En matemáticas , un álgebra de octoniones o álgebra de Cayley sobre un campo F es un álgebra de composición sobre F que tiene dimensión 8 sobre F. En otras palabras, es un álgebra unital no asociativa de 8 dimensiones A sobre F con una forma cuadrática no degenerada N (llamada forma normativa ) tal que
para todo x e y en A .
El ejemplo más conocido de álgebra de octoniones son los octoniones clásicos , que son un álgebra de octoniones sobre R , el campo de los números reales . Los octoniones divididos también forman un álgebra de octoniones sobre R . Hasta el isomorfismo del álgebra R , estas son las únicas álgebras de octoniones sobre los reales. El álgebra de bioctoniones es el álgebra de octoniones sobre los números complejos C.
El álgebra de octoniones para N es un álgebra de división si y sólo si la forma N es anisotrópica . Un álgebra de octonión dividido es aquel para el cual la forma cuadrática N es isotrópica (es decir, existe un vector x distinto de cero con N ( x ) = 0). Hasta el isomorfismo del álgebra F , existe un álgebra de octonión dividida única sobre cualquier campo F. [1] Cuando F es algebraicamente cerrado o un campo finito , estas son las únicas álgebras de octoniones sobre F.
Las álgebras de octonión siempre son no asociativas. Son, sin embargo, álgebras alternativas , siendo la alternatividad una forma más débil de asociatividad. Además, las identidades de Moufang se mantienen en cualquier álgebra de octoniones. De ello se deduce que los elementos invertibles en cualquier álgebra de octoniones forman un bucle de Moufang , al igual que los elementos de norma unitaria.
La construcción de álgebras de octoniones generales sobre un campo arbitrario k fue descrita por Leonard Dickson en su libro Algebren und ihre Zahlentheorie (1927) (página 264) y repetida por Max Zorn . [2] El producto depende de la selección de a γ de k . Dados q y Q de un álgebra de cuaterniones sobre k , el octonión se escribe q + Q e. Otro octonión puede escribirse r + R e. Luego, con * que denota la conjugación en el álgebra de cuaterniones, su producto es
La descripción en alemán de Zorn de esta construcción de Cayley-Dickson contribuyó al uso persistente de este epónimo que describe la construcción de álgebras de composición .
Cohl Furey ha propuesto que las álgebras de octoniones se pueden utilizar en un intento de conciliar componentes del modelo estándar . [3]
Es un teorema de Adolf Hurwitz que las clases de isomorfismo F de la forma normativa están en correspondencia uno a uno con las clases de isomorfismo de las álgebras F del octonión . Además, las posibles formas normativas son exactamente las 3 formas de Pfister sobre F . [4]
Dado que dos álgebras F de octonión cualesquiera se vuelven isomorfas sobre la clausura algebraica de F , se pueden aplicar las ideas de la cohomología no abeliana de Galois . En particular, al utilizar el hecho de que el grupo de automorfismo de los octoniones divididos es el grupo algebraico dividido G 2 , se ve la correspondencia de las clases de isomorfismo de las álgebras F de octoniones con las clases de isomorfismo de G 2 - torsores sobre F . Estas clases de isomorfismo forman el conjunto de cohomología de Galois no abeliano . [5]
