En matemáticas, una matriz cuadrada compleja A es normal si conmuta con su transpuesta conjugada A * :
El concepto de matrices normales se puede extender a operadores normales en espacios normados de dimensión infinita y a elementos normales en C*-álgebras . Como en el caso de la matriz, la normalidad significa que la conmutatividad se preserva, en la medida de lo posible, en el entorno no conmutativo. Esto hace que los operadores normales y los elementos normales de las álgebras C* sean más susceptibles de análisis.
El teorema espectral establece que una matriz es normal si y sólo si es unitariamente similar a una matriz diagonal y, por lo tanto, cualquier matriz A que satisfaga la ecuación A * A = AA * es diagonalizable . (Lo contrario no se cumple porque las matrices diagonalizables pueden tener espacios propios no ortogonales). Así y donde es una matriz diagonal cuyos valores diagonales son en general complejos.
Los vectores singulares izquierdo y derecho en la descomposición de valores singulares de una matriz normal difieren sólo en fase compleja entre sí y de los vectores propios correspondientes, ya que la fase debe factorizarse a partir de los valores propios para formar valores singulares.
Entre las matrices complejas, todas las matrices unitarias , hermitianas y sesgadas-hermitianas son normales, siendo todos los valores propios módulo unitario, real e imaginario, respectivamente. Del mismo modo, entre las matrices reales, todas las matrices ortogonales , simétricas y simétricas sesgadas son normales, siendo todos los valores propios pares conjugados complejos en el círculo unitario, real e imaginario, respectivamente. Sin embargo, no es cierto que todas las matrices normales sean unitarias o (sesgadas) hermitianas, ya que sus valores propios pueden ser cualquier número complejo, en general. Por ejemplo, no es unitario, hermitiano ni sesgado-hermitiano, porque sus valores propios son ; sin embargo es normal porque
Proposición : una matriz triangular normal es diagonal .
Sea A cualquier matriz triangular superior normal. Dado que se utiliza la notación de subíndices, se puede escribir la expresión equivalente utilizando en su lugar el i -ésimo vector unitario ( ) para seleccionar la i -ésima fila y la i -ésima columna: La expresión es equivalente, y también lo es
lo que muestra que la i- ésima fila debe tener la misma norma que la i -ésima columna.Considere i = 1 . La primera entrada de la fila 1 y la columna 1 son iguales y el resto de la columna 1 es cero (debido a la triangularidad). Esto implica que la primera fila debe ser cero para las entradas 2 a n . Continuando con este argumento para los pares fila-columna 2 a n se muestra que A es diagonal. QED
El concepto de normalidad es importante porque las matrices normales son precisamente aquellas a las que se aplica el teorema espectral :
Proposición : una matriz A es normal si y solo si existe una matriz diagonal Λ y una matriz unitaria U tal que A = U Λ U * .
Las entradas diagonales de Λ son los valores propios de A y las columnas de U son los vectores propios de A. Los valores propios coincidentes en Λ vienen en el mismo orden en que los vectores propios están ordenados como columnas de U.
Otra forma de enunciar el teorema espectral es decir que las matrices normales son precisamente aquellas matrices que pueden representarse mediante una matriz diagonal con respecto a una base ortonormal de C n elegida adecuadamente . Dicho de otra manera: una matriz es normal si y sólo si sus espacios propios abarcan C n y son ortogonales por pares con respecto al producto interno estándar de C n .
El teorema espectral para matrices normales es un caso especial de la descomposición de Schur más general que se cumple para todas las matrices cuadradas. Sea A una matriz cuadrada. Luego, por descomposición de Schur , es unitaria similar a una matriz triangular superior, digamos, B. Si A es normal, B también lo es . Pero entonces B debe ser diagonal, porque, como se señaló anteriormente, una matriz triangular superior normal es diagonal.
El teorema espectral permite clasificar matrices normales en términos de sus espectros, por ejemplo:
Proposición : una matriz normal es unitaria si y sólo si todos sus valores propios (su espectro) se encuentran en el círculo unitario del plano complejo.
Proposición : una matriz normal es autoadjunta si y sólo si su espectro está contenido en . En otras palabras: Una matriz normal es hermitiana si y sólo si todos sus valores propios son reales .
En general, no es necesario que la suma o el producto de dos matrices normales sea normal. Sin embargo, se cumple lo siguiente:
Proposición : si A y B son normales con AB = BA , entonces tanto AB como A + B también son normales. Además existe una matriz unitaria U tal que UAU * y UBU * son matrices diagonales. En otras palabras, A y B son simultáneamente diagonalizables .
En este caso especial, las columnas de U * son vectores propios tanto de A como de B y forman una base ortonormal en C n . Esto se logra combinando los teoremas de que, sobre un campo algebraicamente cerrado, las matrices conmutadoras son simultáneamente triangularizables y una matriz normal es diagonalizable; el resultado agregado es que ambas pueden realizarse simultáneamente.
Es posible dar una lista bastante larga de definiciones equivalentes de una matriz normal. Sea A una matriz compleja de n × n . Entonces son equivalentes los siguientes:
Algunos de los anteriores, pero no todos, se generalizan a operadores normales en espacios de Hilbert de dimensión infinita. Por ejemplo, un operador acotado que satisface (9) es sólo cuasinormal .
En ocasiones es útil (pero a veces engañoso) pensar en las relaciones de tipos especiales de matrices normales como análogas a las relaciones del tipo correspondiente de números complejos de los que se componen sus valores propios. Esto se debe a que cualquier función de una matriz no defectuosa actúa directamente sobre cada uno de sus valores propios, y la transpuesta conjugada de su descomposición espectral es , donde está la matriz diagonal de valores propios. Asimismo, si dos matrices normales conmutan y, por tanto, son simultáneamente diagonalizables, cualquier operación entre estas matrices también actúa sobre cada par correspondiente de valores propios.
Como caso especial, los números complejos pueden incluirse en las matrices reales normales de 2 × 2 mediante el mapeo que preserva la suma y la multiplicación. Es fácil comprobar que esta incorporación respeta todas las analogías anteriores.