número de markov

Solución a x² + y² + z² = 3xyz

Un  número de Markov o número de Markoff es un número entero positivo x , y o z que forma parte de una solución a la ecuación diofántica de Markov.

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz,\,}$

estudiado por Andrey Markoff  (1879, 1880).

Los primeros números de Markov son

1 , 2 , 5 , 13 , 29 , 34 , 89 , 169 , 194 , 233 , 433, 610, 985, 1325, ... (secuencia A002559 en el OEIS )

apareciendo como coordenadas de los triples de Markov

(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1 , 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (1, 233, 610), (2, 169 , 985), (13, 34, 1325), ...

Hay infinitos números de Markov y ternas de Markov.

árbol de markov

Los primeros niveles del árbol de números de Markov.

Hay dos formas sencillas de obtener una nueva tripleta de Markov a partir de una antigua ( x ,  y ,  z ). Primero, se pueden permutar los 3 números x , y , z , por lo que, en particular, se pueden normalizar los triples para que x  ≤  y  ≤  z . En segundo lugar, si ( x ,  y ,  z ) es una tripleta de Markov, entonces también lo es ( x ,  y , 3 xy  −  z ). Al aplicar esta operación dos veces se devuelve el mismo triple con el que se inició. Unir cada tripleta de Markov normalizada a las 1, 2 o 3 tripletas normalizadas que se pueden obtener a partir de esto da un gráfico que comienza en (1,1,1) como en el diagrama. Este gráfico está conectado ; en otras palabras, cada tripleta de Markov puede conectarse a (1,1,1) mediante una secuencia de estas operaciones. ^[1] Si comenzamos, por ejemplo, con (1, 5, 13) obtenemos sus tres vecinos (5, 13, 194) , (1, 13, 34) y (1, 2, 5) en el modelo de Markov. árbol si z se establece en 1, 5 y 13, respectivamente. Por ejemplo, comenzar con (1, 1, 2) e intercambiar y y z antes de cada iteración de la transformación enumera los triples de Markov con números de Fibonacci . Comenzando con ese mismo triplete e intercambiando x y z antes de cada iteración se obtienen los tripletes con números de Pell .

Todos los números de Markov en las regiones adyacentes a la región de 2 son números de Pell con índice impar (o números n tales que 2 n ²  − 1 es un cuadrado , OEIS : A001653 ), y todos los números de Markov en las regiones adyacentes a la región de 1 son Números de Fibonacci con índice impar ( OEIS : A001519 ). Por tanto, hay infinitas ternas de Markov de la forma

${\displaystyle (1,F_{2n-1},F_{2n+1}),\,}$

donde F _k es el késimo número de Fibonacci . Asimismo, hay infinitas ternas de Markov de la forma

${\displaystyle (2,P_{2n-1},P_{2n+1}),\,}$

donde Pk _es el késimo número de Pell . ^[2]

Otras propiedades

Aparte de las dos ternas singulares más pequeñas (1, 1, 1) y (1, 1, 2), cada terna de Markov consta de tres números enteros distintos. ^[3]

La conjetura de la unicidad , como señaló Frobenius en 1913, ^[4] establece que para un número de Markov c dado , hay exactamente una solución normalizada que tiene c como su elemento más grande: se han reclamado pruebas de esta conjetura , pero ninguna parece ser correcta. ^[5] Martin Aigner ^[6] examina varias variantes más débiles de la conjetura de la unicidad. Su conjetura del numerador fijo fue probada por Rabideau y Schiffler en 2020, ^[7] mientras que Lee, Li, Rabideau y Schiffler demostraron la conjetura del denominador fijo y la conjetura de la suma fija en 2023. ^[8]

Los números impares de Markov son 1 más que los múltiplos de 4, mientras que los números pares de Markov son 2 más que los múltiplos de 32. ^[9]

En su artículo de 1982, Don Zagier conjeturó que el enésimo número de Markov está dado asintóticamente por

${\displaystyle m_{n}={\tfrac {1}{3}}e^{C{\sqrt {n}}+o(1)}\quad {\text{with }}C=2.3523414972\ldots \,.}$

El error se representa a continuación. ${\displaystyle (\log(3m_{n})/C)^{2}-n}$

Error en la aproximación de números de Markov grandes

Además, señaló que , una aproximación de la ecuación diofántica original, equivale a f ( t ) = arcosh (3 t /2). ^[10] La conjetura fue probada ^{[ disputada ]} por Greg McShane e Igor Rivin en 1995 utilizando técnicas de geometría hiperbólica . ^[11] ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=3xyz+4/9}$ ${\displaystyle f(x)+f(y)=f(z)}$

El enésimo número de Lagrange se puede calcular a partir del enésimo número de Markov con la fórmula

${\displaystyle L_{n}={\sqrt {9-{4 \over {m_{n}}^{2}}}}.\,}$

Los números de Markov son sumas de pares de cuadrados (no únicos).

teorema de markov

Markoff (1879, 1880) demostró que si

${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$

es una forma cuadrática binaria indefinida con coeficientes reales y discriminante , entonces hay números enteros x ,  y para los cuales f toma un valor distinto de cero de valor absoluto como máximo ${\displaystyle D=b^{2}-4ac}$

