Paralelo (operador)

Operación matemática modelado de resistencias paralelas.

Interpretación gráfica del operador paralelo con . ${\displaystyle a\parallel b=c}$

El operador paralelo (pronunciado "paralelo", ^[1] siguiendo la notación de líneas paralelas de la geometría ; ^{[2] [3]} también conocido como suma reducida , suma paralela o suma paralela ) es una función matemática que se utiliza como taquigrafía en electricidad. ingeniería , ^{[4] [5] [6] [nb 1]} pero también se utiliza en cinética , mecánica de fluidos y matemáticas financieras . ^{[7] [8]} El nombre paralelo proviene del uso del operador que calcula la resistencia combinada de resistencias en paralelo . ${\displaystyle \|}$

Descripción general

El operador paralelo representa el valor recíproco de una suma de valores recíprocos (a veces también denominado "fórmula recíproca" o " suma armónica ") y se define por: ^{[9] [6] [10] [11]}

${\displaystyle a\parallel b\mathrel {:=} {\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{b}}}}={\frac {ab}{a+b}},}$

donde a , b y son elementos de los números complejos extendidos ^{[12] [13]} ${\displaystyle a\parallel b}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}.}$

El operador da la mitad de la media armónica de dos números a y b . ^{[7] [8]}

Como caso especial, para cualquier número : ${\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {C} }}}$

${\displaystyle a\parallel a={\frac {1}{2/a}}={\tfrac {1}{2}}a.}$

Además, para todos los números distintos : ${\displaystyle a\neq b}$

${\displaystyle {\big |}\,a\parallel b\,{\big |}>{\tfrac {1}{2}}\min {\bigl (}|a|,|b|{\bigr )},}$

representando el valor absoluto de y significando el mínimo (menor elemento) entre x e y . ${\displaystyle {\big |}\,a\parallel b\,{\big |}}$ ${\displaystyle a\parallel b}$ ${\displaystyle \min(x,y)}$

Si y son números reales positivos distintos, entonces ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\min(a,b)<{\big |}\,a\parallel b\,{\big |}<\min(a,b).}$

El concepto se ha ampliado desde una operación escalar a matrices ^{[14] [15] [16] [17] [18]} y se ha generalizado aún más . ^[19]

Notación

El operador fue introducido originalmente como suma reducida por Sundaram Seshu en 1956, ^{[20] [21] [14]} estudiado como operador  ∗por Kent E. Erickson en 1959, ^{[22] [23] [14]} y popularizado por Richard James Duffin y William Niles Anderson, Jr. como operador  de suma paralela o suma paralela: en matemáticas y teoría de redes desde 1966. ^{[15] [16] [1]} Si bien algunos autores continúan usando este símbolo hasta el presente, ^{[7] [8]} para Por ejemplo, Sujit Kumar Mitra lo usó ∙como símbolo en 1970. ^[14] En electrónica aplicada , un  ∥signo se volvió más común como símbolo del operador alrededor de 1974. ^{[24] [25] [26] [27] [28] [nb 1] [nb 2]} Esto a menudo se escribía como una línea vertical duplicada (||) disponible en la mayoría de los conjuntos de caracteres (a veces en cursiva como //^{[29] [30]} ), pero ahora se puede representar usando el carácter Unicode U+2225 ( ∥ ) para "paralelo". a". En LaTeX y lenguajes de marcado relacionados, las macros \|y \parallelse usan a menudo (y rara vez \smallparallelse usan) para indicar el símbolo del operador.

Propiedades

Representemos el plano complejo extendido excluyendo el cero y la función biyectiva de a tal que Uno tiene identidades. ${\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}}$ ${\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}:=\mathbb {C} \cup \{\infty \}\smallsetminus \{0\},}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}}$ ${\displaystyle \varphi (z)=1/z.}$

${\displaystyle \varphi (zt)=\varphi (z)\varphi (t),}$

y

${\displaystyle \varphi (z+t)=\varphi (z)\parallel \varphi (t)}$

Esto implica inmediatamente que es un campo donde el operador paralelo toma el lugar de la suma, y ​​que este campo es isomorfo a ${\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$

Las siguientes propiedades se pueden obtener traduciendo las propiedades correspondientes de los números complejos. ${\displaystyle \varphi }$

Propiedades de campo

Como ocurre con cualquier campo, satisface una variedad de identidades básicas. ${\displaystyle ({\widetilde {\mathbb {C} }},\parallel ,\cdot )}$

Es conmutativo bajo paralelo y multiplicación:

${\displaystyle {\begin{aligned}a\parallel b&=b\parallel a\\[3mu]ab&=ba\end{aligned}}}$

