octonion

Sistema numérico hipercomplejo

En matemáticas , los octoniones son un álgebra de división normada de los números reales , una especie de sistema numérico hipercomplejo . Los octoniones suelen representarse con la letra O mayúscula, utilizando negrita O o negrita de pizarra . Los octoniones tienen ocho dimensiones ; el doble del número de dimensiones de los cuaterniones , de los que son una extensión. Son no conmutativos y no asociativos , pero satisfacen una forma más débil de asociatividad; es decir, son alternativos . También son asociativos de poder . ${\displaystyle \mathbb {O} }$

Los octoniones no son tan conocidos como los cuaterniones y los números complejos , que son mucho más estudiados y utilizados. Los octoniones están relacionados con estructuras excepcionales en matemáticas, entre ellas los excepcionales grupos de Lie . Los octoniones tienen aplicaciones en campos como la teoría de cuerdas , la relatividad especial y la lógica cuántica . La aplicación de la construcción Cayley-Dickson a los octoniones produce los sedeniones .

Historia

Los octoniones fueron descubiertos en 1843 por John T. Graves , inspirado por el descubrimiento de los cuaterniones por parte de su amigo William Rowan Hamilton . Graves llamó a su descubrimiento "octavas" y las mencionó en una carta a Hamilton fechada el 26 de diciembre de 1843. ^[1] Publicó su resultado por primera vez un poco después del artículo de Arthur Cayley . ^[2] Los octoniones fueron descubiertos de forma independiente por Cayley ^[3] y a veces se los denomina "números de Cayley" o "álgebra de Cayley". Hamilton describió la historia temprana del descubrimiento de Graves. ^[4]

Definición

Los octoniones pueden considerarse como octetos (u 8 tuplas) de números reales. Cada octonión es una combinación lineal real de los octoniones unitarios :

${\displaystyle \{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3},e_{4},e_{5},e_{6},e_{7}\},}$

donde e ₀ es el elemento escalar o real; se puede identificar con el número real 1. Es decir, cada octonión x se puede escribir en la forma

${\displaystyle x=x_{0}e_{0}+x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}+x_{4}e_{4}+x_{5}e_{5}+x_{6}e_{6}+x_{7}e_{7},\,}$

con coeficientes reales x _i .

La suma y resta de octoniones se realiza sumando y restando los términos correspondientes y, por tanto, sus coeficientes, como los cuaterniones. La multiplicación es más compleja. La multiplicación es distributiva sobre la suma, por lo que el producto de dos octoniones se puede calcular sumando los productos de todos los términos, nuevamente como los cuaterniones. El producto de cada par de términos puede obtenerse mediante la multiplicación de los coeficientes y una tabla de multiplicación de los octoniones unitarios, como ésta (debido a Cayley, 1845, y Graves, 1843): ^[5]

La mayoría de los elementos fuera de la diagonal de la tabla son antisimétricos, lo que la convierte en una matriz casi simétrica, excepto los elementos en la diagonal principal, así como la fila y la columna para las cuales e ₀ es un operando.

La tabla se puede resumir de la siguiente manera: ^[6]

${\displaystyle e_{i}e_{j}={\begin{cases}e_{j},&{\text{if }}i=0\\e_{i},&{\text{if }}j=0\\-\delta _{ij}e_{0}+\varepsilon _{ijk}e_{k},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

donde δ _ij es el delta de Kronecker (igual a 1 si y sólo si i = j ), y ε _ijk es un tensor completamente antisimétrico con valor 1 cuando ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365 .

Sin embargo, la definición anterior no es única; es sólo una de las 480 definiciones posibles para la multiplicación de octoniones con e ₀ = 1 . Los demás se pueden obtener permutando y cambiando los signos de los elementos de base no escalares { e ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₄ , e ₅ , e ₆ , e ₇ } . Las 480 álgebras diferentes son isomórficas y rara vez es necesario considerar qué regla de multiplicación en particular se utiliza.

