Número de Carmichael

Número compuesto en la teoría de números

En teoría de números , un número de Carmichael es un número compuesto que en aritmética modular satisface la relación de congruencia : ${\displaystyle n}$

${\displaystyle b^{n}\equiv b{\pmod {n}}}$

para todos los números enteros ⁠ ⁠ ${\displaystyle b}$ . ^[1] La relación también puede expresarse ^[2] en la forma:

${\displaystyle b^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}}$

para todos los números enteros que son primos entre sí con ⁠ ⁠ . Son infinitos en número. ^[3] ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n}$

Robert Daniel Carmichael

Constituyen los casos comparativamente raros en los que el inverso estricto del Pequeño Teorema de Fermat no se cumple. Este hecho impide el uso de ese teorema como una prueba absoluta de primalidad . ^[4]

Los números de Carmichael forman el subconjunto K ₁ de los números de Knödel .

Los números de Carmichael recibieron el nombre del matemático estadounidense Robert Carmichael por parte de Nicolaas Beeger , en 1950. Øystein Ore se había referido a ellos en 1948 como números con la "propiedad de Fermat", o " números F " para abreviar. ^[5]

Descripción general

El pequeño teorema de Fermat establece que si es un número primo , entonces para cualquier entero ⁠ ⁠ , el número es un múltiplo entero de ⁠ ⁠ . Los números de Carmichael son números compuestos que tienen la misma propiedad. Los números de Carmichael también se denominan pseudoprimos de Fermat o pseudoprimos absolutos de Fermat . Un número de Carmichael pasará una prueba de primalidad de Fermat para cada base relativamente prima al número, incluso aunque en realidad no sea primo. Esto hace que las pruebas basadas en el pequeño teorema de Fermat sean menos efectivas que las pruebas de primos probables fuertes, como la prueba de primalidad de Baillie-PSW y la prueba de primalidad de Miller-Rabin . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b^{p}-b}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle b}$

Sin embargo, ningún número de Carmichael es un pseudoprimo de Euler-Jacobi ni un pseudoprimo fuerte para cada base relativamente prima a él ^[6] por lo que, en teoría, una prueba de Euler o una prueba de primos probables fuerte podrían demostrar que un número de Carmichael es, de hecho, compuesto.

Arnault ^[7] da un número de Carmichael de 397 dígitos que es un pseudoprimo fuerte para todas las bases primas menores que 307: ${\displaystyle N}$

${\displaystyle N=p\cdot (313(p-1)+1)\cdot (353(p-1)+1)}$

dónde

${\displaystyle p=}$ 2 9674495668 6855105501 5417464290 5332730771 9917998530 4335099507 5531276838 7531717701 9959423859 6428121188 0336647542 1834556249 3168782883

es un primo de 131 dígitos. es el factor primo más pequeño de ⁠ ⁠ , por lo que este número de Carmichael también es un pseudoprimo (no necesariamente fuerte) para todas las bases menores que ⁠ ⁠ . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle p}$

A medida que los números se hacen más grandes, los números de Carmichael se vuelven cada vez más raros. Por ejemplo, hay 20.138.200 números de Carmichael entre 1 y 10 ²¹ (aproximadamente uno en 50 billones (5·10 ¹³ ) de números). ^[8]

El criterio de Korselt

Una definición alternativa y equivalente de los números de Carmichael la da el criterio de Korselt .

Teorema ( A. Korselt 1899): Un entero compuesto positivo es un número de Carmichael si y solo si es libre de cuadrados , y para todos los divisores primos de ⁠ ⁠ , es cierto que ⁠ ⁠ . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p-1\mid n-1}$

De este teorema se deduce que todos los números de Carmichael son impares , ya que cualquier número compuesto par que no tenga cuadrados (y por tanto tenga solo un factor primo de dos) tendrá al menos un factor primo impar, y por tanto da como resultado que un par divida a un impar, una contradicción. (La imparidad de los números de Carmichael también se deduce del hecho de que es un testigo de Fermat para cualquier número compuesto par). Del criterio también se deduce que los números de Carmichael son cíclicos . ^{[9] [10]} Además, se deduce que no hay números de Carmichael con exactamente dos divisores primos. ${\displaystyle p-1\mid n-1}$ ${\displaystyle -1}$

Descubrimiento

Los primeros siete números de Carmichael, desde 561 hasta 8911, fueron descubiertos por el matemático checo Václav Šimerka en 1885 ^[11] (precediendo así no solo a Carmichael sino también a Korselt, aunque Šimerka no encontró nada parecido al criterio de Korselt). ^[12] Sin embargo, su trabajo, publicado en la revista científica checa Časopis pro pěstování matematiky a fysiky , pasó desapercibido.

Václav Šimerka enumeró los primeros siete números de Carmichael

Korselt fue el primero que observó las propiedades básicas de los números de Carmichael, pero no dio ningún ejemplo.

