Norma de campo

En matemáticas , la norma (de campo) es una aplicación particular definida en la teoría de campos , que asigna elementos de un campo más grande a un subcampo.

Definición formal

Sea K un campo y L una extensión finita (y por tanto una extensión algebraica ) de K.

El campo L es entonces un espacio vectorial de dimensión finita sobre K.

Multiplicación por α , un elemento de L ,

${\displaystyle m_{\alpha }\colon L\to L}$

${\displaystyle m_{\alpha }(x)=\alpha x}$,

es una transformación K - lineal de este espacio vectorial en sí mismo.

La norma , N _{L / K} ( α ), se define como el determinante de esta transformación lineal . ^[1]

Si L / K es una extensión de Galois , se puede calcular la norma de α ∈ L como el producto de todos los conjugados de Galois de α :

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\prod _{\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)}\sigma (\alpha ),}$

donde Gal( L / K ) denota el grupo de Galois de L / K . ^[2] (Tenga en cuenta que puede haber una repetición en los términos del producto).

Para una extensión de campo general L / K , y α distinto de cero en L , sean σ ₁ ( α ), ..., σ _n ( α ) las raíces del polinomio mínimo de α sobre K (raíces enumeradas con multiplicidad y que se encuentran en algún campo de extensión de L ); entonces

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\left(\prod _{j=1}^{n}\sigma _{j}(\alpha )\right)^{[L:K(\alpha )]}}$.

Si L / K es separable , entonces cada raíz aparece sólo una vez en el producto (aunque el exponente, el grado [ L : K ( α )], todavía puede ser mayor que 1).

Ejemplos

Extensiones de campos cuadráticos

Uno de los ejemplos básicos de normas proviene de las extensiones de campo cuadrático donde es un entero libre de cuadrados. ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle a}$

Entonces, el mapa de multiplicación por un elemento es ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ ${\displaystyle x+y\cdot {\sqrt {a}}}$

${\displaystyle {\sqrt {a}}\cdot (x+y\cdot {\sqrt {a}})=y\cdot a+x\cdot {\sqrt {a}}.}$

El elemento puede ser representado por el vector ${\displaystyle x+y\cdot {\sqrt {a}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},}$

ya que existe una descomposición de suma directa como un espacio vectorial. ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})=\mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {a}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

La matriz de es entonces ${\displaystyle m_{\sqrt {a}}}$

${\displaystyle m_{\sqrt {a}}={\begin{bmatrix}0&a\\1&0\end{bmatrix}}}$

y la norma es , ya que es el determinante de esta matriz . ${\displaystyle N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q} }({\sqrt {a}})=-a}$

Norma de Q(√2)

Consideremos el campo numérico . ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$

El grupo de Galois de sobre tiene orden y está generado por el elemento que envía a . Por lo que la norma de es: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle d=2}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle (1+{\sqrt {2}})(1-{\sqrt {2}})=-1.}$

La norma de campo también se puede obtener sin el grupo de Galois .

Fije una base de , digamos: ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$

${\displaystyle \{1,{\sqrt {2}}\}}$.

Luego la multiplicación por el número envía ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$

1 a y ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$a . ${\displaystyle 2+{\sqrt {2}}}$

Entonces el determinante de "multiplicar por " es el determinante de la matriz que envía el vector ${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$(correspondiente al primer elemento base, es decir, 1) a , ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}$(correspondiente al segundo elemento base, es decir, ) a , ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}}$

verbigracia.:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\1&1\end{bmatrix}}.}$

El determinante de esta matriz es −1.

pag-th extensiones de campo raíz

Otra clase fácil de ejemplos proviene de extensiones de campo de la forma donde la factorización prima de no contiene potencias -ésimas, para un primo impar fijo. ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{a}})/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

La función de multiplicación de un elemento es ${\displaystyle {\sqrt[{p}]{a}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{\sqrt[{p}]{a}}(x)&={\sqrt[{p}]{a}}\cdot (a_{0}+a_{1}{\sqrt[{p}]{a}}+a_{2}{\sqrt[{p}]{a^{2}}}+\cdots +a_{p-1}{\sqrt[{p}]{a^{p-1}}})\\&=a_{0}{\sqrt[{p}]{a}}+a_{1}{\sqrt[{p}]{a^{2}}}+a_{2}{\sqrt[{p}]{a^{3}}}+\cdots +a_{p-1}a\end{aligned}}}$

dando la matriz

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0&a\\1&0&\cdots &0&0\\0&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}}$

El determinante da la norma

${\displaystyle N_{\mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{a}})/\mathbb {Q} }({\sqrt[{p}]{a}})=(-1)^{p-1}a=a.}$

Números complejos sobre los reales

La norma de campo de los números complejos a los números reales envía

x + iy

a

x2 + y2 ,^​​

porque el grupo de Galois de sobre tiene dos elementos, ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• El elemento de identidad y
• conjugación compleja,

y tomando el producto se obtiene ( x + iy )( x − iy ) = x ² + y ² .

