ky}{r}}+U^{2}{\frac {k^{2}y^{2}}{r^{2}}}\right)}$

donde m es la masa de ambas ruedas.

El aumento de energía cinética es:

${\displaystyle \delta E={\frac {1}{2}}m\left({\frac {Uky}{r}}\right)^{2}}$

El movimiento continuará con una amplitud constante siempre que la energía extraída del movimiento hacia adelante, y que se manifiesta como un aumento de la energía cinética de la rueda colocada en guiñada cero, sea igual a la energía potencial perdida al disminuir la carga del eje en guiñada máxima. .

Ahora, desde la cinemática:

${\displaystyle {\begin{aligned}2U{\frac {ky}{rd}}&=\omega \\\delta E&={\frac {1}{8}}md^{2}\omega ^{2}\end{aligned}}}$

pero

${\displaystyle \omega ^{2}=-U^{2}\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta ^{2}}$

La energía cinética de traslación es

${\displaystyle \delta E=-{\frac {1}{8}}U^{2}md^{2}\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta ^{2}}$

La energía cinética total es:

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}U^{2}\left(C+{\frac {md^{2}}{4}}\right)\left({\frac {2k}{rd}}\right)\theta ^{2}}$

La velocidad crítica se obtiene del balance de energía:

${\displaystyle {\frac {Wkd}{2}}=U^{2}{\frac {2k}{rd}}\left(C+{\frac {md^{2}}{4}}\right)}$

Por tanto, la velocidad crítica está dada por

${\displaystyle U^{2}={\frac {Wrd^{2}}{4C+md^{2}}}}$

Esto es independiente del cono de la rueda, pero depende de la relación entre la carga del eje y la masa del juego de ruedas. Si las huellas tuvieran una forma verdaderamente cónica, la velocidad crítica sería independiente del cono. En la práctica, el desgaste de la rueda hace que la conicidad varíe a lo largo del ancho de la banda de rodadura, de modo que el valor de la conicidad utilizado para determinar la energía potencial es diferente del utilizado para calcular la energía cinética. Denotando el primero como , la velocidad crítica se convierte en:

${\displaystyle U^{2}={\frac {Ward^{2}}{k(4C+md^{2})}}}$

donde a es ahora un factor de forma determinado por el desgaste de la rueda . Este resultado se deriva en Wickens (1965) ^[9] de un análisis de la dinámica del sistema utilizando métodos estándar de ingeniería de control .

Limitación del análisis simplificado

El movimiento de un juego de ruedas es mucho más complicado de lo que indicaría este análisis. Hay fuerzas de restricción adicionales aplicadas por la suspensión del vehículo ^[10] y, a alta velocidad, el juego de ruedas generará pares giroscópicos adicionales , que modificarán la estimación de la velocidad crítica. Convencionalmente un vehículo ferroviario tiene un movimiento estable a bajas velocidades, cuando alcanza altas velocidades la estabilidad cambia a una forma inestable. El objetivo principal del análisis no lineal de la dinámica de sistemas de vehículos ferroviarios es mostrar la visión de la investigación analítica de la bifurcación, la estabilidad lateral no lineal y el comportamiento de oscilación de los vehículos ferroviarios en una vía tangente. Este estudio describe el método de Bogoliubov para el análisis. ^[11]

Los estudios se centran principalmente en dos cuestiones principales, a saber, asumir el cuerpo como soporte fijo y la influencia de los elementos no lineales en el cálculo de la velocidad de caza. ^[12] Un vehículo ferroviario real tiene muchos más grados de libertad y, en consecuencia, puede tener más de una velocidad crítica; De ninguna manera es seguro que el movimiento más bajo esté dictado por el movimiento del juego de ruedas. Sin embargo, el análisis es instructivo porque muestra por qué ocurre la caza. A medida que aumenta la velocidad, las fuerzas de inercia se vuelven comparables con las fuerzas de adhesión. Por eso, la velocidad crítica depende de la relación entre la carga del eje (que determina la fuerza de adherencia) y la masa del juego de ruedas (que determina las fuerzas de inercia).

Alternativamente, por debajo de una determinada velocidad, la energía que se extrae del movimiento de avance es insuficiente para reemplazar la energía perdida al bajar los ejes y el movimiento se amortigua; por encima de esta velocidad, la energía extraída es mayor que la pérdida de energía potencial y la amplitud aumenta.

La energía potencial en la orientación máxima del eje se puede aumentar incluyendo una restricción elástica en el movimiento de orientación del eje, de modo que exista una contribución que surja de la tensión del resorte. Disponer las ruedas en los bogies para aumentar la restricción del movimiento de guiñada de los juegos de ruedas y aplicar restricciones elásticas al bogie también aumenta la velocidad crítica. La introducción de fuerzas elásticas en la ecuación permite diseños de suspensión que están limitados únicamente por la aparición de un deslizamiento grave, en lugar de la oscilación clásica. La pena que se debe pagar por la virtual eliminación de la caza es un camino recto, con el consiguiente problema de derecho de paso y la incompatibilidad con la infraestructura heredada.

