Operador (física)

Función que actúa sobre el espacio de estados físicos en física.

Un operador es una función que se aplica a un espacio de estados físicos sobre otro espacio de estados. El ejemplo más simple de la utilidad de los operadores es el estudio de la simetría (que hace que el concepto de grupo sea útil en este contexto). Por ello, son herramientas útiles en la mecánica clásica . Los operadores son aún más importantes en la mecánica cuántica , donde forman parte intrínseca de la formulación de la teoría.

Operadores en la mecánica clásica

En mecánica clásica, el movimiento de una partícula (o sistema de partículas) está completamente determinado por el lagrangiano o equivalentemente el hamiltoniano , una función de las coordenadas generalizadas q , las velocidades generalizadas y sus momentos conjugados : ${\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)}$ ${\displaystyle H(q,p,t)}$ ${\displaystyle {\dot {q}}=\mathrm {d} q/\mathrm {d} t}$

${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}}$

Si L o H son independientes de una coordenada generalizada q , lo que significa que L y H no cambian cuando se cambia q , lo que a su vez significa que la dinámica de la partícula sigue siendo la misma incluso cuando q cambia, los momentos correspondientes conjugados a esas coordenadas se conservarán (esto es parte del teorema de Noether , y la invariancia del movimiento con respecto a la coordenada q es una simetría ). Los operadores en la mecánica clásica están relacionados con estas simetrías.

Más técnicamente, cuando H es invariante bajo la acción de un cierto grupo de transformaciones G :

${\displaystyle S\in G,H(S(q,p))=H(q,p)}$.

Los elementos de G son operadores físicos, que asignan estados físicos entre sí.

Tabla de operadores de la mecánica clásica

donde es la matriz de rotación alrededor de un eje definido por el vector unitario y el ángulo θ . ${\displaystyle R({\hat {\boldsymbol {n}}},\theta )}$ ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {n}}}}$

Generadores

Si la transformación es infinitesimal , la acción del operador debe tener la forma

${\displaystyle I+\epsilon A,}$

donde es el operador identidad, es un parámetro con un valor pequeño y dependerá de la transformación en cuestión, y se denomina generador del grupo . Nuevamente, como un ejemplo simple, derivaremos el generador de las traslaciones espaciales en funciones 1D. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle A}$

Como se dijo, . Si es infinitesimal, entonces podemos escribir ${\displaystyle T_{a}f(x)=f(x-a)}$ ${\displaystyle a=\epsilon }$

${\displaystyle T_{\epsilon }f(x)=f(x-\epsilon )\approx f(x)-\epsilon f'(x).}$

Esta fórmula puede reescribirse como

${\displaystyle T_{\epsilon }f(x)=(I-\epsilon D)f(x)}$

donde es el generador del grupo de traslaciones, que en este caso resulta ser el operador derivada . Por lo tanto, se dice que el generador de traslaciones es la derivada. ${\displaystyle D}$

El mapa exponencial

En circunstancias normales, todo el grupo puede recuperarse a partir de los generadores, mediante el mapa exponencial . En el caso de las traducciones, la idea funciona así.

La traducción para un valor finito de se puede obtener mediante la aplicación repetida de la traducción infinitesimal: ${\displaystyle a}$

${\displaystyle T_{a}f(x)=\lim _{N\to \infty }T_{a/N}\cdots T_{a/N}f(x)}$

con la posición de los tiempos de aplicación. Si es grande, cada uno de los factores puede considerarse infinitesimal: ${\displaystyle \cdots }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle T_{a}f(x)=\lim _{N\to \infty }\left(I-{\frac {a}{N}}D\right)^{N}f(x).}$

Pero este límite puede reescribirse como exponencial:

${\displaystyle T_{a}f(x)=\exp(-aD)f(x).}$

Para convencernos de la validez de esta expresión formal, podemos desarrollar la exponencial en una serie de potencias :