Campos finitos

Sea L = GF( q ⁿ ) una extensión finita de un campo finito K = GF( q ).

Como L / K es una extensión de Galois , si α está en L , entonces la norma de α es el producto de todos los conjugados de Galois de α , es decir ^[3]

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha )=\alpha \cdot \alpha ^{q}\cdot \alpha ^{q^{2}}\cdots \alpha ^{q^{n-1}}=\alpha ^{(q^{n}-1)/(q-1)}.}$

En esta configuración tenemos las propiedades adicionales, ^[4]

• ${\displaystyle \forall \alpha \in L,\quad \operatorname {N} _{L/K}(\alpha ^{q})=\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )}$
• ${\displaystyle \forall a\in K,\quad \operatorname {N} _{L/K}(a)=a^{n}.}$

Propiedades de la norma

Varias propiedades de la función norma se cumplen para cualquier extensión finita. ^{[5] [6]}

Homomorfismo de grupo

La norma N _{L / K}  : L * → K * es un homomorfismo de grupo del grupo multiplicativo de L al grupo multiplicativo de K , es decir

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(\alpha \beta )=\operatorname {N} _{L/K}(\alpha )\operatorname {N} _{L/K}(\beta ){\text{ for all }}\alpha ,\beta \in L^{*}.}$

Además, si a en K :

${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a\alpha )=a^{[L:K]}\operatorname {N} _{L/K}(\alpha ){\text{ for all }}\alpha \in L.}$

Si a ∈ K entonces ${\displaystyle \operatorname {N} _{L/K}(a)=a^{[L:K]}.}$

Composición con extensiones de campo

Además, la norma se comporta bien en torres de campos :

Si M es una extensión finita de L , entonces la norma de M a K es simplemente la composición de la norma de M a L con la norma de L a K , es decir

${\displaystyle \operatorname {N} _{M/K}=\operatorname {N} _{L/K}\circ \operatorname {N} _{M/L}.}$

Reducción de la norma

La norma de un elemento en una extensión de campo arbitraria se puede reducir a un cálculo más sencillo si ya se conoce el grado de la extensión de campo . Esto es

${\displaystyle N_{L/K}(\alpha )=N_{K(\alpha )/K}(\alpha )^{[L:K(\alpha )]}}$^[6]

Por ejemplo, para el campo de extensión , la norma de es ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3}),K=\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3})/\mathbb {Q} }({\sqrt {2}})&=N_{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }({\sqrt {2}})^{[\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},\zeta _{3}):\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})]}\\&=(-2)^{2}\\&=4\end{aligned}}}$

ya que el grado de la extensión del campo es . ${\displaystyle L/K(\alpha )}$ ${\displaystyle 2}$

Detección de unidades

Para el anillo de números enteros de un cuerpo de números algebraicos , un elemento es una unidad si y sólo si . ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle N_{K/\mathbb {Q} }(\alpha )=\pm 1}$

Por ejemplo

${\displaystyle N_{\mathbb {Q} (\zeta _{3})/\mathbb {Q} }(\zeta _{3})=1}$

dónde

${\displaystyle \zeta _{3}^{3}=1}$.

Por tanto, cualquier cuerpo numérico cuyo anillo de números enteros lo contenga lo tiene como unidad. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle \zeta _{3}}$

Otras propiedades

La norma de un entero algebraico es nuevamente un entero, porque es igual (hasta el signo) al término constante del polinomio característico.

En la teoría algebraica de números se definen también normas para ideales . Esto se hace de tal manera que si I es un ideal distinto de cero de O _K , el anillo de números enteros del cuerpo de números K , N ( I ) es el número de clases de residuos en  – es decir, la cardinalidad de este anillo finito . Por lo tanto, esta norma ideal es siempre un entero positivo. ${\displaystyle O_{K}/I}$

Cuando I es un ideal principal αO _K entonces N ( I ) es igual al valor absoluto de la norma a Q de α , para α un entero algebraico .

Véase también

• Rastro de campo
• Norma ideal
• Forma de la norma

Notas

1. Rotman 2002, pág. 940
2. Rotman 2002, pág. 943
3. Lidl y Niederreiter 1997, pág. 57
4. Mullen y Panario 2013, pag. 21
5. Romano 2006, pág. 151
6. Oggier. Introducción a la teoría algebraica de números (PDF) . p. 15. Archivado desde el original (PDF) el 23 de octubre de 2014 . Consultado el 28 de marzo de 2020 .

Referencias

• Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1997) [1983], Campos finitos , Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones, vol. 20 (segunda edición), Cambridge University Press , ISBN 0-521-39231-4, Zbl  0866.11069
• Mullen, Gary L.; Panario, Daniel (2013), Manual de campos finitos , CRC Press, ISBN 978-1-4398-7378-6
• Roman, Steven (2006), Teoría de campos , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 158 (segunda edición), Springer, Capítulo 8, ISBN 978-0-387-27677-9, Zbl1172.12001 ​
• Rotman, Joseph J. (2002), Álgebra moderna avanzada , Prentice Hall, ISBN 978-0-13-087868-7