En teoría de probabilidad y estadística direccional , una distribución normal envuelta es una distribución de probabilidad envuelta que resulta de la "envoltura" de la distribución normal alrededor del círculo unitario . Encuentra aplicación en la teoría del movimiento browniano y es una solución a la ecuación del calor para condiciones de contorno periódicas . Se aproxima mucho a la distribución de von Mises , que, debido a su simplicidad matemática y manejabilidad, es la distribución más comúnmente utilizada en estadística direccional. [1]
Definición
La función de densidad de probabilidad de la distribución normal envuelta es [2]
donde μ y σ son la media y la desviación estándar de la distribución desdoblada, respectivamente. Expresando la función de densidad anterior en términos de la función característica de la distribución normal se obtiene: [2]
¿Dónde está la función theta de Jacobi , dada por
- y
La distribución normal envuelta también puede expresarse en términos del producto triple de Jacobi : [3]
donde y
Momentos
En términos de la variable circular, los momentos circulares de la distribución normal envuelta son la función característica de la distribución normal evaluada en argumentos enteros:
donde es un intervalo de longitud . El primer momento es entonces el valor medio de z , también conocido como resultante media o vector resultante medio:
El ángulo medio es
y la longitud de la resultante media es
La desviación estándar circular, que es una medida útil de dispersión para la distribución normal envuelta y su pariente cercano, la distribución de von Mises , viene dada por:
Estimación de parámetros
Se puede utilizar una serie de N mediciones z n = e iθ n extraídas de una distribución normal envuelta para estimar ciertos parámetros de la distribución. El promedio de la serie z se define como
y su valor esperado será solo el primer momento:
En otras palabras, z es un estimador insesgado del primer momento. Si suponemos que la media μ se encuentra en el intervalo [− π , π ), entonces Arg z será un estimador (sesgado) de la media μ .
Considerando z n como un conjunto de vectores en el plano complejo, la estadística R 2 es el cuadrado de la longitud del vector promedio:
y su valor esperado es:
En otras palabras, la estadística
será un estimador insesgado de e − σ 2 , y ln(1/ R e 2 ) será un estimador (sesgado) de σ 2
Entropía
La entropía de información de la distribución normal envuelta se define como: [2]
donde es cualquier intervalo de longitud . Definiendo y , la representación del producto triple de Jacobi para la normal envuelta es:
donde es la función de Euler . El logaritmo de la densidad de la distribución normal envuelta se puede escribir:
Usando la expansión de la serie para el logaritmo:
Las sumas logarítmicas pueden escribirse como:
de modo que el logaritmo de densidad de la distribución normal envuelta se puede escribir como:
que es esencialmente una serie de Fourier en . Utilizando la representación de función característica para la distribución normal envuelta en el lado izquierdo de la integral:
La entropía se puede escribir:
que puede integrarse para obtener:
Véase también
Referencias
- Borradaile, Graham (2003). Estadísticas de datos de ciencias de la tierra. Saltador. ISBN 978-3-540-43603-4. Consultado el 31 de diciembre de 2009 .
- Fisher, NI (1996). Análisis estadístico de datos circulares. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-56890-6. Consultado el 9 de febrero de 2010 .
- Breitenberger, Ernst (1963). "Análogos de la distribución normal en el círculo y la esfera". Biometrika . 50 (1/2): 81–88. doi :10.2307/2333749. JSTOR 2333749.
Enlaces externos
- Matemáticas y estadísticas de valores circulares con C++11, una infraestructura C++11 para matemáticas y estadísticas de valores circulares (ángulos, hora del día, etc.)