Cada una de estas 480 definiciones es invariante hasta los signos de algún 7 ciclo de los puntos (1234567), y para cada 7 ciclos hay cuatro definiciones, que se diferencian por los signos y la inversión de orden. Una opción común es usar la definición de invariante bajo el ciclo de 7 (1234567) con e ₁ e ₂ = e ₄ usando el diagrama de multiplicación triangular, o el plano de Fano a continuación que también muestra la lista ordenada de 124 tríadas de 7 ciclos basadas y sus matrices de multiplicación asociadas en formato e _n e IJKL.

Una variación de esto que a veces se usa es etiquetar los elementos de la base por los elementos ∞ , 0, 1, 2, ..., 6, de la línea proyectiva sobre el campo finito de orden 7. La multiplicación luego viene dada por e _∞ = 1 y e ₁ e ₂ = e ₄ , y todas las expresiones obtenidas a partir de esto agregando una constante ( módulo 7) a todos los subíndices: en otras palabras, usando los siete triples (124) (235) (346) (450) ( 561) (602) (013). Estas son las palabras de código distintas de cero del código de residuo cuadrático de longitud 7 sobre el campo de Galois de dos elementos, GF (2) . Hay una simetría de orden 7 dada al agregar una constante mod 7 a todos los subíndices, y también una simetría de orden 3 dada al multiplicar todos los subíndices por uno de los residuos cuadráticos 1, 2, 4 mod 7. ^{[7] [8]}

La tabla de multiplicar para un álgebra geométrica de firma (−−−−) se puede dar en términos de los siguientes 7 triples cuaterniónicos (omitiendo el elemento identidad):

( I , j , k ), ( i , J , k ), ( i , j , K ), ( I , J , K ), (∗ I , i , m ), (∗ J , j , m ), (∗ K , k , metro )

en el que los elementos en minúscula son vectores y los en mayúscula son bivectores y ∗ = mijk (que es el operador estrella de Hodge ). Si se fuerza que el ∗ sea igual a la identidad, entonces la multiplicación deja de ser asociativa, pero el ∗ puede eliminarse de la tabla de multiplicar, lo que da como resultado una tabla de multiplicar de octoniones.

Al mantener ∗ = mijk asociativo y, por lo tanto, no reducir el álgebra geométrica de 4 dimensiones a una octonión, toda la tabla de multiplicar se puede derivar de la ecuación para ∗ . Consideremos las matrices gamma . La fórmula que define la quinta matriz gamma muestra que es el ∗ de un álgebra geométrica de cuatro dimensiones de las matrices gamma.

Construcción Cayley-Dickson

Una forma más sistemática de definir los octoniones es mediante la construcción de Cayley-Dickson. Así como los cuaterniones se pueden definir como pares de números complejos, los octoniones se pueden definir como pares de cuaterniones. La suma se define por pares. El producto de dos pares de cuaterniones ( a , b ) y ( c , d ) se define por

${\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*}),}$

donde z * denota el conjugado del cuaternión z . Esta definición es equivalente a la dada anteriormente cuando los ocho octoniones unitarios se identifican con los pares

(1, 0), ( i , 0), ( j , 0), ( k , 0), (0, 1), (0, i ), (0, j ), (0, k )

Mnemónico del avión de Fano

Un mnemónico para los productos de los octoniones unitarios ^[9]

Una visualización mnemotécnica en 3D que muestra las 7 tríadas como hiperplanos a través del vértice real ( e ₀ ) del ejemplo del octonión dado anteriormente ^[9]

El diagrama, que representa la tabla de multiplicar de Cayley y Graves, proporciona una mnemónica conveniente para recordar los productos de octoniones unitarios. ^{[5] [10]} Este diagrama con siete puntos y siete rectas (el círculo que pasa por 1, 2 y 3 se considera una recta) se llama plano de Fano . Las líneas son direccionales. Los siete puntos corresponden a los siete elementos básicos estándar de Im( O ) (ver definición a continuación). Cada par de puntos distintos se encuentra en una línea única y cada línea pasa por exactamente tres puntos.