${\displaystyle {\frac {\sqrt {D}}{3}}}$

a menos que f sea una forma de Markov : ^[12] una constante multiplicada por una forma

${\displaystyle px^{2}+(3p-2a)xy+(b-3a)y^{2}}$

tal que

${\displaystyle {\begin{cases}0<a<p/2,\\aq\equiv \pm r{\pmod {p}},\\bp-a^{2}=1,\end{cases}}}$

donde ( p ,  q ,  r ) es una tripleta de Markov.

matrices

Sea tr la función traza sobre matrices . Si X e Y están en SL ₂ ( ), entonces ${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle \operatorname {tr} (X)\operatorname {tr} (Y)\operatorname {tr} (XY)+\operatorname {tr} (XYX^{-1}Y^{-1})+2=\operatorname {tr} (X)^{2}+\operatorname {tr} (Y)^{2}+\operatorname {tr} (XY)^{2}}$

para que si entonces ${\textstyle \operatorname {tr} (XYX^{-1}Y^{-1})=-2}$

${\displaystyle \operatorname {tr} (X)\operatorname {tr} (Y)\operatorname {tr} (XY)=\operatorname {tr} (X)^{2}+\operatorname {tr} (Y)^{2}+\operatorname {tr} (XY)^{2}}$

En particular, si X e Y también tienen entradas enteras, entonces tr( X )/3, tr( Y )/3 y tr( XY )/3 son una tripleta de Markov. Si X ⋅ Y ⋅ Z  =  I entonces tr( XtY ) = tr( Z ), entonces más simétricamente si X , Y y Z están en SL ₂ ( ) con X ⋅ Y ⋅ Z  = I y el conmutador de dos de ellos tiene traza −2, entonces sus trazas/3 son una tripleta de Markov. ^[13] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Ver también

• espectro de Markov

Notas

1. Cassels (1957) p.28
2. OEIS : A030452 enumera los números de Markov que aparecen en soluciones donde uno de los otros dos términos es 5.
3. Cassels (1957) p.27
4. Frobenius, G. (1913). "Über die Markoffschen Zahlen". SB Preuss Akad. Wiss. : 458–487.
5. Chico (2004) p.263
6. Aigner, Martín (29 de julio de 2013). El teorema de Markov y los 100 años de la conjetura de unicidad: un viaje matemático desde los números irracionales hasta las coincidencias perfectas . Cham Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-319-00887-5.
7. Rabideau, Michelle; Schiffler, Ralf (2020). "Fracciones continuas y ordenamiento de los números de Markov". Avances en Matemáticas . 370 : 107231. arXiv : 1801.07155 . doi : 10.1016/j.aim.2020.107231.
8. Lee, Kyungyong; Li, Li; Rabideau, Michelle; Schiffler, Ralf (2023). "Sobre el orden de los números de Markov". Avances en Matemática Aplicada . 143 : 102453. doi : 10.1016/j.aam.2022.102453 .
9. Zhang, Ying (2007). "Congruencia y unicidad de ciertos números de Markov". Acta Aritmética . 128 (3): 295–301. arXiv : matemáticas/0612620 . Código Bib : 2007AcAri.128..295Z. doi :10.4064/aa128-3-7. SEÑOR  2313995. S2CID  9615526.
10. Zagier, Don B. (1982). "Sobre el número de números de calificación por debajo de un límite determinado". Matemáticas de la Computación . 160 (160): 709–723. doi : 10.2307/2007348 . JSTOR  2007348. SEÑOR  0669663.
11. Greg McShane; Ígor Rivin (1995). "Curvas simples sobre toros hiperbólicos". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias, Serie I. 320 (12).
12. Cassels (1957) p.39
13. Aigner, Martin (2013), "El árbol de Cohn", teorema de Markov y 100 años de la conjetura de unicidad , Springer, págs. 63–77, doi :10.1007/978-3-319-00888-2_4, ISBN 978-3-319-00887-5, señor  3098784.

Referencias

• Aigner, Martín (29 de julio de 2013). Teorema de Markov y 100 años de la conjetura de unicidad . Cham Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-319-00887-5.
• Cassels, JWS (1957). Una introducción a la aproximación diofántica . Cambridge Tracts en Matemáticas y Física Matemática. vol. 45. Prensa de la Universidad de Cambridge . Zbl  0077.04801.
• Cusick, Thomas; Flahive, María (1989). Los espectros de Markoff y Lagrange . Matemáticas. Encuestas y Monografías. vol. 30. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-1531-8. Zbl  0685.10023.
• Chico, Richard K. (2004). Problemas no resueltos en teoría de números . Springer-Verlag . págs. 263–265. ISBN 0-387-20860-7. Zbl  1058.11001.
• Malyshev, AV (2001) [1994], "Problema del espectro de Markov", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Markoff, A. "Sur les formes quadratiques binaires indéfinies". Annalen Matemáticas . Springer Berlín/Heidelberg. ISSN  0025-5831.

Markoff, A. (1879). "Primera memoria". Annalen Matemáticas . 15 (3–4): 381–406. doi :10.1007/BF02086269. S2CID  179177894.

Markoff, A. (1880). "Segunda memoria". Annalen Matemáticas . 17 (3): 379–399. doi :10.1007/BF01446234. S2CID  121616054.