Muro–Sol–Sol principal

Un cierto tipo de número primo cuya existencia se supone, pero del que todavía no se ha encontrado ningún ejemplo.

En teoría de números , un primo Wall-Sun-Sun o primo Fibonacci-Wieferich es un cierto tipo de número primo cuya existencia se supone, aunque no se conoce ninguno.

Definición

Sea un número primo. Cuando cada término de la secuencia de números de Fibonacci se reduce módulo , el resultado es una secuencia periódica . La longitud del período (mínima) de esta secuencia se denomina período de Pisano y se denota . Como , se deduce que p divide a . Un primo p tal que p ² divide a 2 se denomina primo Wall–Sun–Sol . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \pi (p)}$ ${\displaystyle F_{0}=0}$ ${\displaystyle F_{\pi (p)}}$ ${\displaystyle F_{\pi (p)}}$

Definiciones equivalentes

Si denota el rango de aparición módulo (es decir, es el índice positivo más pequeño tal que divide a ), entonces un primo Wall–Sol–Sol puede definirse de manera equivalente como un primo tal que divide a . ${\displaystyle \alpha (m)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \alpha (m)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle F_{\alpha (m)}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle F_{\alpha (p)}}$

Para un primo p ≠ 2, 5, se sabe que el rango de aparición divide , donde el símbolo de Legendre tiene los valores ${\displaystyle \alpha (p)}$ ${\displaystyle p-\left({\tfrac {p}{5}}\right)}$ ${\displaystyle \textstyle \left({\frac {p}{5}}\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {p}{5}}\right)={\begin{cases}1&{\text{if }}p\equiv \pm 1{\pmod {5}};\\-1&{\text{if }}p\equiv \pm 2{\pmod {5}}.\end{cases}}}$

Esta observación da lugar a una caracterización equivalente de los primos Wall–Sun–Sun como primos tales que dividen el número de Fibonacci . ^[1] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}}$

Un primo es un primo Muro–Sol–Sol si y sólo si . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \pi (p^{2})=\pi (p)}$

Un primo es un primo Wall–Sol–Sol si y solo si , donde es el -ésimo número de Lucas . ^{[2] : 42} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L_{p}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}}$ ${\displaystyle L_{p}}$ ${\displaystyle p}$

McIntosh y Roettger establecen varias caracterizaciones equivalentes de los primos de Lucas-Wieferich . ^[3] En particular, sea ; entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle \epsilon =\left({\tfrac {p}{5}}\right)}$

• ${\displaystyle F_{p-\epsilon }\equiv 0{\pmod {p^{2}}}}$
• ${\displaystyle L_{p-\epsilon }\equiv 2\epsilon {\pmod {p^{4}}}}$
• ${\displaystyle L_{p-\epsilon }\equiv 2\epsilon {\pmod {p^{3}}}}$
• ${\displaystyle F_{p}\equiv \epsilon {\pmod {p^{2}}}}$
• ${\displaystyle L_{p}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}}$

Existencia

Problema sin resolver en matemáticas :

¿Existen primos Wall–Sol–Sol? Si es así, ¿existen infinitos?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

En un estudio del período Pisano , Donald Dines Wall determinó que no existen primos Wall–Sol–Sol menores que . En 1960, escribió: ^[4] ${\displaystyle k(p)}$ ${\displaystyle 10000}$

El problema más desconcertante que hemos encontrado en este estudio se refiere a la hipótesis . Hemos realizado una prueba en una computadora digital que muestra que para todos hasta ; sin embargo, no podemos probar que sea imposible. La pregunta está estrechamente relacionada con otra, "¿puede un número tener el mismo orden módulo y módulo ?", para la cual casos raros dan una respuesta afirmativa (por ejemplo, ; ); por lo tanto, se podría conjeturar que la igualdad puede cumplirse para algún . ${\displaystyle k(p^{2})\neq k(p)}$ ${\displaystyle k(p^{2})\neq k(p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 10000}$ ${\displaystyle k(p^{2})=k(p)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{2}}$ ${\displaystyle x=3,p=11}$ ${\displaystyle x=2,p=1093}$ ${\displaystyle p}$

Desde entonces se ha conjeturado que hay infinitos primos Wall–Sol–Sol. ^[5]