Sea ( a , b , c ) un triple ordenado de puntos que se encuentran en una recta dada con el orden especificado por la dirección de la flecha. Entonces la multiplicación viene dada por

ab = c y ba = − c

junto con permutaciones cíclicas . Estas reglas junto con

• 1 es la identidad multiplicativa,
• mi²
  _yo= −1 para cada punto del diagrama

define completamente la estructura multiplicativa de los octoniones. Cada una de las siete líneas genera una subálgebra de O isomorfa a los cuaterniones H.

Conjugado, norma e inversa

El conjugado de un octonión.

${\displaystyle x=x_{0}\,e_{0}+x_{1}\,e_{1}+x_{2}\,e_{2}+x_{3}\,e_{3}+x_{4}\,e_{4}+x_{5}\,e_{5}+x_{6}\,e_{6}+x_{7}\,e_{7}}$

es dado por

${\displaystyle x^{*}=x_{0}\,e_{0}-x_{1}\,e_{1}-x_{2}\,e_{2}-x_{3}\,e_{3}-x_{4}\,e_{4}-x_{5}\,e_{5}-x_{6}\,e_{6}-x_{7}\,e_{7}.}$

La conjugación es una involución de O y satisface ( xy )* = y * x * (obsérvese el cambio de orden).

La parte real de x está dada por

${\displaystyle {\frac {x+x^{*}}{2}}=x_{0}\,e_{0}}$

y la parte imaginaria por

${\displaystyle {\frac {x-x^{*}}{2}}=x_{1}\,e_{1}+x_{2}\,e_{2}+x_{3}\,e_{3}+x_{4}\,e_{4}+x_{5}\,e_{5}+x_{6}\,e_{6}+x_{7}\,e_{7}.}$

El conjunto de todos los octoniones puramente imaginarios abarca un subespacio de 7 dimensiones de O , denotado Im( O ) .

La conjugación de octoniones satisface la ecuación.

${\displaystyle -6x^{*}=x+(e_{1}x)e_{1}+(e_{2}x)e_{2}+(e_{3}x)e_{3}+(e_{4}x)e_{4}+(e_{5}x)e_{5}+(e_{6}x)e_{6}+(e_{7}x)e_{7}.}$

El producto de un octonión por su conjugado, x * x = xx * , es siempre un número real no negativo:

${\displaystyle x^{*}x=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}.}$

Usando esto, la norma de un octonion se puede definir como

${\displaystyle \|x\|={\sqrt {x^{*}x}}.}$

Esta norma concuerda con la norma euclidiana estándar de 8 dimensiones en R ⁸ .

La existencia de una norma en O implica la existencia de inversas para cada elemento distinto de cero de O. La inversa de x ≠ 0 , que es el octonión único x ⁻¹ que satisface xx ⁻¹ = x ⁻¹ x = 1 , está dada por

${\displaystyle x^{-1}={\frac {x^{*}}{\|x\|^{2}}}.}$

Propiedades

La multiplicación octoniónica no es conmutativa :

e _i e _j = − e _j e _i ≠ e _j e _i si i , j son distintos y distintos de cero,

ni asociativo :

( e _i e _j ) e _k = − e _i ( e _j e _k ) ≠ e _i ( e _j e _k ) si i , j , k son distintos, distintos de cero y e _i e _j ≠ ± e _k .

Los octoniones satisfacen una forma más débil de asociatividad: son alternativos. Esto significa que la subálgebra generada por dos elementos cualesquiera es asociativa. En realidad, se puede demostrar que la subálgebra generada por dos elementos cualesquiera de O es isomorfa a R , C o H , los cuales son asociativos. Debido a su no asociatividad, los octoniones no pueden representarse mediante una subálgebra de una matriz anular sobre , a diferencia de los números reales, los números complejos y los cuaterniones. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Los octoniones conservan una propiedad importante compartida por R , C y H : la norma sobre O satisface

${\displaystyle \|xy\|=\|x\|\|y\|.}$

Esta ecuación significa que los octoniones forman un álgebra de composición . Las álgebras de dimensiones superiores definidas por la construcción de Cayley-Dickson (comenzando con los sedeniones ) no satisfacen esta propiedad. Todos ellos tienen cero divisores .