Es asociativo bajo paralelo y multiplicación: ^{[12] [7] [8]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&(a\parallel b)\parallel c=a\parallel (b\parallel c)=a\parallel b\parallel c={\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{b}}+{\dfrac {1}{c}}}}={\frac {abc}{ab+ac+bc}},\\&(ab)c=a(bc)=abc.\end{aligned}}}$

Ambas operaciones tienen un elemento de identidad ; para paralelo la identidad es mientras que para multiplicación la identidad es 1 : ${\displaystyle \infty }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&a\parallel \infty =\infty \parallel a={\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}+0}}=a,\\&1\cdot a=a\cdot 1=a.\end{aligned}}}$

Cada elemento de tiene un inverso en paralelo, igual al inverso aditivo en la suma. (Pero 0 no tiene inverso bajo paralelo.) ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}}$ ${\displaystyle -a,}$

${\displaystyle a\parallel (-a)={\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}-{\dfrac {1}{a}}}}=\infty .}$

El elemento identidad es su propio inverso, ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \infty \parallel \infty =\infty .}$

Cada elemento de tiene un inverso multiplicativo : ${\displaystyle a\neq \infty }$ ${\displaystyle {\widetilde {\mathbb {C} }}}$ ${\displaystyle a^{-1}=1/a}$

${\displaystyle a\cdot {\frac {1}{a}}=1.}$

La multiplicación es distributiva en paralelo: ^{[1] [7] [8]}

${\displaystyle k(a\parallel b)={\frac {k}{{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{b}}}}={\frac {1}{{\dfrac {1}{ka}}+{\dfrac {1}{kb}}}}=ka\parallel kb.}$

Paralelo repetido

El paralelo repetido equivale a la división,

${\displaystyle \underbrace {a\parallel a\parallel \cdots \parallel a} _{n{\text{ times}}}={\frac {1}{\underbrace {{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{a}}+\cdots +{\dfrac {1}{a}}} _{n{\text{ times}}}}}={\frac {a}{n}}.}$

O, multiplicando ambos lados por n ,

${\displaystyle n(\underbrace {a\parallel a\parallel \cdots \parallel a} _{n{\text{ times}}})=a.}$

A diferencia de la suma repetida , esto no conmuta: ${\displaystyle a/b\neq b/a.}$

Expansión binomial

Usando la propiedad distributiva dos veces, el producto de dos binomios paralelos se puede expandir como

${\displaystyle {\begin{aligned}(a\parallel b)(c\parallel d)&=a(c\parallel d)\parallel b(c\parallel d)\\[3mu]&=ac\parallel ad\parallel bc\parallel bd.\end{aligned}}}$

El cuadrado de un binomio es

${\displaystyle {\begin{aligned}(a\parallel b)^{2}&=a^{2}\parallel ab\parallel ba\parallel b^{2}\\[3mu]&=a^{2}\parallel {\tfrac {1}{2}}ab\parallel b^{2}.\end{aligned}}}$

El cubo de un binomio es

${\displaystyle (a\parallel b)^{3}=a^{3}\parallel {\tfrac {1}{3}}a^{2}b\parallel {\tfrac {1}{3}}ab^{2}\parallel b^{3}.}$

En general, la enésima potencia de un binomio se puede ampliar utilizando coeficientes binomiales que son recíprocos de los de la suma, lo que da como resultado un análogo de la fórmula binomial :

${\displaystyle (a\parallel b)^{n}={\frac {a^{n}}{\binom {n}{0}}}\parallel {\frac {a^{n-1}b}{\binom {n}{1}}}\parallel \cdots \parallel {\frac {a^{n-k}b^{k}}{\binom {n}{k}}}\parallel \cdots \parallel {\frac {b^{n}}{\binom {n}{n}}}.}$

Logaritmo y exponencial

Se mantienen las siguientes identidades:

${\displaystyle {\frac {1}{\log(ab)}}={\frac {1}{\log(a)}}\parallel {\frac {1}{\log(b)}},}$

${\displaystyle \exp \left({\frac {1}{a\parallel b}}\right)=\exp \left({\frac {1}{a}}\right)\exp \left({\frac {1}{b}}\right)}$

Funciones paralelas

Una función paralela es aquella que conmuta con la operación paralela: ^{[ cita necesaria ]}

${\displaystyle f\left(a\parallel b\right)=f(a)\parallel f(b)}$

Por ejemplo, es una función paralela, porque ${\displaystyle f(x)=cx}$ ${\displaystyle c(a\parallel b)=ca\parallel cb.}$