La caza es un problema dinámico que puede resolverse, al menos en principio, mediante un control de retroalimentación activa, que puede adaptarse a la calidad de la pista. Sin embargo, la introducción del control activo plantea problemas de fiabilidad y seguridad.

Poco después del inicio de la oscilación, se produce un gran deslizamiento y las pestañas de las ruedas impactan en los rieles, causando potencialmente daños a ambos.

Vehículos de carretera y ferrocarril

Los ejes de ruedas de ferrocarril independientes son comunes en los vehículos ferroviarios de carretera.

Muchos vehículos de carretera y ferrocarril cuentan con ejes y sistemas de suspensión independientes en cada rueda de ferrocarril. Cuando esto se combina con la presencia de ruedas en el carril, resulta difícil utilizar las fórmulas anteriores. Históricamente, los vehículos de carretera y ferrocarril tienen las ruedas delanteras ligeramente convergentes , lo que minimiza la oscilación mientras el vehículo circula sobre el carril.

Ver también

• Mecánica de contacto por fricción.
• Adhesión al carril
• Perfil del riel
• oscilación de velocidad
• Dinámica del vehículo
• Juego de ruedas

Para conocer los métodos generales que tratan esta clase de problema, consulte

• Ingeniería de control

Referencias

1. Diccionario de inglés abc Oxford (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. 1989. f. La acción de una máquina, instrumento, sistema, etc., que es cazar (ver caza v. 7b); una oscilación indeseable sobre una velocidad, posición o estado de equilibrio.
2. https://www.talgo.com/en/rolling-stock/very-high-speed/350/
3. El error de seguimiento será cero si la trayectoria de las ruedas discurre absolutamente recta a lo largo de la vía y el par de ruedas está centrado en la vía.
4. Consulte Curvatura # Gráfico de una función para obtener detalles matemáticos. La igualdad aproximada se convierte en igualdad sólo cuando el error de seguimiento, y , tiene pendiente cero con respecto a x . Dado que el error de seguimiento resultará ser una onda sinusoidal, los puntos de pendiente cero están en los puntos de máximo error de seguimiento y . Pero la igualdad es aproximadamente correcta siempre que la pendiente de y sea baja.
5. Tenga en cuenta que es negativo cuando y es positivo y viceversa. La otra ecuación para R no se cumple cuando y se vuelve negativo, ya que no se permite que el radio R sea negativo (según la definición matemática). Pero después de eliminar el radio R combinando las dos ecuaciones, la ecuación resultante se vuelve correcta al verificar los dos casos: y negativo e y positivo. ${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{R}}={\frac {2ky}{rd}}}$
6. Iwnicki, p.7 fórmula 2.1
7. Carter, FW (25 de julio de 1928). "Sobre la estabilidad de marcha de las locomotoras". Actas de la Royal Society . 121 (788): 585–610. Código bibliográfico : 1928RSPSA.121..585C. doi : 10.1098/rspa.1928.0220 .
8. Knothe, K. (2008). "Historia de la mecánica de contacto rueda/carril: de Redtenbacher a Kalker". Dinámica del sistema del vehículo . 46 (1–2): 9–26. doi :10.1080/00423110701586469. S2CID  109580328.
9. Wickens, AH (1965-1966). "La dinámica de los vehículos ferroviarios en vía recta: consideraciones fundamentales de estabilidad lateral". Actas de la Institución de Ingenieros Mecánicos : 29–.
10. Wickens, AH; Gilchrist, AO; Hobbs, AEW (1969-1970). "Diseño de suspensión para vehículos de carga de dos ejes de alto rendimiento". Actas de la Institución de Ingenieros Mecánicos : 22–.
11. Serajian, Reza (2013). "Influencia cambiante de los parámetros con diferentes rigideces laterales en el análisis no lineal del comportamiento de oscilación de un bogie". Revista de mediciones en ingeniería : 195–206.
12. Serajian, Reza (2011). "Efectos de la inercia del bogie y la carrocería sobre la caza no lineal del juego de ruedas reconocidos por la teoría de la bifurcación de Hopf". Int J Auto Engng : 186–196.

• Iwnicki, Simón (2006). Manual de dinámica de vehículos ferroviarios . Prensa CRC.
• Shabana, Ahmed A.; et al. (2008). Dinámica de vehículos ferroviarios: un enfoque computacional . Prensa CRC.
• Wickens, AH (1 de enero de 2003). Fundamentos de la dinámica de los vehículos ferroviarios: guiado y estabilidad lateral . Swets y Zeitlinger.
• Serajian, Reza (2013). "Influencia cambiante de los parámetros con diferentes rigideces laterales en el análisis no lineal del comportamiento de oscilación de un bogie ". Prensa CRC.
• Serajian, Reza (2011). "Efectos de la inercia del bogie y del cuerpo sobre la caza no lineal del juego de ruedas reconocida por la teoría de la bifurcación de Hopf ". Prensa CRC.