Existen sistemas numéricos más amplios que tienen un módulo multiplicativo (por ejemplo, sedeniones cónicos de 16 dimensiones). Su módulo se define de manera diferente a su norma y también contienen divisores cero.

Como lo muestra Hurwitz , R , C , H y O son las únicas álgebras de división normadas sobre números reales. Estas cuatro álgebras también forman las únicas álgebras de división de dimensión finita alternativas sobre los números reales ( hasta el isomorfismo).

Al no ser asociativos, los elementos distintos de cero de O no forman un grupo . Sin embargo, forman un bucle , específicamente un bucle Moufang .

Conmutador y producto cruzado

El conmutador de dos octoniones x e y viene dado por

${\displaystyle [x,y]=xy-yx.}$

Esto es antisimétrico e imaginario. Si se considera sólo como un producto en el subespacio imaginario Im( O ), define un producto en ese espacio, el producto cruz de siete dimensiones , dado por

${\displaystyle x\times y={\tfrac {1}{2}}(xy-yx).}$

Al igual que el producto vectorial en tres dimensiones , este es un vector ortogonal a xey con magnitud

${\displaystyle \|x\times y\|=\|x\|\|y\|\sin \theta .}$

Pero al igual que el producto octonión, no está definido de forma única. En cambio, existen muchos productos cruzados diferentes, cada uno de los cuales depende de la elección del producto octonión. ^[11]

Automorfismos

Un automorfismo , A , de los octoniones es una transformación lineal invertible de O que satisface

${\displaystyle A(xy)=A(x)A(y).}$

El conjunto de todos los automorfismos de O forma un grupo llamado G 2 . ^[12] El grupo G ₂ es un grupo de Lie real , compacto y simplemente conexo de dimensión 14. Este grupo es el más pequeño de los grupos de Lie excepcionales y es isomorfo al subgrupo de Spin(7) que conserva cualquier vector particular elegido en su Representación de espinor real en 8 dimensiones. El grupo Spin(7) es a su vez un subgrupo del grupo de isotopías que se describe a continuación.

Ver también : PSL(2,7) – el grupo de automorfismos del plano de Fano.

Isotopías

Una isotopía de un álgebra es un triple de aplicaciones lineales biyectivas a , b , c tales que si xy = z entonces a ( x ) b ( y ) = c ( z ) . Para a = b = c esto es lo mismo que un automorfismo. El grupo de isotopías de un álgebra es el grupo de todas las isotopías, que contiene al grupo de automorfismos como subgrupo.

El grupo de isotopía de los octoniones es el grupo Spin ₈ ( R ) , con a , b , c actuando como las tres representaciones de 8 dimensiones. ^[13] El subgrupo de elementos donde c fija la identidad es el subgrupo Spin ₇ ( R ) , y el subgrupo donde a , b , c todos fijan la identidad es el grupo de automorfismos G ₂ .

Aplicaciones

Los octoniones juegan un papel importante en la clasificación y construcción de otras entidades matemáticas. Por ejemplo, el grupo de Lie excepcional G 2 es el grupo de automorfismo de los octoniones, y los otros grupos de Lie excepcionales F 4 , E 6 , E 7 y E 8 pueden entenderse como las isometrías de ciertos planos proyectivos definidos utilizando los octoniones. ^[14] El conjunto de matrices octoniónicas 3 × 3 autoadjuntas , equipadas con un producto matricial simetrizado, define el álgebra de Albert . En matemáticas discretas , los octoniones proporcionan una derivación elemental de la red Leech y, por lo tanto, están estrechamente relacionados con los grupos simples esporádicos . ^{[15] [16]}

