Grupo de automorfismos

Grupo matemático formado a partir de los automorfismos de un objeto

En matemáticas , el grupo de automorfismos de un objeto X es el grupo formado por los automorfismos de X bajo composición de morfismos . Por ejemplo, si X es un espacio vectorial de dimensión finita , entonces el grupo de automorfismos de X es el grupo de transformaciones lineales invertibles de X a sí mismo (el grupo lineal general de X ). Si, en cambio, X es un grupo, entonces su grupo de automorfismos es el grupo formado por todos los automorfismos de grupo de X. ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$

En contextos geométricos, en particular, un grupo de automorfismos también se denomina grupo de simetría . A un subgrupo de un grupo de automorfismos a veces se le denomina grupo de transformación .

Los grupos de automorfismos se estudian de forma general en el campo de la teoría de categorías .

Ejemplos

Si X es un conjunto sin estructura adicional, entonces cualquier biyección de X sobre sí mismo es un automorfismo, y por lo tanto el grupo de automorfismos de X en este caso es precisamente el grupo simétrico de X . Si el conjunto X tiene estructura adicional, entonces puede darse el caso de que no todas las biyecciones sobre el conjunto conserven esta estructura, en cuyo caso el grupo de automorfismos será un subgrupo del grupo simétrico sobre X . Algunos ejemplos de esto incluyen los siguientes:

• El grupo de automorfismos de una extensión de campo es el grupo que consiste en automorfismos de campo de L que fijan K. Si la extensión de campo es Galois , el grupo de automorfismos se denomina grupo de Galois de la extensión de campo. ${\displaystyle L/K}$
• El grupo de automorfismos del espacio n proyectivo sobre un cuerpo k es el grupo lineal proyectivo ^[1] ${\displaystyle \operatorname {PGL} _{n}(k).}$
• El grupo de automorfismos de un grupo cíclico finito de orden n es isomorfo a , el grupo multiplicativo de números enteros módulo n , con el isomorfismo dado por . ^[2] En particular, es un grupo abeliano . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$ ${\displaystyle {\overline {a}}\mapsto \sigma _{a}\in G,\,\sigma _{a}(x)=x^{a}}$ ${\displaystyle G}$
• El grupo de automorfismos de un álgebra de Lie real de dimensión finita tiene la estructura de un grupo de Lie (real) (de hecho, es incluso un grupo algebraico lineal : véase más abajo). Si G es un grupo de Lie con álgebra de Lie , entonces el grupo de automorfismos de G tiene una estructura de un grupo de Lie inducido a partir de la del grupo de automorfismos de . ^{[3] [4] [a]} ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Si G es un grupo que actúa sobre un conjunto X , la acción equivale a un homomorfismo de grupo de G al grupo de automorfismos de X y viceversa. En efecto, cada G -acción izquierda sobre un conjunto X determina , y, viceversa, cada homomorfismo define una acción por . Esto se extiende al caso en el que el conjunto X tiene más estructura que un simple conjunto. Por ejemplo, si X es un espacio vectorial, entonces una acción de grupo de G sobre X es una representación de grupo del grupo G , que representa a G como un grupo de transformaciones lineales (automorfismos) de X ; estas representaciones son el principal objeto de estudio en el campo de la teoría de la representación . ${\displaystyle G\to \operatorname {Aut} (X),\,g\mapsto \sigma _{g},\,\sigma _{g}(x)=g\cdot x}$ ${\displaystyle \varphi :G\to \operatorname {Aut} (X)}$ ${\displaystyle g\cdot x=\varphi (g)x}$

A continuación se presentan algunos otros datos sobre los grupos de automorfismos:

• Sean dos conjuntos finitos de la misma cardinalidad y el conjunto de todas las biyecciones . Entonces , que es un grupo simétrico (ver arriba), actúa sobre desde la izquierda libre y transitivamente ; es decir, es un torsor para (cf. #En teoría de categorías). ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ ${\displaystyle A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$
• Sea P un módulo proyectivo finitamente generado sobre un anillo R . Entonces hay una incrustación , única hasta los automorfismos internos . ^[5] ${\displaystyle \operatorname {Aut} (P)\hookrightarrow \operatorname {GL} _{n}(R)}$

En la teoría de categorías

Los grupos de automorfismos aparecen de forma muy natural en la teoría de categorías .

Si X es un objeto de una categoría, entonces el grupo de automorfismos de X es el grupo que consiste en todos los morfismos invertibles desde X hasta sí mismo. Es el grupo unitario del monoide de endomorfismos de X. (Para algunos ejemplos, véase PROP .)