${\displaystyle T_{a}f(x)=\left(I-aD+{a^{2}D^{2} \over 2!}-{a^{3}D^{3} \over 3!}+\cdots \right)f(x).}$

El lado derecho puede reescribirse como

${\displaystyle f(x)-af'(x)+{\frac {a^{2}}{2!}}f''(x)-{\frac {a^{3}}{3!}}f^{(3)}(x)+\cdots }$

que es simplemente la expansión de Taylor de , que era nuestro valor original para . ${\displaystyle f(x-a)}$ ${\displaystyle T_{a}f(x)}$

Las propiedades matemáticas de los operadores físicos son un tema de gran importancia en sí mismo. Para más información, véase C*-álgebra y Teorema de Gelfand–Naimark .

Operadores en mecánica cuántica

La formulación matemática de la mecánica cuántica (MC) se basa en el concepto de operador.

Los estados físicos puros en mecánica cuántica se representan como vectores de norma unitaria (las probabilidades se normalizan a uno) en un espacio de Hilbert complejo especial . La evolución temporal en este espacio vectorial se da mediante la aplicación del operador de evolución .

Cualquier observable , es decir, cualquier cantidad que pueda medirse en un experimento físico, debe estar asociada a un operador lineal autoadjunto . Los operadores deben producir valores propios reales , ya que son valores que pueden surgir como resultado del experimento. Matemáticamente, esto significa que los operadores deben ser hermíticos . ^[1] La probabilidad de cada valor propio está relacionada con la proyección del estado físico en el subespacio relacionado con ese valor propio. Consulte a continuación los detalles matemáticos sobre los operadores hermíticos.

En la formulación de mecánica ondulatoria de la mecánica cuántica, la función de onda varía con el espacio y el tiempo, o equivalentemente con el momento y el tiempo (ver espacio de posición y momento para más detalles), por lo que los observables son operadores diferenciales .

En la formulación de la mecánica matricial , la norma del estado físico debe permanecer fija, por lo que el operador de evolución debe ser unitario y los operadores pueden representarse como matrices. Cualquier otra simetría, que asigne un estado físico a otro, debe mantener esta restricción.

Función de onda

La función de onda debe ser integrable al cuadrado (ver espacios L p ), lo que significa:

${\displaystyle \iiint _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} =\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}\psi (\mathbf {r} )^{*}\psi (\mathbf {r} )\,d^{3}\mathbf {r} <\infty }$

y normalizable, de modo que:

${\displaystyle \iiint _{\mathbb {R} ^{3}}|\psi (\mathbf {r} )|^{2}\,d^{3}\mathbf {r} =1}$

Dos casos de estados propios (y valores propios) son:

• para estados propios discretos que forman una base discreta, por lo que cualquier estado es una suma donde c _i son números complejos tales que | c _i | ² = c _i ^* c _i es la probabilidad de medir el estado , y el conjunto correspondiente de valores propios a _i también es discreto, ya sea finito o infinito numerable . En este caso, el producto interno de dos estados propios viene dado por , donde denota el Delta de Kronecker . Sin embargo, ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$ $${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|\phi _{i}\rangle }$$ ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle \langle \phi _{i}\vert \phi _{j}\rangle =\delta _{ij}}$ ${\displaystyle \delta _{mn}}$
• para un continuo de estados propios que forman una base continua, cualquier estado es una integral donde c ( φ ) es una función compleja tal que | c (φ)| ² = c (φ) ^* c (φ) es la probabilidad de medir el estado , y hay un conjunto infinito incontable de valores propios a . En este caso, el producto interno de dos estados propios se define como , donde aquí denota el Delta de Dirac . ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$ $${\displaystyle |\psi \rangle =\int c(\phi )\,d\phi |\phi \rangle }$$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \phi '\vert \phi \rangle =\delta (\phi -\phi ')}$ ${\displaystyle \delta (x-y)}$

Operadores lineales en mecánica ondulatoria

Sea ψ la función de onda de un sistema cuántico, y cualquier operador lineal para algún observable A (como posición, momento, energía, momento angular, etc.). Si ψ es una función propia del operador , entonces ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$

${\displaystyle {\hat {A}}\psi =a\psi ,}$

donde a es el valor propio del operador, correspondiente al valor medido del observable, es decir, el observable A tiene un valor medido a .