Las aplicaciones de los octoniones a la física han sido en gran medida conjeturales. Por ejemplo, en la década de 1970 se intentó comprender los quarks a través de un espacio octoniónico de Hilbert . ^[17] Se sabe que los octoniones, y el hecho de que sólo puedan existir cuatro álgebras de división normadas, se relaciona con las dimensiones del espacio-tiempo en las que se pueden construir teorías cuánticas de campos supersimétricas . ^{[18] [19]} Además, se ha intentado obtener el modelo estándar de física de partículas elementales a partir de construcciones octoniónicas, por ejemplo utilizando el "álgebra de Dixon" C ⊗ H ⊗ O . ^{[20] [21]}

Los octoniones también han surgido en el estudio de la entropía de los agujeros negros , la ciencia de la información cuántica , ^{[22] [23]} y la teoría de cuerdas . ^[24]

Los octoniones se han utilizado en soluciones al problema de calibración ojo-mano en robótica . ^[25]

Las redes de octoniones profundas proporcionan un medio de expresión eficiente y compacto en aplicaciones de aprendizaje automático. ^{[26] [27]}

Octoniones integrales

Hay varias formas naturales de elegir una forma integral de los octoniones. Lo más sencillo es simplemente tomar los octoniones cuyas coordenadas sean números enteros . Esto da un álgebra no asociativa sobre los números enteros llamados octoniones gravesianos. Sin embargo, no es un orden máximo (en el sentido de la teoría de anillos); hay exactamente siete órdenes máximos que lo contienen. Estos siete órdenes máximos son todos equivalentes bajo automorfismos. La frase "octoniones integrales" generalmente se refiere a una elección fija de uno de estos siete órdenes.

Estos órdenes máximos fueron construidos por Kirmse (1925) , Dickson y Bruck de la siguiente manera. Etiquete los ocho vectores base por los puntos de la línea proyectiva sobre el campo con siete elementos. Primera forma los "enteros Kirmse": estos consisten en octoniones cuyas coordenadas son números enteros o semienteros, y que son semienteros (es decir, mitades de números enteros impares) en uno de los 16 conjuntos. harvtxt error: no target: CITEREFKirmse1925 (help)

∅ (∞124) (∞235) (∞346) (∞450) (∞561) (∞602) (∞013) (∞0123456) (0356) (1460) (2501) (3612) (4023) (5134 ) (6245)

del código de residuo cuadrático extendido de longitud 8 sobre el campo de dos elementos, dado por ∅ , (∞124) y sus imágenes sumando una constante módulo 7, y los complementos de estos ocho conjuntos. Luego cambie el infinito y cualquier otra coordenada; esta operación crea una biyección de los enteros de Kirmse en un conjunto diferente, que es un orden máximo. Hay siete maneras de hacer esto, dando siete órdenes máximos, todos los cuales son equivalentes bajo permutaciones cíclicas de las siete coordenadas 0123456. (Kirmse afirmó incorrectamente que los enteros de Kirmse también forman un orden máximo, por lo que pensó que había ocho órdenes máximos en lugar de siete, pero como señaló Coxeter (1946) no están cerrados bajo la multiplicación; este error ocurre en varios artículos publicados).

Los enteros de Kirmse y los siete órdenes máximos son todos isométricos a la red E 8 reescalada por un factor de 1 ⁄ √ 2 . En particular, hay 240 elementos de norma mínima 1 distinta de cero en cada uno de estos órdenes, formando un bucle Moufang de orden 240.

Los octoniones integrales tienen una propiedad de "división con resto": dados octoniones integrales a y b ≠ 0 , podemos encontrar q y r con a = qb + r , donde el resto r tiene una norma menor que la de b .

En los octoniones integrales, todos los ideales de la izquierda y los ideales de la derecha son ideales de 2 lados, y los únicos ideales de 2 lados son los ideales principales nO donde n es un número entero no negativo.