Factorizar polinomios paralelos

Al igual que con un polinomio sometido a suma, un polinomio paralelo con coeficientes en (con ) se puede factorizar en un producto de monomios: ${\displaystyle a_{k}}$ ${\textstyle {\widetilde {\mathbb {C} }}}$ ${\displaystyle a_{0}\neq \infty }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{0}x^{n}\parallel a_{1}x^{n-1}\parallel \cdots \parallel a_{n}=a_{0}(x\parallel -r_{1})(x\parallel -r_{2})\cdots (x\parallel -r_{n})\end{aligned}}}$

para algunas raíces (posiblemente repetidas) en ${\displaystyle r_{k}}$ ${\textstyle {\widetilde {\mathbb {C} }}.}$

De manera análoga a los polinomios en la suma, la ecuación polinómica

${\displaystyle (x\parallel -r_{1})(x\parallel -r_{2})\cdots (x\parallel -r_{n})=\infty }$

implica que para algunos k . ${\textstyle x=r_{k}}$

Fórmula cuadrática

Una ecuación lineal se puede resolver fácilmente mediante la inversa paralela:

${\displaystyle {\begin{aligned}ax\parallel b&=\infty \\[3mu]\implies x&=-{\frac {b}{a}}.\end{aligned}}}$

Para resolver una ecuación cuadrática paralela, completa el cuadrado para obtener un análogo de la fórmula cuadrática

${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}\parallel bx\parallel c&=\infty \\[5mu]x^{2}\parallel {\frac {b}{a}}x&=-{\frac {c}{a}}\\[5mu]x^{2}\parallel {\frac {b}{a}}x\parallel {\frac {4b^{2}}{a^{2}}}&=\left(-{\frac {c}{a}}\right)\parallel {\frac {4b^{2}}{a^{2}}}\\[5mu]\left(x\parallel {\frac {2b}{a}}\right)^{2}&={\frac {b^{2}\parallel -{\tfrac {1}{4}}ac}{{\tfrac {1}{4}}a^{2}}}\\[5mu]\implies x&={\frac {(-b)\parallel \pm {\sqrt {b^{2}\parallel -{\tfrac {1}{4}}ac}}}{{\tfrac {1}{2}}a}}.\end{aligned}}}$

Incluyendo cero

Los números complejos extendidos , incluido el cero, ya no son un campo bajo paralelo y multiplicación, porque 0 no tiene inverso bajo paralelo. (Esto es análogo a la forma en que no es un campo porque no tiene inverso aditivo). ${\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}:=\mathbb {C} \cup \infty ,}$ ${\displaystyle {\bigl (}{\overline {\mathbb {C} }},{+},{\cdot }{\bigr )}}$ ${\displaystyle \infty }$

Por cada a distinto de cero ,

${\displaystyle a\parallel 0={\frac {1}{{\dfrac {1}{a}}+{\dfrac {1}{0}}}}=0}$

La cantidad puede dejarse sin definir (ver forma indeterminada ) o definirse para que sea igual a 0 . ${\displaystyle 0\parallel (-0)=0\parallel 0}$

Precedencia

En ausencia de paréntesis, se define que el operador paralelo tiene prioridad sobre la suma o la resta, de forma similar a la multiplicación. ^{[1] [31] [9] [10]}

Aplicaciones

Existen aplicaciones del operador paralelo en electrónica, óptica y estudio de periodicidad:

Análisis de circuitos

En ingeniería eléctrica , el operador paralelo se puede utilizar para calcular la impedancia total de varios circuitos eléctricos en serie y en paralelo . ^{[nb 2]} Existe una dualidad entre la suma habitual (en serie) y la suma paralela. ^{[7] [8]}

Por ejemplo, la resistencia total de resistencias conectadas en paralelo es el recíproco de la suma de los recíprocos de las resistencias individuales .

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{R_{\text{eq}}}}&={\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{R_{n}}}\\[5mu]R_{\text{eq}}&=R_{1}\parallel R_{2}\parallel \cdots \parallel R_{n}.\end{aligned}}}$

Lo mismo ocurre con la capacitancia total de los condensadores en serie . ^{[nota 2]}

Ecuación de lentes

En óptica geométrica, la aproximación de la lente delgada a la ecuación del fabricante de lentes.