En 2007, Richard J. McIntosh y Eric L. Roettger demostraron que, si existen, deben ser > 2 × 10¹⁴ . ^[3] Dorais y Klyve ampliaron este rango a 9,7 × 10¹⁴ sin encontrar tal primo. ^[6]

En diciembre de 2011, el proyecto PrimeGrid inició otra búsqueda , ^[7] sin embargo, se suspendió en mayo de 2017. ^[8] En noviembre de 2020, PrimeGrid inició otro proyecto que busca primos de Wieferich y Wall–Sol–Sol simultáneamente. ^[9] El proyecto finalizó en diciembre de 2022, lo que demuestra definitivamente que cualquier primo de Wall–Sol–Sol debe superar (aproximadamente ). ^[10] ${\displaystyle 2^{64}}$ ${\displaystyle 18\cdot 10^{18}}$

Historia

Los primos Wall–Sun–Sun reciben su nombre de Donald Dines Wall , ^{[4] [11]} Zhi Hong Sun y Zhi Wei Sun ; ZH Sun y ZW Sun demostraron en 1992 que si el primer caso del Último Teorema de Fermat era falso para un cierto primo p , entonces p tendría que ser un primo Wall–Sun–Sun. ^[12] Como resultado, antes de la prueba del Último Teorema de Fermat de Andrew Wiles , la búsqueda de primos Wall–Sun–Sun era también la búsqueda de un contraejemplo potencial a esta conjetura de siglos de antigüedad .

Generalizaciones

Un primo tribonacci–Wieferich es un primo p que satisface h ( p ) = h ( p ² ) , donde h es el menor entero positivo que satisface [ T _h , T _{h +1} , T _{h +2} ] ≡ [ T ₀ , T ₁ , T ₂ ] (mod m ) y T _n denota el n -ésimo número de tribonacci . No existe ningún primo tribonacci–Wieferich por debajo de 10 ¹¹ . ^[13]

Un primo de Pell–Wieferich es un primo p que satisface que p ² divide a P _{p −1} , cuando p es congruente con 1 o 7 (mod 8), o que p ² divide a P _{p +1} , cuando p es congruente con 3 o 5 (mod 8), donde P _n denota el n - ésimo número de Pell . Por ejemplo, 13, 31 y 1546463 son primos de Pell–Wieferich, y ningún otro por debajo de 10 ⁹ (secuencia A238736 en la OEIS ). De hecho, los primos de Pell–Wieferich son primos 2-Wall–Sun–Sol.

Primos cerca de la pared–Sol–Sol

Un primo p tal que con un | A | pequeño se llama primo cercano a la pared–Sol–Sol . ^[3] Los primos cercanos a la pared–Sol–Sol con A = 0 serían primos cercano a la pared–Sol–Sol. PrimeGrid registró casos con | A | ≤ 1000. ^[14] Se conocen una docena de casos donde A = ±1 (secuencia A347565 en la OEIS ). ${\displaystyle F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}\equiv Ap{\pmod {p^{2}}}}$

Primos Wall–Sun–Sol con discriminanteD

Los primos Wall–Sol–Sol pueden considerarse para el campo con discriminante D . Para los primos Wall–Sol–Sol convencionales, D = 5. En el caso general, un primo Lucas–Wieferich p asociado con ( P , Q ) es un primo Wieferich en base Q y un primo Wall–Sol–Sol con discriminante D = P ² – 4 Q . ^[1] En esta definición, el primo p debe ser impar y no dividir a D . ${\displaystyle Q_{\sqrt {D}}}$

Se conjetura que para cada número natural D , hay infinitos primos Wall–Sun–Sun con discriminante D .

El caso de corresponde a los primos k -Wall–Sun–Sun , para los cuales los primos Wall–Sun–Sun representan el caso especial k = 1. Los primos k -Wall–Sun–Sun pueden definirse explícitamente como primos p tales que p ² divide al número k -Fibonacci , donde F _k ( n ) = U _n ( k , −1) es una sucesión de Lucas de primera clase con discriminante D = k ² + 4 y es el periodo de Pisano de los números k -Fibonacci módulo p . ^[15] Para un primo p ≠ 2 y que no divide a D , esta condición es equivalente a cualquiera de las siguientes. ${\displaystyle (P,Q)=(k,-1)}$ ${\displaystyle F_{k}(\pi _{k}(p))}$ ${\displaystyle \pi _{k}(p)}$

• p ² divide , donde es el símbolo de Kronecker ; ${\displaystyle F_{k}\left(p-\left({\tfrac {D}{p}}\right)\right)}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {D}{p}}\right)}$
• V _p ( k , −1) ≡ k (mod p ² ), donde V _n ( k , −1) es una secuencia de Lucas de segundo tipo.