Los octoniones integrales tienen una versión de factorización en números primos, aunque no es sencillo afirmarlo porque los octoniones no son asociativos, por lo que el producto de los octoniones depende del orden en que se hacen los productos. Los octoniones integrales irreducibles son exactamente los de norma prima, y ​​cada octonión integral puede escribirse como un producto de octoniones irreducibles. Más precisamente, un octonión integral de norma mn se puede escribir como un producto de octoniones integrales de normas m y n .

El grupo de automorfismo de los octoniones integrales es el grupo G ₂ ( F ₂ ) de orden 12.096, que tiene un subgrupo simple de índice 2 isomorfo al grupo unitario ² A ₂ (3 ² ) . El grupo de isotopías de los octoniones integrales es la doble cobertura perfecta del grupo de rotaciones de la red E ₈ .

Ver también

• Colector G2 _{_}
• álgebra de octonión
• Álgebra de Okubo
• Colector de giro (7)
• Girar(8)
• Octoniones divididas
• Trialidad

Notas

1. Sabadini, Irene; Shapiro, Michael; Sommen, Franciscus (21 de abril de 2009). Análisis hipercomplejo. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-3-7643-9893-4.
2. (Tumbas 1845)
3. Cayley, Arthur (1845), "Sobre las funciones elípticas de Jacobi, en respuesta al reverendo; y sobre los cuaterniones", Philosophical Magazine , 26 : 208–211, doi :10.1080/14786444508645107. Apéndice reimpreso en The Collected Mathematical Papers , Johnson Reprint Co., Nueva York, 1963, p. 127
4. Hamilton (1848), "Nota de Sir WR Hamilton, respetando las investigaciones de John T. Graves, Esq.", Transactions of the Royal Irish Academy , 21 : 338–341
5. G Gentili; C Stoppato; DC Struppa; F Vlacci (2009), "Desarrollos recientes para funciones regulares de una variable hipercompleja", en Irene Sabadini ; M Shapiro; F Sommen (eds.), Análisis hipercomplejo , Birkhäuser, p. 168, ISBN 978-3-7643-9892-7
6. LV Sabinin; L. Sbitneva; IP Shestakov (2006), "§17.2 Álgebra de octoniones y su representación bimódulo regular", Álgebra no asociativa y sus aplicaciones , CRC Press, p. 235, ISBN 0-8247-2669-3
7. Rafał Abłamowicz; Pertti Lounesto; Josep M. Parra (1996), "§ Cuatro numeraciones de bases ocotoniónicas", Álgebras de Clifford con cálculos numéricos y simbólicos , Birkhäuser, p. 202, ISBN 0-8176-3907-1
8. Jörg Schray; Corinne A. Manogue (enero de 1996), "Representaciones octoniónicas de las álgebras de Clifford y la trialidad", Foundations of Physics , 26 (1): 17–70, arXiv : hep-th/9407179 , Bibcode :1996FoPh...26... 17S, doi :10.1007/BF02058887, S2CID  119604596. Disponible como preimpresión de ArXive. La Figura 1 se encuentra aquí.
9. (Báez 2002, pag.6)
10. Tevian Dray y Corinne A Manogue (2004), "Capítulo 29: Uso de octoniones para describir partículas fundamentales", en Rafał Abłamowicz (ed.), Álgebras de Clifford: aplicaciones a las matemáticas, la física y la ingeniería , Birkhäuser , p. 452, ISBN 0-8176-3525-4Figura 29.1: Representación de la tabla de multiplicar en el plano proyectivo.
11. (Báez 2002, págs. 37-38)
12. (Conway y Smith 2003, capítulo 8.6)
13. (Conway y Smith 2003, capítulo 8)
14. Báez (2002), sección 4.
15. Wilson, Robert A. (15 de septiembre de 2009). "Octoniones y la red de sanguijuelas" (PDF) . Revista de Álgebra . 322 (6): 2186–2190. doi :10.1016/j.jalgebra.2009.03.021.
16. Wilson, Robert A. (13 de agosto de 2010). "El grupo de Conway y los octoniones" (PDF) . Revista de teoría de grupos . 14 : 1–8. doi :10.1515/jgt.2010.038. S2CID  16590883.
17. Gunaydin, M.; Gürsey, F. (1973). "Estructura de quarks y octoniones". Revista de Física Matemática . 14 (11): 1651-1667. Código bibliográfico : 1973JMP....14.1651G. doi :10.1063/1.1666240.