${\displaystyle f=\rho _{virtual}\parallel \rho _{object}}$

Período sinódico

El tiempo entre conjunciones de dos cuerpos en órbita se llama período sinódico . Si el período del cuerpo más lento es T ₂ y el período del más rápido es T ₁ , entonces el período sinódico es

${\displaystyle T_{syn}=T_{1}\parallel (-T_{2}).}$

Ejemplos

Pregunta:

Tres resistencias , y están conectadas en paralelo . ¿Cuál es su resistencia resultante? ${\displaystyle R_{1}=270\,\mathrm {k\Omega } }$ ${\displaystyle R_{2}=180\,\mathrm {k\Omega } }$ ${\displaystyle R_{3}=120\,\mathrm {k\Omega } }$

Respuesta:

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{1}\parallel R_{2}\parallel R_{3}&=270\,\mathrm {k\Omega } \parallel 180\,\mathrm {k\Omega } \parallel 120\,\mathrm {k\Omega } \\[5mu]&={\frac {1}{{\dfrac {1}{270\,\mathrm {k\Omega } }}+{\dfrac {1}{180\,\mathrm {k\Omega } }}+{\dfrac {1}{120\,\mathrm {k\Omega } }}}}\\[5mu]&\approx 56.84\,\mathrm {k\Omega } \end{aligned}}}$

La resistencia efectivamente resultante es de ca. 57kΩ . _

Pregunta: ^{[7] [8]}

Un albañil levanta un muro en 5 horas. Otro trabajador necesitaría 7 horas para el mismo trabajo. ¿Cuánto tiempo se tarda en construir el muro si ambos trabajadores trabajan en paralelo?

Respuesta:

${\displaystyle t_{1}\parallel t_{2}=5\,\mathrm {h} \parallel 7\,\mathrm {h} ={\frac {1}{{\dfrac {1}{5\,\mathrm {h} }}+{\dfrac {1}{7\,\mathrm {h} }}}}\approx 2.92\,\mathrm {h} }$

Terminarán en cerca de 3 horas.

Implementación

WP 34S con operador paralelo ( ∥) en la tecla g+ ÷.

Sugerido ya por Kent E. Erickson como subrutina en computadoras digitales en 1959, ^[22] el operador paralelo se implementa como operador de teclado en las calculadoras científicas de notación polaca inversa (RPN) WP 34S desde 2008 ^{[32] [33] [34 ]} así como en el WP 34C ^[35] y WP 43S desde 2015, ^{[36] [37]} permitiendo resolver incluso problemas en cascada con pocas pulsaciones de teclas como .270↵ Enter180∥120∥

Vista proyectiva

Dado un campo F, hay dos incrustaciones de F en la línea proyectiva P ( F ): z → [ z  : 1] y z → [1: z ]. Estas incrustaciones se superponen excepto [0:1] y [1:0]. El operador paralelo relaciona la operación de suma entre las incrustaciones. De hecho, las homografías en la línea proyectiva están representadas por matrices M(2, F ) de 2 x 2, y las operaciones de campo (+ y ×) se extienden a las homografías. Cada incrustación tiene su suma a + b representada por las siguientes multiplicaciones de matrices en M(2, A ):

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}1&0\\a&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\b&1\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}1&0\\a+b&1\end{pmatrix}},\\[10mu]{\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}1&a+b\\0&1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Los dos productos matriciales muestran que hay dos subgrupos de M(2, F ) isomorfos a ( F ,+), el grupo aditivo de F . Dependiendo de qué incrustación se utilice, una operación es +, la otra es ${\displaystyle \parallel .}$

Notas

1. Si bien el uso del símbolo ∥ para "paralelo" en geometría se remonta a 1673 en el trabajo de John Kersey el Viejo , ^[A] esto comenzó a usarse más solo alrededor de 1875. ^[B] El uso de a El operador matemático para circuitos paralelos tiene su origen en la teoría de redes en ingeniería eléctrica . Sundaram Seshu introdujo un operador de suma reducida en 1956, ^[C] Kent E. Erickson propuso un asterisco (∗) para simbolizar el operador en 1959, ^[D] mientras que Richard James Duffin y William Niles Anderson, Jr. usaron dos puntos (:) para la suma paralela desde 1966. ^[E] Sujit Kumar Mitra usó un punto medio (∙) para ello en 1970. ^[F] Se desconoce el primer uso del símbolo paralelo (∥) para este operador en electrónica aplicada , pero podría haberse originado del libro de Stephen D. Senturia  [d] y Bruce D. Wedlock de 1974 "Circuitos electrónicos y aplicaciones", ^[G] que evolucionó a partir de su curso de introducción a la electrónica en el Instituto de Tecnología de Massachusetts (MIT) con conceptos de enseñanza de teoría de redes y electrónica derivados de un curso anterior impartido por Campbell "Cam" Leach Searle. Se popularizó aún más a través del libro de John W. McWane de 1981 "Introducción a la electrónica y la instrumentación", ^[H] que surgió de un curso del MIT con el mismo nombre desarrollado como parte del influyente Proyecto de Desarrollo del Currículo Técnico entre 1974 y 1979. Este símbolo fue Probablemente también se introdujo porque los otros símbolos utilizados podrían confundirse fácilmente con signos comúnmente utilizados para la multiplicación y división en algunos contextos.
2. En circuitos eléctricos, el operador paralelo se puede aplicar, respectivamente, a resistencias paralelas ( R en [Ω]) o inductancias ( L en [H]), así como a impedancias ( Z en [Ω]) o reactancias ( X en [Ω]). Haciendo caso omiso del entonces engañoso glifo del símbolo del operador , también se puede aplicar a circuitos en serie de, respectivamente, conductancias ( G en [S]) o capacitancias ( C en [F]), así como a admitancias ( Y en [S]) o susceptancias ( B en [S]).