Si ψ es una función propia de un operador dado , entonces se observará una cantidad definida (el valor propio a ) si se realiza una medición del observable A en el estado ψ . Por el contrario, si ψ no es una función propia de , entonces no tiene valor propio para , y el observable no tiene un único valor definido en ese caso. En cambio, las mediciones del observable A producirán cada valor propio con una cierta probabilidad (relacionada con la descomposición de ψ en relación con la base propia ortonormal de ). ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$

En notación de corchetes lo anterior se puede escribir:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}\psi &={\hat {A}}\psi (\mathbf {r} )={\hat {A}}\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf {r} \left\vert {\hat {A}}\right\vert \psi \right\rangle \\a\psi &=a\psi (\mathbf {r} )=a\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle =\left\langle \mathbf {r} \mid a\mid \psi \right\rangle \\\end{aligned}}}$

que son iguales si es un vector propio o un elemento propio del observable A. ${\displaystyle \left|\psi \right\rangle }$

Debido a la linealidad, los vectores se pueden definir en cualquier número de dimensiones, ya que cada componente del vector actúa sobre la función por separado. Un ejemplo matemático es el operador del , que es en sí mismo un vector (útil en operadores cuánticos relacionados con el momento, en la tabla siguiente).

Un operador en un espacio n -dimensional se puede escribir:

${\displaystyle \mathbf {\hat {A}} =\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}}$

donde e _j son vectores base correspondientes a cada operador componente A _j . Cada componente producirá un valor propio correspondiente . Actuando esto sobre la función de onda ψ : ${\displaystyle a_{j}}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {A}} \psi =\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi =\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\psi \right)=\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {e} _{j}a_{j}\psi \right)}$

en el que hemos utilizado ${\displaystyle {\hat {A}}_{j}\psi =a_{j}\psi .}$

En notación entre corchetes:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\hat {A}} \psi =\mathbf {\hat {A}} \psi (\mathbf {r} )=\mathbf {\hat {A}} \left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle &=\left\langle \mathbf {r} \left\vert \mathbf {\hat {A}} \right\vert \psi \right\rangle \\\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi =\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\psi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right)\left\langle \mathbf {r} \mid \psi \right\rangle &=\left\langle \mathbf {r} \left\vert \sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}{\hat {A}}_{j}\right\vert \psi \right\rangle \end{aligned}}}$

Conmutación de operadores enO

Si dos observables A y B tienen operadores lineales y , el conmutador se define por, ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {B}}}$

${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}$

El conmutador es en sí mismo un operador (compuesto). Al actuar el conmutador sobre ψ se obtiene:

${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi ={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi .}$

Si ψ es una función propia con valores propios a y b para los observables A y B respectivamente, y si los operadores conmutan:

${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi =0,}$

Entonces los observables A y B se pueden medir simultáneamente con precisión infinita, es decir, las incertidumbres , simultáneamente. ψ se dice entonces que es la función propia simultánea de A y B. Para ilustrar esto: ${\displaystyle \Delta A=0}$ ${\displaystyle \Delta B=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi &={\hat {A}}{\hat {B}}\psi -{\hat {B}}{\hat {A}}\psi \\&=a(b\psi )-b(a\psi )\\&=0.\\\end{aligned}}}$

Esto demuestra que la medición de A y B no provoca ningún cambio de estado, es decir, los estados inicial y final son los mismos (no hay perturbaciones debido a la medición). Supongamos que medimos A para obtener el valor a. Luego medimos B para obtener el valor b. Medimos A nuevamente. Seguimos obteniendo el mismo valor a. Claramente, el estado ( ψ ) del sistema no se destruye y, por lo tanto, podemos medir A y B simultáneamente con precisión infinita.