    Gunaydin, M.; Gürsey, F. (1974). "Estadísticas de quarks y octoniones". Revisión física D. 9 (12): 3387–3391. Código bibliográfico : 1974PhRvD...9.3387G. doi : 10.1103/PhysRevD.9.3387.
18. Kugo, Taichiro; Townsend, Paul (11 de julio de 1983). "Supersimetría y álgebras de división". Física Nuclear B. 221 (2): 357–380. Código bibliográfico : 1983NuPhB.221..357K. doi :10.1016/0550-3213(83)90584-9.
19. Báez, John C .; Huerta, Juan (2010). "División Álgebras y Supersimetría I". En Doran, R.; Friedman, G.; Rosenberg, J. (eds.). Supercuerdas, geometría, topología y álgebras C* . Sociedad Matemática Estadounidense . arXiv : 0909.0551 .
20. Wolchover, Natalie (20 de julio de 2018). "Las matemáticas peculiares que podrían subyacer a las leyes de la naturaleza". Revista Quanta . Consultado el 30 de octubre de 2018 .
21. Furey, Cohl (20 de julio de 2012). "Teoría unificada de los ideales". Revisión física D. 86 (2): 025024. arXiv : 1002.1497 . Código bibliográfico : 2012PhRvD..86b5024F. doi : 10.1103/PhysRevD.86.025024. S2CID  118458623.
    Furey, Cohl (10 de octubre de 2018). "Tres generaciones, dos simetrías de calibre ininterrumpidas y un álgebra de ocho dimensiones". Letras de Física B. 785 : 84–89. arXiv : 1910.08395 . Código Bib : 2018PhLB..785...84F. doi :10.1016/j.physletb.2018.08.032. S2CID  126205768.
    Stoica, OC (2018). "Leptones, quarks y calibre del álgebra compleja de Clifford ℓ ₆ ". Avances en álgebras de Clifford aplicadas . 28 : 52. arXiv : 1702.04336 . doi :10.1007/s00006-018-0869-4. S2CID  125913482. ${\displaystyle \mathbb {C} }$
    Gresnigt, Niels G. (21 de noviembre de 2017). Grupos cuánticos y grupos trenzados como simetrías fundamentales . Conferencia de la Sociedad Europea de Física sobre Física de Altas Energías, 5 a 12 de julio de 2017, Venecia, Italia. arXiv : 1711.09011 .
    Dixon, Geoffrey M. (1994). Álgebras de división: octoniones, cuaterniones, números complejos y diseño algebraico de la física . Springer-Verlag . doi :10.1007/978-1-4757-2315-1. ISBN 978-0-7923-2890-2. OCLC  30399883.
    Báez, John C. (29 de enero de 2011). "El triple camino (Parte 4)". El Café de categoría n . Consultado el 2 de noviembre de 2018 .
22. Borsten, Lerón; Dahanayake, Duminda; Duff, Michael J .; Ebrahim, Hayar; Rubens, Williams (2009). "Agujeros negros, qubits y octoniones". Informes de Física . 471 (3–4): 113–219. arXiv : 0809.4685 . Código bibliográfico : 2009PhR...471..113B. doi :10.1016/j.physrep.2008.11.002. S2CID  118488578.
23. Stacey, Blake C. (2017). "SIC esporádicos y álgebras de división normada". Fundamentos de la Física . 47 (8): 1060–1064. arXiv : 1605.01426 . Código Bib : 2017FoPh...47.1060S. doi :10.1007/s10701-017-0087-2. S2CID  118438232.
24. "Más allá del espacio y el tiempo: 8D: el paraíso de los surfistas". Científico nuevo .
25. Wu, J.; Sol, Y.; Wang y M.; Liu, M. (junio de 2020). "Calibración mano-ojo: enfoque de análisis de Procrustes 4-D". Transacciones IEEE sobre instrumentación y medición . 69 (6): 2966–81. Código Bib : 2020ITIM...69.2966W. doi :10.1109/TIM.2019.2930710. S2CID  201245901.
26. Wu, J.; Xu, L.; Wu, F.; Kong, Y.; Senhadji, L.; Shu, H. (2020). "Redes de octoniones profundas". Neurocomputación . 397 : 179-191. doi : 10.1016/j.neucom.2020.02.053 . S2CID  84186686. hal-02865295.
27. "Segmentación de desechos marinos utilizando una arquitectura basada en Octonion eficiente en parámetros | Revistas y revistas IEEE | ​​IEEE Xplore". ieeexplore.ieee.org . doi : 10.1109/lgrs.2023.3321177 . Consultado el 20 de enero de 2024 .