Referencias

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17. Mitra, Sujit Kumar; Puri, Madan Lal (octubre de 1973). "Sobre suma paralela y diferencia de matrices" (PDF) . Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . Prensa académica, Inc. 44 (1): 92–97. doi :10.1016/0022-247X(73)90027-9. Archivado desde el original (PDF) el 13 de abril de 2019.
18. Mitra, Sujit Kumar; Bhimasankaram, Pochiraju; Malik, Saroj B. (2010). Matriz de Órdenes Parciales, Operadores en Corto y Aplicaciones. Serie de Álgebra. vol. 10 (1ª ed. ilustrada). World Scientific Publishing Co. Pte. Limitado. ISBN limitado  978-981-283-844-5. ISBN 981-283-844-9 . Consultado el 19 de agosto de 2019 . (446 páginas)
19. Eriksson-Bique, Sirkka-Liisa Anneli [en finlandés] ; Leutwiler, Heinz (febrero de 1989) [10 de enero de 1989]. "Una generalización de la suma paralela" (PDF) . Aecuaciones Mathematicae . Birkhäuser Verlag . 38 (1): 99-110. doi :10.1007/BF01839498. Archivado (PDF) desde el original el 2020-08-20 . Consultado el 20 de agosto de 2020 .
20. Seshu, Sundaram (septiembre de 1956). "Sobre circuitos eléctricos y circuitos de conmutación". Transacciones IRE sobre teoría de circuitos . Instituto de Ingenieros de Radio (IRE). CT-3 (3): 172–178. doi :10.1109/TCT.1956.1086310.(7 páginas) (NB. Ver erratas).
21. Seshu, Sundaram; Gould, Roderick (septiembre de 1957). "Corrección a 'Sobre circuitos eléctricos y circuitos de conmutación'". Transacciones IRE sobre teoría de circuitos . Corrección. Instituto de Ingenieros de Radio (IRE). CT-4 (3): 284. doi : 10.1109/TCT.1957.1086390 .(1 página) (NB. Se refiere a referencia anterior.)
22. Erickson, Kent E. (marzo de 1959). "Una nueva operación para analizar redes en serie-paralelas". Transacciones IRE sobre teoría de circuitos . Instituto de Ingenieros de Radio (IRE). CT-6 (1): 124–126. doi :10.1109/TCT.1959.1086519. pag. 124: […] La operación ∗ se define como A ∗ B = AB/A + B. El símbolo ∗ tiene propiedades algebraicas que simplifican la solución formal de muchos problemas de redes en serie-paralelo. Si la operación ∗ se incluyera como subrutina en una computadora digital , podría simplificar la programación de ciertos cálculos de red. […](3 páginas) (NB. Ver comentario.)
23. Kaufman, Howard (junio de 1963). "Comentario sobre una nueva operación para analizar redes en serie-paralelas". Transacciones IEEE sobre teoría de circuitos . Instituto de Ingenieros Eléctricos y Electrónicos (IEEE). CT-10 (2): 283. doi :10.1109/TCT.1963.1082126. pag. 283: […] Comentarios sobre la operación ∗ […] a∗b = ab/(a+b) […](1 página) (NB. Se refiere a referencia anterior.)
24. Senturia, Stephen D. [en Wikidata] ; Wedlock, Bruce D. (1975) [agosto de 1974]. "Parte A. Aprendizaje del idioma, Capítulo 3. Redes resistivas lineales, 3.2 Configuraciones de red básicas, 3.2.3. Resistencias en paralelo". Escrito en el Instituto Tecnológico de Massachusetts, Cambridge, Massachusetts, EE.UU. Circuitos electrónicos y aplicaciones (1 ed.). Nueva York, Londres, Sydney, Toronto: John Wiley & Sons, Inc. págs. viii-ix, 44-46 [45]. ISBN 0-471-77630-0. LCCN  74-7404. S2CID  61070327. págs. viii, ix, 45: este libro de texto evolucionó a partir de un curso de introducción a la electrónica de un semestre impartido por los autores en el Instituto de Tecnología de Massachusetts . […] Muchos estudiantes de primer año utilizan el curso como precursor del Programa Básico de Ingeniería Eléctrica del MIT. […] La preparación de un libro de este tamaño ha contado con la contribución de muchas personas. El concepto de enseñar teoría de redes y electrónica como una única materia unificada deriva del profesor Campbell Searle, quien impartió el curso de introducción a la electrónica cuando uno de nosotros (SDS) era un estudiante de primer año de posgrado en física que intentaba aprender electrónica. Además, el profesor Searle ha aportado críticas constructivas inestimables a lo largo de la redacción de este texto. Varios miembros del cuerpo docente del MIT y casi 40 asistentes técnicos graduados han participado en la enseñanza de este material durante los últimos cinco años, muchos de los cuales han hecho importantes contribuciones a través de sus sugerencias y ejemplos. Entre