Si son objetos de alguna categoría, entonces el conjunto de todos es un torsor izquierdo . En términos prácticos, esto dice que una elección diferente de un punto base de difiere inequívocamente por un elemento de , o que cada elección de un punto base es precisamente una elección de una trivialización del torsor. ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ ${\displaystyle A\mathrel {\overset {\sim }{\to }} B}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Iso} (A,B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (B)}$

Si y son objetos en categorías y , y si es un funtor que asigna a , entonces induce un homomorfismo de grupo , ya que asigna morfismos invertibles a morfismos invertibles. ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle F:C_{1}\to C_{2}}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (X_{1})\to \operatorname {Aut} (X_{2})}$

En particular, si G es un grupo visto como una categoría con un único objeto * o, más generalmente, si G es un grupoide, entonces cada funtor , C una categoría, se llama una acción o una representación de G sobre el objeto , o los objetos . Se dice entonces que esos objetos son -objetos (ya que son actuados por ); cf. -objeto . Si es una categoría de módulo como la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita, entonces los -objetos también se llaman -módulos. ${\displaystyle F:G\to C}$ ${\displaystyle F(*)}$ ${\displaystyle F(\operatorname {Obj} (G))}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {S} }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Functor del grupo de automorfismos

Sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo k que está dotado de alguna estructura algebraica (es decir, M es un álgebra de dimensión finita sobre k ). Puede ser, por ejemplo, un álgebra asociativa o un álgebra de Lie . ${\displaystyle M}$

Ahora, considere k - aplicaciones lineales que preservan la estructura algebraica: forman un subespacio vectorial de . El grupo unitario de es el grupo de automorfismos . Cuando se elige una base en M , es el espacio de matrices cuadradas y es el conjunto cero de algunas ecuaciones polinómicas , y la invertibilidad se describe nuevamente mediante polinomios. Por lo tanto, es un grupo algebraico lineal sobre k . ${\displaystyle M\to M}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (M)}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (M)}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$

Ahora bien, las extensiones de base aplicadas a la discusión anterior determinan un funtor: ^[6] es decir, para cada anillo conmutativo R sobre k , considérense las aplicaciones R -lineales que preservan la estructura algebraica: denotándola por . Entonces, el grupo unitario del anillo de matrices sobre R es el grupo de automorfismos y es un funtor de grupo : un funtor de la categoría de anillos conmutativos sobre k a la categoría de grupos . Mejor aún, se representa mediante un esquema (ya que los grupos de automorfismos se definen mediante polinomios): este esquema se llama esquema de grupo de automorfismos y se denota por . ${\displaystyle M\otimes R\to M\otimes R}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M\otimes R)}$ ${\displaystyle \operatorname {End} _{\text{alg}}(M\otimes R)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (M\otimes R)}$ ${\displaystyle R\mapsto \operatorname {Aut} (M\otimes R)}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$

En general, sin embargo, un funtor de grupo de automorfismos no puede representarse mediante un esquema.

Véase también

• Grupo de automorfismos externos
• Estructura de niveles , una técnica para eliminar un grupo de automorfismos
• Grupo de holonomía

Notas

1. Primero, si G es simplemente conexo, el grupo de automorfismos de G es el de . Segundo, cada grupo de Lie conexo tiene la forma donde es un grupo de Lie simplemente conexo y C es un subgrupo central y el grupo de automorfismos de G es el grupo de automorfismos de que preserva C . Tercero, por convención, un grupo de Lie es segundo contable y tiene como máximo un número contable de componentes conexos; por lo tanto, el caso general se reduce al caso conexo. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {G}}/C}$ ${\displaystyle {\widetilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$

Citas

1. Hartshorne 1977, Cap. II, Ejemplo 7.1.1.
2. Dummit & Foote 2004, § 2.3. Ejercicio 26.
3. Hochschild, G. (1952). "El grupo de automorfismos de un grupo de Lie". Transactions of the American Mathematical Society . 72 (2): 209–216. JSTOR  1990752.
4. Fulton y Harris 1991, Ejercicio 8.28.
5. Milnor 1971, Lema 3.2.
6. Waterhouse 2012, § 7.6.

Referencias

• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3.ª ed.). Wiley . ISBN 978-0-471-43334-7.
• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas. Vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. Sr.  1153249. OCLC  246650103.
• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, Sr.  0463157
• Milnor, John Willard (1971). Introducción a la teoría K algebraica. Annals of Mathematics Studies. Vol. 72. Princeton, NJ: Princeton University Press . ISBN 9780691081014. Sr.  0349811. Zbl  0237.18005.
• Waterhouse, William C. (2012) [1979]. Introducción a los esquemas de grupos afines. Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 66. Springer Verlag. ISBN 9781461262176.

Enlaces externos

• https://mathoverflow.net/questions/55042/automorphism-group-of-a-scheme