Referencias

• Báez, John C. (2002). "Los Octonions". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 39 (2): 145-205. arXiv : matemáticas/0105155 . doi :10.1090/S0273-0979-01-00934-X. ISSN  0273-0979. SEÑOR  1886087. S2CID  586512.
• Báez, John C. (2005). "Errata de Los Octonions" (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 42 (2): 213–214. doi : 10.1090/S0273-0979-05-01052-9 .
• Conway, John Horton ; Smith, Derek A. (2003), Sobre cuaterniones y octoniones: su geometría, aritmética y simetría , AK Peters, Ltd., ISBN 1-56881-134-9, Zbl  1098.17001. (Revisar).
• Coxeter, HSM (1946), "Números integrales de Cayley", Duke Math. J. , 13 (4): 561–578, doi :10.1215/s0012-7094-46-01347-6, SEÑOR  0019111
• Dixon, Geoffrey M. (1994), Álgebras de división: octoniones, cuaterniones, números complejos y diseño algebraico de la física , Kluvwer Academic Publishers, ISBN 0-7923-2890-6
• Freudenthal, Hans (1985) [1951], "Oktaven, Ausnahmegruppen und Oktavengeometrie", Geom. Dedicata , 19 (1): 7–63, doi :10.1007/BF00233101, SEÑOR  0797151, S2CID  121496094
• Graves (1845), "Sobre una conexión entre la teoría general de parejas normales y la teoría de funciones cuadráticas completas de dos variables", Phil. revista , 26 : 315–320, doi : 10.1080/14786444508645136
• Kirmse (1924), "Über die Darstellbarkeit natürlicher ganzer Zahlen als Summen von acht Quadraten und über ein mit diesem Problem zusammenhängendes nichtkommutatives und nichtassoziatives Zahlensystem", Ber. Verh. Sächs. Akád. Wiss. Leipzig. Matemáticas. Física. kl. , 76 : 63–82
• Lahti, Usko (2015), Prof. Corvus Adamas: Luvut ja todistusmenetelmät. Johdanto matematiikan perusteisiin innokkaiden opiskelijoiden seurassa. , Helsinki: libros a la carta, ISBN 978-952-318-558-6
• Salzmann, Helmut; Betten, Dieter; Grundhofer, Theo; Hähl, Hermann; Lowen, Rainer; Stroppel, Markus (1995), Planos proyectivos compactos, con una introducción a la geometría de Octonion , Exposiciones de De Gruyter en matemáticas, Walter de Gruyter, ISBN 3-11-011480-1, ISSN  0938-6572, OCLC  748698685
• van der Blij, F. (1961), "Historia de las octavas", Simon Stevin , 34 : 106–125, SEÑOR  0130283

enlaces externos

• Koutsoukou-Argyraki, Angeliki. Octonions (Desarrollo de pruebas formales en Isabelle/HOL, Archivo de Pruebas Formales)
• "Números de Cayley", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Wilson, RA (2008), Octonions (PDF) , notas del seminario de Matemática Pura