ellos, deseamos agradecer especialmente a OR Mitchell, Irvin Englander, George Lewis, Ernest Vincent, David James, Kenway Wong, Gim Hom, Tom Davis, James Kirtley y Robert Donaghey. El presidente del Departamento de Ingeniería Eléctrica del MIT, el profesor Louis D. Smullin , ha brindado apoyo y aliento durante este proyecto, al igual que muchos colegas de todo el departamento. […] El primer resultado […] establece que el voltaje total a través de la combinación en paralelo de R ₁ y R ₂ es el mismo que ocurre a través de una única resistencia de valor R ₁  R ₂  (R ₁  + R ₂ ). Debido a que esta expresión para resistencia paralela ocurre con tanta frecuencia, se le asigna una notación especial (R ₁ ∥R ₂ ). Es decir, cuando R ₁ y R ₂ están en paralelo, la resistencia equivalente es […] ${\displaystyle (R_{1}\parallel R_{2})={\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}}$(xii+623+5 páginas) (NB. También estaba disponible un manual para profesores. Las primeras tiradas contienen un número considerable de errores tipográficos. Véase también: libro de Wedlock de 1978.) [7]
25. Lobo, Lawrence J. (1977) [1976, 1974]. "Sección 4. Materiales instructivos - 4.3. Proyecto de desarrollo del plan de estudios técnico del MIT - Introducción a la electrónica y la instrumentación". En Aldridge, Bill G.; Mowery, Donald R.; Lobo, Lawrence J.; Dixon, Peggy (eds.). Tecnología de ciencias e ingeniería: guía curricular: una guía para un plan de estudios de grado asociado de dos años (PDF) . Saint Louis Community College – Florissant Valley , St. Louis, Missouri, EE. UU.: Asociación Nacional de Profesores de Ciencias , Washington DC, EE. UU. págs.21, 77. Archivado (PDF) desde el original el 15 de febrero de 2017 . Consultado el 8 de agosto de 2019 . pag. 21: […] Introducción a la Electrónica y la Instrumentación es un enfoque nuevo y contemporáneo para el curso de introducción a la electrónica. Diseñado para estudiantes sin experiencia previa en electrónica, desarrolla las habilidades y conocimientos necesarios para utilizar y comprender los sistemas electrónicos modernos. […] John W. McWane […](NB. El Proyecto SET fue un plan de estudios postsecundario de dos años desarrollado entre 1974 y 1977 que preparaba a los técnicos para utilizar instrumentos electrónicos).
26. Wiesner, Jerome Bert ; Johnson, Howard Wesley ; Killian, Jr., James Rhyne , eds. (11 de abril de 1978). "Escuela de Ingeniería - Centro de Estudios Avanzados de Ingeniería (CAES) - Investigación y Desarrollo - Proyecto de Investigación y Desarrollo Curricular Técnico". Informe del presidente y del canciller 1977–78 - Instituto de Tecnología de Massachusetts (PDF) . Instituto de Tecnología de Massachusetts (MIT). págs. 249, 252-253. Archivado (PDF) desde el original el 10 de septiembre de 2015 . Consultado el 8 de agosto de 2019 . Págs. 249, 252-253: […] El Programa de Investigación y Desarrollo del Currículo Técnico, patrocinado por la Organización Imperial de Servicios Sociales  [fa] de Irán , está entrando en el cuarto año de un contrato de cinco años. Continúa el desarrollo curricular en electrónica e ingeniería mecánica. […] Administrado conjuntamente por CAES y el Departamento de Ciencia e Ingeniería de Materiales , el Proyecto está bajo la supervisión del Profesor Merton C. Flemings. Está dirigida por el Dr. John W. McWane. […] Desarrollo de materiales curriculares. Esta es la actividad principal del proyecto y se ocupa del desarrollo de materiales de curso innovadores y de última generación en áreas necesarias de la tecnología de ingeniería […] el nuevo curso de introducción a la electrónica […] se titula Introducción a la electrónica y la instrumentación. y consta de ocho […] módulos […] de corriente, voltaje y resistencia de CC; Redes de Circuitos Básicos; señales variables en el tiempo; Amplificadores operacionales; Fuentes de alimentación; corriente alterna, voltaje e impedancia; Circuitos Digitales; y Medición y Control Electrónicos. Este curso representa un cambio importante y una actualización de la forma en que se introduce la electrónica y debería ser de gran valor para STI así como para muchos programas estadounidenses. […]
