En física matemática , la teoría cuántica de campos no conmutativa (o teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo no conmutativo) es una aplicación de las matemáticas no conmutativas al espacio-tiempo de la teoría cuántica de campos que es una consecuencia de la geometría no conmutativa y la teoría de índices en la que las funciones de coordenadas [1] son no conmutativas . Una versión comúnmente estudiada de tales teorías tiene la relación de conmutación "canónica":
donde y son los generadores hermíticos de un álgebra no conmutativa de "funciones en el espacio-tiempo". Esto significa que (con cualquier conjunto de ejes dado), es imposible medir con precisión la posición de una partícula con respecto a más de un eje. De hecho, esto conduce a una relación de incertidumbre para las coordenadas análoga al principio de incertidumbre de Heisenberg .
Se han afirmado varios límites inferiores para la escala no conmutativa (es decir, la precisión con la que se pueden medir las posiciones), pero actualmente no hay evidencia experimental que favorezca dicha teoría ni motivos para descartarla.
Una de las características novedosas de las teorías de campos no conmutativos es el fenómeno de mezcla UV/IR [2] en el que la física a altas energías afecta a la física a bajas energías, lo que no ocurre en las teorías cuánticas de campos en las que las coordenadas conmutan.
Otras características incluyen la violación de la invariancia de Lorentz debido a la dirección preferida de la no conmutatividad. Sin embargo, la invariancia relativista puede conservarse en el sentido de la invariancia de Poincaré torcida de la teoría. [3] La condición de causalidad se modifica con respecto a la de las teorías conmutativas.
Heisenberg fue el primero en sugerir la extensión de la no conmutatividad a las coordenadas como una forma posible de eliminar las cantidades infinitas que aparecen en las teorías de campo antes de que se desarrollara el procedimiento de renormalización y hubiera ganado aceptación. El primer artículo sobre el tema fue publicado en 1947 por Hartland Snyder . El éxito del método de renormalización resultó en que se le prestara poca atención al tema durante algún tiempo. En la década de 1980, los matemáticos, más notablemente Alain Connes , desarrollaron la geometría no conmutativa . Entre otras cosas, este trabajo generalizó la noción de estructura diferencial a un entorno no conmutativo. Esto condujo a una descripción algebraica de operadores de los espacio-tiempos no conmutativos , con el problema de que corresponde clásicamente a una variedad con tensor métrico definido positivamente , de modo que no hay una descripción de causalidad (no conmutativa) en este enfoque. Sin embargo, también condujo al desarrollo de una teoría de Yang-Mills sobre un toro no conmutativo .
La comunidad de física de partículas se interesó en el enfoque no conmutativo debido a un artículo de Nathan Seiberg y Edward Witten [4] . Argumentaron en el contexto de la teoría de cuerdas que las funciones de coordenadas de los puntos finales de cuerdas abiertas restringidas a una D-brana en presencia de un campo B de Neveu-Schwarz constante (equivalente a un campo magnético constante en la brana) satisfarían el álgebra no conmutativa establecida anteriormente. La implicación es que una teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo no conmutativo puede interpretarse como un límite de baja energía de la teoría de cuerdas abiertas.
Dos artículos, uno de Sergio Doplicher , Klaus Fredenhagen y John Roberts [5] y el otro de DV Ahluwalia [6], exponen otra motivación para la posible no conmutatividad del espacio-tiempo. Los argumentos son los siguientes: según la relatividad general , cuando la densidad de energía crece lo suficiente, se forma un agujero negro . Por otro lado, según el principio de incertidumbre de Heisenberg , una medición de una separación espacio-temporal causa una incertidumbre en el momento inversamente proporcional a la extensión de la separación. Así, la energía cuya escala corresponde a la incertidumbre en el momento se localiza en el sistema dentro de una región correspondiente a la incertidumbre en la posición. Cuando la separación es lo suficientemente pequeña, se alcanza el radio de Schwarzschild del sistema y se forma un agujero negro , lo que impide que cualquier información escape del sistema. Por lo tanto, existe un límite inferior para la medición de la longitud. Una condición suficiente para prevenir el colapso gravitacional puede expresarse como una relación de incertidumbre para las coordenadas. Esta relación puede, a su vez, derivarse de una relación de conmutación para las coordenadas.
Vale la pena destacar que, a diferencia de otros enfoques, en particular aquellos que se basan en las ideas de Connes, aquí el espacio-tiempo no conmutativo es un espacio-tiempo propio, es decir, extiende la idea de una variedad pseudo-riemanniana de cuatro dimensiones . Por otro lado, a diferencia de la geometría no conmutativa de Connes, el modelo propuesto resulta ser dependiente de las coordenadas desde cero. En el artículo de Doplicher Fredenhagen Roberts, la no conmutatividad de las coordenadas concierne a las cuatro coordenadas del espacio-tiempo y no solo a las espaciales.
![{\displaystyle [x^{\mu },x^{\nu }]=i\theta ^{\mu \nu }\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76cbe8280e325a601937b8a0fca528a0a3e7dd87)