Si los operadores no se desplazan:

${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\psi \neq 0,}$

No se pueden preparar simultáneamente con precisión arbitraria y existe una relación de incertidumbre entre los observables.

${\displaystyle \Delta A\Delta B\geq \left|{\frac {1}{2}}\langle [A,B]\rangle \right|}$

Incluso si ψ es una función propia, la relación anterior se cumple. Los pares notables son las relaciones de incertidumbre de posición y momento y de energía y tiempo, y los momentos angulares (de espín, orbital y total) respecto de dos ejes ortogonales cualesquiera (como L _x y L _y , o s _y y s _z , etc.). ^[2]

Valores esperados de los operadores enO

El valor esperado (equivalente al valor promedio o medio) es la medida promedio de un observable, para una partícula en la región R. El valor esperado del operador se calcula a partir de: ^[3] ${\displaystyle \left\langle {\hat {A}}\right\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$

${\displaystyle \left\langle {\hat {A}}\right\rangle =\int _{R}\psi ^{*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}\psi \left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left|{\hat {A}}\right|\psi \right\rangle .}$

Esto se puede generalizar a cualquier función F de un operador:

${\displaystyle \left\langle F\left({\hat {A}}\right)\right\rangle =\int _{R}\psi (\mathbf {r} )^{*}\left[F\left({\hat {A}}\right)\psi (\mathbf {r} )\right]\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left|F\left({\hat {A}}\right)\right|\psi \right\rangle ,}$

Un ejemplo de F es la doble acción de A sobre ψ , es decir, elevar al cuadrado un operador o hacerlo dos veces:

${\displaystyle {\begin{aligned}F\left({\hat {A}}\right)&={\hat {A}}^{2}\\\Rightarrow \left\langle {\hat {A}}^{2}\right\rangle &=\int _{R}\psi ^{*}\left(\mathbf {r} \right){\hat {A}}^{2}\psi \left(\mathbf {r} \right)\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =\left\langle \psi \left\vert {\hat {A}}^{2}\right\vert \psi \right\rangle \\\end{aligned}}\,\!}$

Operadores hermíticos

La definición de un operador hermítico es: ^[1]

${\displaystyle {\hat {A}}={\hat {A}}^{\dagger }}$

De esto se desprende, en notación entre paréntesis:

${\displaystyle \left\langle \phi _{i}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{j}\right\rangle =\left\langle \phi _{j}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{i}\right\rangle ^{*}.}$

Las propiedades importantes de los operadores hermíticos incluyen:

• valores propios reales,
• Los vectores propios con diferentes valores propios son ortogonales ,
• Los vectores propios pueden elegirse para que sean una base ortonormal completa ,

Operadores en mecánica matricial

Un operador puede escribirse en forma matricial para mapear un vector base a otro. Como los operadores son lineales, la matriz es una transformación lineal (también conocida como matriz de transición) entre bases. Cada elemento base puede conectarse con otro, ^[3] mediante la expresión: ${\displaystyle \phi _{j}}$

${\displaystyle A_{ij}=\left\langle \phi _{i}\left|{\hat {A}}\right|\phi _{j}\right\rangle ,}$

que es un elemento de la matriz:

${\displaystyle {\hat {A}}={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nn}\\\end{pmatrix}}}$

Otra propiedad de un operador hermítico es que las funciones propias correspondientes a diferentes valores propios son ortogonales. ^[1] En forma matricial, los operadores permiten encontrar valores propios reales, correspondientes a mediciones. La ortogonalidad permite que un conjunto de vectores base adecuado represente el estado del sistema cuántico. Los valores propios del operador también se evalúan de la misma manera que para la matriz cuadrada, resolviendo el polinomio característico :