27. Matrimonio, Bruce D. (1978). Redes de circuitos básicos . Introducción a la electrónica y la instrumentación. Instituto de Tecnología de Massachusetts (MIT), Proyecto de investigación y desarrollo del plan de estudios técnico.(81 páginas) (NB. Esto formó la base de la Parte I del libro de McWane de 1981. Véase también: el libro de Senturia y Wedlock de 1975).
28. McWane, John W. (1 de mayo de 1981). Introducción a la electrónica y la instrumentación (edición ilustrada). North Scituate, Massachusetts, EE. UU.: Breton Publishers , Wadsworth, Inc. págs. 78, 96–98, 100, 104. ISBN 0-53400938-7. ISBN 978-0-53400938-0 . Consultado el 4 de agosto de 2019 . pag. xiii, 96–98, 100: […] Bruce D. Wedlock […] fue el principal autor colaborador de la Parte I, REDES DE CIRCUITO BÁSICO, incluido el diseño de los ejemplos complementarios. […] La mayor parte del desarrollo del programa IEI se llevó a cabo como parte del Proyecto de Investigación y Desarrollo del Currículo Técnico del Centro de Estudios de Ingeniería Avanzada del MIT . […] notación taquigráfica […] símbolo taquigráfico ∥ […] (xiii+545 páginas) (NB. En 1981, también existía un manual de laboratorio de 216 páginas que acompañaba a este libro. El trabajo surgió de un programa de curso del MIT "El Proyecto de Desarrollo del Currículo Técnico del MIT - Introducción a la Electrónica y la Instrumentación" desarrollado entre 1974 y 1979. En 1986, se publicó una segunda edición de este libro con el título "Introducción a la tecnología electrónica".)
29. "7.5.3 Selección de la resistencia externa". Temporizador del sistema de nanopotencia TPL5110 para puerta de energía (PDF) (Hoja de datos). Revisión A. Texas Instruments Incorporated . Septiembre de 2018 [enero de 2015]. págs. 13-14. SNAS650A. Archivado (PDF) desde el original el 25 de septiembre de 2022 . Consultado el 25 de septiembre de 2022 .(27 páginas)
30. "A7987: regulador de conmutación reductor asíncrono de 61 V, 3 A con limitación de corriente ajustable para automoción" (PDF) (Hoja de datos). Revisión 3. STMicroelectronics NV . 2020-09-22 [2019-03-19]. págs.17, 18, 20. DS12928. Archivado (PDF) desde el original el 18 de julio de 2022 . Consultado el 18 de julio de 2022 .(36 páginas)
31. Pablo, Steffen; Paul, Reinhold (24 de octubre de 2014). "Capítulo 2.3.2: Zusammenschaltungen resistivo lineal Zweipole - Parallelschaltung". Grundlagen der Elektrotechnik und Elektronik 1: Gleichstromnetzwerke und ihre Anwendungen (en alemán). vol. 1 (5 ed.). Springer-Verlag . pag. 78.ISBN _ 978-3-64253948-0. ISBN 3-64253948-3 . Consultado el 4 de agosto de 2019 . pag. 78: […] Bei abgekürzter Schreibweise achte man sorgfältig auf die Anwendung von Klammern. […] Das Parallelzeichen ∥ der Kurzschreibweise hat die gleiche Bedeutung wie ein Multiplikationszeichen. Deshalb können Klammern entfallen. (446 páginas)
32. Dale, Paul; Bonin, Walter (30 de noviembre de 2012) [9 de diciembre de 2008]. Manual del propietario del WP 34S (PDF) (3.1 ed.). págs. 1, 14, 32, 66, 116. Archivado (PDF) desde el original el 9 de julio de 2019 . Consultado el 13 de julio de 2019 .[8] (211 páginas)
33. Bonin, Walter (2015) [9 de diciembre de 2008]. Manual del propietario del WP 34S (3.3 ed.). Plataforma de publicación independiente CreateSpace . ISBN 978-1-5078-9107-0.[9]
34. Bonin, Walter (11 de julio de 2016) [9 de diciembre de 2008]. Manual del propietario del WP 34S (4 ed.). Plataforma de publicación independiente CreateSpace . ISBN 978-1-53366238-5. ISBN 1-53366238-X . (410 páginas)
35. Dowrick, Nigel (3 de mayo de 2015) [16 de marzo de 2015]. "Modo de bloqueo complejo para WP-34". Museo HP . Archivado desde el original el 3 de abril de 2019 . Consultado el 7 de agosto de 2019 .
36. Bonin, Walter (2020) [2015]. Manual del propietario del WP 43S (PDF) . 0,16 (borrador de edición). pag. 119.ISBN _ 978-1-72950098-9. ISBN 1-72950098-6 . Archivado (PDF) desde el original el 21 de julio de 2022 . Consultado el 20 de agosto de 2020 . [10] [11] (328 páginas)
37. Bonin, Walter (2020) [2015]. Manual de referencia WP 43S (PDF) . 0,16 (borrador de edición). pag. 127.ISBN _ 978-1-72950106-1. ISBN 1-72950106-0 . Archivado (PDF) desde el original el 21 de julio de 2022 . Consultado el 20 de agosto de 2020 . [12] [13] (315 páginas)