Los primos k -Wall–Sun–Sol más pequeños para k = 2, 3, ... son

13, 241, 2, 3, 191, 5, 2, 3, 2683, ... (secuencia A271782 en la OEIS )

Véase también

• Primer ministro de Wieferich
• Wolstenholme prima
• Wilson primo
• Red principal
• Fibonacci primo
• Período pisano
• Tabla de congruencias

Referencias

1. A.-S. Elsenhans, J. Jahnel (2010). "La secuencia de Fibonacci módulo p ² -- Una investigación por computadora para p < 10 ¹⁴ ". arXiv : 1006.0824 [math.NT].
2. Andrejić, V. (2006). "Sobre los poderes de Fibonacci" (PDF) . Univ. Publ. de Beogrado. Electrotehn. Falso. Ser. Estera . 17 (17): 38–44. doi :10.2298/PETF0617038A. S2CID  41226139.
3. McIntosh, RJ; Roettger, EL (2007). "Una búsqueda de primos de Fibonacci−Wieferich y Wolstenholme" (PDF) . Matemáticas de la computación . 76 (260): 2087–2094. Bibcode :2007MaCom..76.2087M. doi : 10.1090/S0025-5718-07-01955-2 .
4. Wall, DD (1960), "Serie de Fibonacci módulo m", American Mathematical Monthly , 67 (6): 525–532, doi :10.2307/2309169, JSTOR  2309169
5. Klaška, Jiří (2007), "Breve comentario sobre los números primos de Fibonacci-Wieferich", Acta Mathematica Universitatis Ostraviensis , 15 (1): 21-25.
6. Dorais, FG; Klyve, DW (2010). "Cerca de Wieferich se prepara hasta 6,7 ​​× 1015" (PDF) .
7. Proyecto de búsqueda principal Wall–Sun–Sun en PrimeGrid
8. [1] en PrimeGrid
9. Tablones de mensajes: Wieferich y Wall-Sun-Sun Prime Search en PrimeGrid
10. Estado del subproyecto en PrimeGrid
11. Crandall, R.; Dilcher, K.; Pomerance, C. (1997). "Una búsqueda de primos de Wieferich y Wilson". Matemáticas de la computación . 66 (217): 447. Código Bibliográfico :1997MaCom..66..433C.
12. Sol, Zhi-Hong; Sun, Zhi-Wei (1992), "Los números de Fibonacci y el último teorema de Fermat" (PDF) , Acta Arithmetica , 60 (4): 371–388, doi : 10.4064/aa-60-4-371-388
13. Klaška, Jiří (2008). "Una búsqueda de números primos de Tribonacci-Wieferich". Acta Mathematica Universitatis Ostraviensis . 16 (1): 15-20.
14. Reginald McLean y PrimeGrid , Estadísticas mundiales
15. S. Falcon, A. Plaza (2009). " k -Secuencia de Fibonacci módulo m ". Caos, solitones y fractales . 41 (1): 497–504. Código Bibliográfico :2009CSF....41..497F. doi :10.1016/j.chaos.2008.02.014.

Lectura adicional

• Crandall, Richard E.; Pomerance, Carl (2001). Números primos: una perspectiva computacional . Springer. pág. 29. ISBN. 0-387-94777-9.
• Saha, Arpan; Karthik, CS (2011). "Algunas equivalencias de la conjetura de Wall–Sun–Sol primo". arXiv : 1102.1636 [math.NT].

Enlaces externos

• Chris Caldwell, The Prime Glossary: ​​Wall–Sun–Sun prime en las páginas Prime .
• Weisstein, Eric W. "Pared–Sol–Sol primo". MathWorld .
• Richard McIntosh, Estado de la búsqueda de primos entre Muro y Sol (octubre de 2003)
• Secuencia OEIS A000129 (primos p que dividen sus cocientes de Pell, donde el cociente de Pell de p es A000129(p - (2/p))/p y (2/p) es un símbolo de Jacobi)