matriz normal

Matriz que conmuta con su transpuesta conjugada

En matemáticas, una matriz cuadrada compleja A es normal si conmuta con su transpuesta conjugada A ^* :

${\displaystyle A{\text{ normal}}\iff A^{*}A=AA^{*}.}$

El concepto de matrices normales se puede extender a operadores normales en espacios normados de dimensión infinita y a elementos normales en C*-álgebras . Como en el caso de la matriz, la normalidad significa que la conmutatividad se preserva, en la medida de lo posible, en el entorno no conmutativo. Esto hace que los operadores normales y los elementos normales de las álgebras C* sean más susceptibles de análisis.

El teorema espectral establece que una matriz es normal si y sólo si es unitariamente similar a una matriz diagonal y, por lo tanto, cualquier matriz A que satisfaga la ecuación A ^* A = AA ^* es diagonalizable . (Lo contrario no se cumple porque las matrices diagonalizables pueden tener espacios propios no ortogonales). Así y donde es una matriz diagonal cuyos valores diagonales son en general complejos. ${\displaystyle A=UDU^{*}}$ ${\displaystyle A^{*}=UD^{*}U^{*}}$ ${\displaystyle D}$

Los vectores singulares izquierdo y derecho en la descomposición de valores singulares de una matriz normal difieren sólo en fase compleja entre sí y de los vectores propios correspondientes, ya que la fase debe factorizarse a partir de los valores propios para formar valores singulares. ${\displaystyle A=UDV^{*}}$

Casos especiales

Entre las matrices complejas, todas las matrices unitarias , hermitianas y sesgadas-hermitianas son normales, siendo todos los valores propios módulo unitario, real e imaginario, respectivamente. Del mismo modo, entre las matrices reales, todas las matrices ortogonales , simétricas y simétricas sesgadas son normales, siendo todos los valores propios pares conjugados complejos en el círculo unitario, real e imaginario, respectivamente. Sin embargo, no es cierto que todas las matrices normales sean unitarias o (sesgadas) hermitianas, ya que sus valores propios pueden ser cualquier número complejo, en general. Por ejemplo,

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{bmatrix}}}$$

${\displaystyle 2,(1\pm i{\sqrt {3}})/2}$

$${\displaystyle AA^{*}={\begin{bmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{bmatrix}}=A^{*}A.}$$

Consecuencias

Proposición  :  una matriz triangular normal es diagonal .

Prueba

Sea A cualquier matriz triangular superior normal. Desde

$${\displaystyle (A^{*}A)_{ii}=(AA^{*})_{ii},}$$

usando la notación de subíndice, se puede escribir la expresión equivalente usando en su lugar el i -ésimo vector unitario ( ) para seleccionar la i -ésima fila y la i -ésima columna: ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}$

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}^{\intercal }\left(A^{*}A\right){\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\hat {\mathbf {e} }}_{i}^{\intercal }\left(AA^{*}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{i}.}$$

La expresion

$${\displaystyle \left(A{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)^{*}\left(A{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)=\left(A^{*}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)^{*}\left(A^{*}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)}$$

es equivalente, y también lo es

$${\displaystyle \left\|A{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right\|^{2}=\left\|A^{*}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right\|^{2},}$$

lo que muestra que la i- ésima fila debe tener la misma norma que la i -ésima columna.

Considere i = 1 . La primera entrada de la fila 1 y la columna 1 son iguales y el resto de la columna 1 es cero (debido a la triangularidad). Esto implica que la primera fila debe ser cero para las entradas 2 a n . Continuando con este argumento para los pares fila-columna 2 a n se muestra que A es diagonal. QED

El concepto de normalidad es importante porque las matrices normales son precisamente aquellas a las que se aplica el teorema espectral :

Proposición  :  una matriz A es normal si y solo si existe una matriz diagonal Λ y una matriz unitaria U tal que A = U Λ U ^* .

Las entradas diagonales de Λ son los valores propios de A y las columnas de U son los vectores propios de A. Los valores propios coincidentes en Λ vienen en el mismo orden en que los vectores propios están ordenados como columnas de U.

Otra forma de enunciar el teorema espectral es decir que las matrices normales son precisamente aquellas matrices que pueden representarse mediante una matriz diagonal con respecto a una base ortonormal de C ⁿ elegida adecuadamente . Dicho de otra manera: una matriz es normal si y sólo si sus espacios propios abarcan C ⁿ y son ortogonales por pares con respecto al producto interno estándar de C ⁿ .

El teorema espectral para matrices normales es un caso especial de la descomposición de Schur más general que se cumple para todas las matrices cuadradas. Sea A una matriz cuadrada. Luego, por descomposición de Schur , es unitaria similar a una matriz triangular superior, digamos, B. Si A es normal, B también lo es . Pero entonces B debe ser diagonal, porque, como se señaló anteriormente, una matriz triangular superior normal es diagonal.

El teorema espectral permite clasificar matrices normales en términos de sus espectros, por ejemplo:

Proposición  :  una matriz normal es unitaria si y sólo si todos sus valores propios (su espectro) se encuentran en el círculo unitario del plano complejo.