Otras lecturas

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• Duffin, Richard James ; Morley, Tom D. (julio de 1978). "Operadores Casi Definitivos y Sistemas Electromecánicos". Revista SIAM de Matemática Aplicada . Sociedad de Matemática Industrial y Aplicada (SIAM). 35 (1): 21–30. doi :10.1137/0135003. JSTOR  2101028.(10 páginas)
• Morley, Tom D. (julio de 1979). "Suma paralela, principio de Maxwell y el mínimo de proyecciones" (PDF) . Revista de Análisis y Aplicaciones Matemáticas . Departamento de Matemáticas, Universidad de Illinois en Urbana-Champaign , Urbana, Illinois, EE.UU. 70 (1): 33–41. doi :10.1016/0022-247X(79)90073-8. Archivado desde el original el 20 de agosto de 2020 . Consultado el 20 de agosto de 2020 .
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• Bryant, Randal E .; Tygar, J. Doug; Huang, Lawrence P. (1994). «Caracterización geométrica de redes de resistencias variables serie-paralelo» (PDF) . Transacciones IEEE sobre circuitos y sistemas I: teoría fundamental y aplicaciones . 41 (11): 686–698. doi : 10.1109/81.331520. Archivado desde el original (PDF) el 14 de agosto de 2017.
• Antezana, Jorge; Corach, Gustavo; Stojanoff, Demetrio (abril de 2006) [14 de septiembre de 2005]. "Operadores bilaterales en corto y sumas paralelas" (PDF) . Álgebra lineal y sus aplicaciones . La Plata, Argentina y Buenos Aires, Argentina. 414 (2–3): 570–588. arXiv : matemáticas/0509327 . doi :10.1016/j.laa.2005.10.039. Archivado (PDF) desde el original el 9 de agosto de 2017 . Consultado el 20 de agosto de 2020 .[14] (19 páginas)
• Chansangiam, Pattrawut (febrero de 2016) [agosto de 2015, julio de 2015]. "Aspectos matemáticos para conexiones de redes eléctricas". Revista de ingeniería KKU . 43 (1): 47–54. doi :10.14456/kkuenj.2016.8. Archivado (PDF) desde el original el 20 de agosto de 2020 . Consultado el 20 de agosto de 2020 .
• Besenyei, Ádám (1 de septiembre de 2016). "La irresistible desigualdad de Milne" (PDF) . Budapest: Departamento de Análisis Aplicado y Matemática Computacional, Universidad Eötvös Loránd . CIA2016. Archivado (PDF) desde el original el 8 de agosto de 2019 . Consultado el 11 de agosto de 2019 .
• "7.5 Características Eléctricas: VCC = 5 V / 7.6 Características Eléctricas: VCC = 2,7 V / 9.1.2.1 Comparador Inversor con Histéresis". TLV3201, TLV3202: TLV320x 40-ns, microPOWER, comparadores de salida push-pull (PDF) . Revisión B. Dallas, Texas, EE. UU.: Texas Instruments Incorporated . 2022-06-03 [2016, 2012]. págs. 5, 6, 13-14 [13]. SBOS561B. Archivado (PDF) desde el original el 17 de agosto de 2022 . Consultado el 18 de agosto de 2022 . pag. 5: PARÁMETRO […] TIPO […] UNIDAD […] IMPEDANCIA DE ENTRADA […] Modo común […] 10 ¹³ ∥ 2 […] Ω ∥ pF […] Diferencial […] 10 ¹³ ∥ 4 […] Ω ∥ pF […](37 páginas) (NB. Uso inusual de ∥ tanto para valores como para unidades).

enlaces externos

• https://github.com/microsoftarchive/edx-platform-1/blob/master/common/lib/calc/calc/calc.py