espectro de Markov

En matemáticas, el espectro de Markov , ideado por Andrey Markov , es un conjunto complicado de números reales que surgen en las ecuaciones diofánticas de Markov y también en la teoría de la aproximación diofántica .

Caracterización de forma cuadrática.

Considere una forma cuadrática dada por f ( x , y ) = ax ² + bxy + cy ² y suponga que su discriminante es fijo, digamos igual a −1/4. En otras palabras, b ²  − 4 ac = 1.

Se puede preguntar por el valor mínimo alcanzado por cuando se evalúa en vectores distintos de cero de la grilla , y si este mínimo no existe, por el mínimo . ${\displaystyle \left\vert f(x,y)\right\vert }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$

El espectro de Markov M es el conjunto obtenido repitiendo esta búsqueda con diferentes formas cuadráticas con discriminante fijado en −1/4:

$${\displaystyle M=\left\{\left(\inf _{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}\smallsetminus \{(0,0)\}}|f(x,y)|\right)^{-1}:f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2},\ b^{2}-4ac=1\right\}}$$

espectro de Lagrange

Partiendo del teorema de Hurwitz sobre la aproximación diofántica, que cualquier número real tiene una secuencia de aproximaciones racionales m / n tendiendo a él con ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}},}$

es posible preguntar para cada valor de 1/ c con 1/ c ≥ √ 5 sobre la existencia de alguno para el cual ${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {c}{n^{2}}}}$

para tal secuencia, para la cual c es el mejor valor (máximo) posible. Tales 1/ c forman el espectro de Lagrange L , un conjunto de números reales de al menos √ 5 (que es el valor más pequeño del espectro). La formulación con el recíproco es incómoda, pero la definición tradicional lo invita; En cambio , mirar el conjunto de c permite una definición mediante un límite inferior . Para eso, considere

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }n^{2}\left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|,}$

donde m se elige como una función entera de n para que la diferencia sea mínima. Esta es una función de , y el recíproco del espectro de Lagrange es el rango de valores que toma en los números irracionales. ${\displaystyle \xi }$

Relación con el espectro de Markov

La parte inicial del espectro de Lagrange, es decir, la parte que se encuentra en el intervalo [ √ 5 , 3) , es igual al espectro de Markov. Los primeros valores son √ 5 , √ 8 , √ 221 /5, √ 1517 /13, ... ^[1] y el enésimo número de esta secuencia (es decir, el enésimo número de Lagrange ) se puede calcular a partir de n ésimo número de Markov por la fórmula

$${\displaystyle L_{n}={\sqrt {9-{4 \over {m_{n}}^{2}}}}.}$$

La constante de Freiman

${\displaystyle F={\frac {2\,221\,564\,096+283\,748{\sqrt {462}}}{491\,993\,569}}=4.5278295661\dots }$(secuencia A118472 en la OEIS ).

Los números reales mayores que F también son miembros del espectro de Markov. ^[2] Además, es posible demostrar que L está estrictamente contenido en M. ^[3]

Geometría del espectro de Markov y Lagrange.

Por un lado, la parte inicial del espectro de Markov y Lagrange que se encuentra en el intervalo [ √ 5 , 3) son ambas iguales y son un conjunto discreto. Por otro lado, la parte final de estos conjuntos que se encuentran después de la constante de Freiman también son iguales, pero un conjunto continuo. La geometría de la parte entre la parte inicial y la parte final tiene una estructura fractal, y puede verse como una transición geométrica entre la parte inicial discreta y la parte final continua. Esto se establece precisamente en el siguiente teorema: ^[4]

Teorema  :  dado , la dimensión de Hausdorff de es igual a la dimensión de Hausdorff de . Además, si d es la función definida como , donde dim _H denota la dimensión de Hausdorff, entonces d es continua y asigna R a [0,1]. ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L\cap (-\infty ,t)}$ ${\displaystyle M\cap (-\infty ,t)}$ ${\displaystyle d(t):=\dim _{H}(M\cap (-\infty ,t))}$

Ver también

• número de markov

Referencias

1. Cassels (1957) p.18
2. Constante Weisstein de Freiman, Eric W. "Constante de Freiman". De MathWorld—A Wolfram Web Resource), consultado el 26 de agosto de 2008.
3. Cusick, Thomas; Flahive, María (1989). "Comparación de los espectros de Markoff y Lagrange". Los espectros de Markoff y Lagrange . Encuestas y monografías matemáticas. vol. 30. págs. 35–45. doi :10.1090/surv/030/03. ISBN 9780821815311.
4. Moreira, Carlos Gustavo T. De A. (julio de 2018). "Propiedades geométricas de los espectros de Markov y Lagrange". Anales de Matemáticas . 188 (1): 145-170. arXiv : 1612.05782 . doi :10.4007/annals.2018.188.1.3. ISSN  0003-486X. JSTOR  10.4007/annals.2018.188.1.3. S2CID  15513612.

Otras lecturas

• Aigner, Martín (2013). El teorema de Markov y 100 años de la conjetura de unicidad: un viaje matemático desde los números irracionales hasta las coincidencias perfectas . Nueva York: Springer. ISBN 978-3-319-00887-5. OCLC  853659945.
• Conway, JH y Guy, RK El libro de los números. Nueva York: Springer-Verlag, págs. 188–189, 1996.
• Cusick, TW y Flahive, ME Los espectros de Markov y Lagrange. Providencia, Rhode Island: Amer. Matemáticas. Sociedad, 1989.
• Cassels, JWS (1957). Una introducción a la aproximación diofántica . Cambridge Tracts en Matemáticas y Física Matemática. vol. 45. Prensa de la Universidad de Cambridge . Zbl  0077.04801.

enlaces externos

• "Problema del espectro de Markov", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]