Proposición  :  una matriz normal es autoadjunta si y sólo si su espectro está contenido en . En otras palabras: Una matriz normal es hermitiana si y sólo si todos sus valores propios son reales . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

En general, no es necesario que la suma o el producto de dos matrices normales sea normal. Sin embargo, se cumple lo siguiente:

Proposición  :  si A y B son normales con AB = BA , entonces tanto AB como A + B también son normales. Además existe una matriz unitaria U tal que UAU ^* y UBU ^* son matrices diagonales. En otras palabras, A y B son simultáneamente diagonalizables .

En este caso especial, las columnas de U ^* son vectores propios tanto de A como de B y forman una base ortonormal en C ⁿ . Esto se logra combinando los teoremas de que, sobre un campo algebraicamente cerrado, las matrices conmutadoras son simultáneamente triangularizables y una matriz normal es diagonalizable; el resultado agregado es que ambas pueden realizarse simultáneamente.

Definiciones equivalentes

Es posible dar una lista bastante larga de definiciones equivalentes de una matriz normal. Sea A una matriz compleja de n × n . Entonces los siguientes son equivalentes:

1. A es normal.
2. A es diagonalizable por una matriz unitaria.
3. Existe un conjunto de vectores propios de A que forma una base ortonormal para C ⁿ .
4. ${\displaystyle \left\|A\mathbf {x} \right\|=\left\|A^{*}\mathbf {x} \right\|}$por cada x .
5. La norma de Frobenius de A se puede calcular mediante los valores propios de A : . ${\textstyle \operatorname {tr} \left(A^{*}A\right)=\sum _{j}\left|\lambda _{j}\right|^{2}}$
6. La parte hermitiana1/2( A + A ^* ) y parte sesgada-hermitiana1/2( A − A ^* ) de A conmutar.
7. A ^* es un polinomio (de grado ≤ n − 1 ) en A . ^[a]
8. A ^* = AU para alguna matriz unitaria U . ^[1]
9. U y P conmutan, donde tenemos la descomposición polar A = UP con una matriz unitaria U y alguna matriz semidefinida positiva P .
10. A conmuta con alguna matriz normal N con distintos valores propios ^{[ se necesita aclaración ]} .
11. σ _yo = | λ _yo | para todo 1 ≤ i ≤ n donde A tiene valores singulares σ ₁ ≥ ⋯ ≥ σ _n y tiene valores propios que están indexados con ordenamiento | λ1 |_​ ≥ ⋯ ≥ | λ _norte | . ^[2]

Algunos de los anteriores, pero no todos, se generalizan a operadores normales en espacios de Hilbert de dimensión infinita. Por ejemplo, un operador acotado que satisface (9) es sólo cuasinormal .

Analogía de la matriz normal

En ocasiones es útil (pero a veces engañoso) pensar en las relaciones de tipos especiales de matrices normales como análogas a las relaciones del tipo correspondiente de números complejos de los que se componen sus valores propios. Esto se debe a que cualquier función de una matriz no defectuosa actúa directamente sobre cada uno de sus valores propios, y la transpuesta conjugada de su descomposición espectral es , donde está la matriz diagonal de valores propios. Asimismo, si dos matrices normales conmutan y, por tanto, son simultáneamente diagonalizables, cualquier operación entre estas matrices también actúa sobre cada par correspondiente de valores propios. ${\displaystyle VDV^{*}}$ ${\displaystyle VD^{*}V^{*}}$ ${\displaystyle D}$

• La transpuesta conjugada es análoga al conjugado complejo .
• Las matrices unitarias son análogas a los números complejos en el círculo unitario .
• Las matrices hermitianas son análogas a los números reales .
• Las matrices definidas positivas hermitianas son análogas a los números reales positivos .
• Las matrices sesgadas hermitianas son análogas a los números puramente imaginarios .
• Las matrices invertibles son análogas a los números complejos distintos de cero .
• La inversa de una matriz tiene cada valor propio invertido.
• Una matriz de escala uniforme es análoga a un número constante.
• En particular, el cero es análogo a 0, y
• la matriz identidad es análoga a 1.
• Una matriz idempotente es una proyección ortogonal con cada valor propio 0 o 1.
• Una involución normal tiene valores propios . ${\displaystyle \pm 1}$

Como caso especial, los números complejos pueden incrustarse en las matrices reales normales de 2 × 2 mediante el mapeo

$${\displaystyle a+bi\mapsto {\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}}=a\,{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+b\,{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}\,.}$$

Ver también

• matriz hermitiana
• Matriz normal de mínimos cuadrados

Notas

1. Prueba: cuando sea normal, use la fórmula de interpolación de Lagrange para construir un polinomio tal que , ¿dónde están los valores propios de ? ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\overline {\lambda _{j}}}=P(\lambda _{j})}$ ${\displaystyle \lambda _{j}}$ ${\displaystyle A}$

Citas

1. Cuerno y Johnson (1985), pág. 109
2. Cuerno y Johnson (1991), pág. 157

Fuentes

• Cuerno, Roger Alan ; Johnson, Charles Royal (1985), Análisis matricial , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6.
• Cuerno, Roger Alan ; Johnson, Charles Royal (1991). Temas de análisis matricial . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-30587-7.