${\displaystyle \det \left({\hat {A}}-a{\hat {I}}\right)=0,}$

donde I es la matriz identidad n × n , como operador corresponde al operador identidad. Para una base discreta:

${\displaystyle {\hat {I}}=\sum _{i}|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|}$

mientras que de forma continua:

${\displaystyle {\hat {I}}=\int |\phi \rangle \langle \phi |\mathrm {d} \phi }$

Inverso de un operador

Un operador no singular tiene una inversa definida por: ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ${\displaystyle {\hat {A}}^{-1}}$

${\displaystyle {\hat {A}}{\hat {A}}^{-1}={\hat {A}}^{-1}{\hat {A}}={\hat {I}}}$

Si un operador no tiene inversa, es un operador singular. En un espacio de dimensión finita, un operador no es singular si y solo si su determinante es distinto de cero:

${\displaystyle \det \left({\hat {A}}\right)\neq 0}$

y por lo tanto el determinante es cero para un operador singular.

Tabla de operadores QM

Los operadores utilizados en mecánica cuántica se recogen en la tabla siguiente (véase por ejemplo ^{[1] [4]} ). Los vectores en negrita con acentos circunflejos no son vectores unitarios , son operadores de 3 vectores; los tres componentes espaciales tomados en conjunto.

Ejemplos de aplicación de operadores cuánticos

El procedimiento para extraer información de una función de onda es el siguiente. Consideremos como ejemplo el momento p de una partícula. El operador de momento en base a la posición en una dimensión es:

${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}}$

Dejando esto actuar sobre ψ obtenemos:

${\displaystyle {\hat {p}}\psi =-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi ,}$

Si ψ es una función propia de , entonces el valor propio del momento p es el valor del momento de la partícula, que se obtiene mediante: ${\displaystyle {\hat {p}}}$

${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p\psi .}$

Para tres dimensiones el operador de momento utiliza el operador nabla para convertirse en:

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla .}$

En coordenadas cartesianas (utilizando los vectores base cartesianos estándar e _x , e _y , e _z ) esto se puede escribir;

${\displaystyle \mathbf {e} _{\mathrm {x} }{\hat {p}}_{x}+\mathbf {e} _{\mathrm {y} }{\hat {p}}_{y}+\mathbf {e} _{\mathrm {z} }{\hat {p}}_{z}=-i\hbar \left(\mathbf {e} _{\mathrm {x} }{\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {e} _{\mathrm {y} }{\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {e} _{\mathrm {z} }{\frac {\partial }{\partial z}}\right),}$

eso es:

${\displaystyle {\hat {p}}_{x}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}},\quad {\hat {p}}_{y}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}},\quad {\hat {p}}_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\,\!}$

El proceso de búsqueda de valores propios es el mismo. Como se trata de una ecuación vectorial y de operador, si ψ es una función propia, entonces cada componente del operador de momento tendrá un valor propio correspondiente a ese componente del momento. Al actuar sobre ψ se obtiene: ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {p}}_{x}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}}\psi =p_{x}\psi \\{\hat {p}}_{y}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial y}}\psi =p_{y}\psi \\{\hat {p}}_{z}\psi &=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial z}}\psi =p_{z}\psi \\\end{aligned}}\,\!}$

Véase también

• Operador lineal acotado
• Teoría de la representación

Referencias

1. Mecánica cuántica molecular, partes I y II: Introducción a la química cuántica (volumen 1), PW Atkins, Oxford University Press, 1977, ISBN  0-19-855129-0
2. Ballentine, LE (1970), "La interpretación estadística de la mecánica cuántica", Reviews of Modern Physics , 42 (4): 358–381, Bibcode :1970RvMP...42..358B, doi :10.1103/RevModPhys.42.358
3. Mecánica cuántica desmitificada, D. McMahon, Mc Graw Hill (EE. UU.), 2006, ISBN 0-07-145546-9 
4. Operadores - Las conferencias Feynman sobre física