Que 561 es un número de Carmichael se puede ver con el criterio de Korselt. De hecho, es libre de cuadrados y ⁠ ⁠ , y ⁠ ⁠ . Los siguientes seis números de Carmichael son (secuencia A002997 en la OEIS ): ${\displaystyle 561=3\cdot 11\cdot 17}$ ${\displaystyle 2\mid 560}$ ${\displaystyle 10\mid 560}$ ${\displaystyle 16\mid 560}$

${\displaystyle 1105=5\cdot 13\cdot 17\qquad (4\mid 1104;\quad 12\mid 1104;\quad 16\mid 1104)}$

${\displaystyle 1729=7\cdot 13\cdot 19\qquad (6\mid 1728;\quad 12\mid 1728;\quad 18\mid 1728)}$

${\displaystyle 2465=5\cdot 17\cdot 29\qquad (4\mid 2464;\quad 16\mid 2464;\quad 28\mid 2464)}$

${\displaystyle 2821=7\cdot 13\cdot 31\qquad (6\mid 2820;\quad 12\mid 2820;\quad 30\mid 2820)}$

${\displaystyle 6601=7\cdot 23\cdot 41\qquad (6\mid 6600;\quad 22\mid 6600;\quad 40\mid 6600)}$

${\displaystyle 8911=7\cdot 19\cdot 67\qquad (6\mid 8910;\quad 18\mid 8910;\quad 66\mid 8910).}$

En 1910, el propio Carmichael ^[13] también publicó el número más pequeño de ese tipo, 561, y los números recibieron posteriormente su nombre.

En 1939, Jack Chernick ^[14] demostró un teorema que puede utilizarse para construir un subconjunto de números de Carmichael. El número es un número de Carmichael si sus tres factores son todos primos. Si esta fórmula produce una cantidad infinita de números de Carmichael es una pregunta abierta (aunque está implícita en la conjetura de Dickson ). ${\displaystyle (6k+1)(12k+1)(18k+1)}$

Paul Erdős argumentó heurísticamente que debería haber infinitos números de Carmichael. En 1994, WR (Red) Alford , Andrew Granville y Carl Pomerance utilizaron un límite en la constante de Olson para demostrar que realmente existen infinitos números de Carmichael. Específicamente, demostraron que para , hay al menos números de Carmichael entre 1 y ⁠ ⁠ . ^[3] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n^{2/7}}$ ${\displaystyle n}$

Thomas Wright demostró que si y son primos entre sí, entonces hay infinitos números de Carmichael en la progresión aritmética ⁠ ⁠ , donde ⁠ ⁠ . ^[15] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle a+k\cdot m}$ ${\displaystyle k=1,2,\ldots }$

En 1992, Löh y Niebuhr hallaron algunos números de Carmichael muy grandes, incluido uno con 1.101.518 factores y más de 16 millones de dígitos. Este número se ha mejorado hasta 10.333.229.505 factores primos y 295.486.761.787 dígitos, ^[16] por lo que el mayor número de Carmichael conocido es mucho mayor que el mayor primo conocido .

Propiedades

Factorizaciones

Los números de Carmichael tienen al menos tres factores primos positivos. Los primeros números de Carmichael con factores primos son (secuencia A006931 en la OEIS ): ${\displaystyle k=3,4,5,\ldots }$

Los primeros números de Carmichael con 4 factores primos son (secuencia A074379 en la OEIS ):

El segundo número de Carmichael (1105) se puede expresar como la suma de dos cuadrados de más formas que cualquier otro número más pequeño. El tercer número de Carmichael (1729) es el número de Hardy-Ramanujan : el número más pequeño que se puede expresar como la suma de dos cubos (de números positivos) de dos formas diferentes.

Distribución

Sea el número de números de Carmichael menores o iguales a ⁠ ⁠ . La distribución de los números de Carmichael por potencias de 10 (secuencia A055553 en la OEIS ): ^[8] ${\displaystyle C(X)}$ ${\displaystyle X}$

En 1953, Knödel demostró el límite superior :

${\displaystyle C(X)<X\exp \left({-k_{1}\left(\log X\log \log X\right)^{\frac {1}{2}}}\right)}$

por alguna constante ⁠ ⁠ ${\displaystyle k_{1}}$ .

En 1956, Erdős mejoró el límite.

${\displaystyle C(X)<X\exp \left({\frac {-k_{2}\log X\log \log \log X}{\log \log X}}\right)}$

para alguna constante ⁠ ⁠ ${\displaystyle k_{2}}$ . ^[17] Además, presentó un argumento heurístico que sugería que este límite superior debería estar cerca de la verdadera tasa de crecimiento de ⁠ ⁠ ${\displaystyle C(X)}$ .

En la otra dirección, Alford , Granville y Pomerance demostraron en 1994 ^[3] que para X suficientemente grande ,

${\displaystyle C(X)>X^{\frac {2}{7}}.}$

En 2005, Harman ^[18] mejoró aún más este límite para

${\displaystyle C(X)>X^{0.332}}$

quien posteriormente mejoró el exponente a ⁠ ⁠ ${\displaystyle 0.7039\cdot 0.4736=0.33336704>1/3}$ . ^[19]

Respecto a la distribución asintótica de los números de Carmichael, ha habido varias conjeturas. En 1956, Erdős ^[17] conjeturó que existían números de Carmichael para X suficientemente grandes. En 1981, Pomerance ^[20] agudizó los argumentos heurísticos de Erdős para conjeturar que existen al menos ${\displaystyle X^{1-o(1)}}$

${\displaystyle X\cdot L(X)^{-1+o(1)}}$

Los números de Carmichael llegan hasta ⁠ ⁠ ${\displaystyle X}$ , donde ⁠ ⁠ ${\displaystyle L(x)=\exp {\left({\frac {\log x\log \log \log x}{\log \log x}}\right)}}$ .

Sin embargo, dentro de los rangos computacionales actuales (como los conteos de números de Carmichael realizados por Pinch ^[8] hasta 10 ²¹ ), estas conjeturas aún no están confirmadas por los datos.

En 2021, Daniel Larsen demostró un análogo del postulado de Bertrand para los números de Carmichael conjeturado por primera vez por Alford, Granville y Pomerance en 1994. ^{[4] [21]} Utilizando técnicas desarrolladas por Yitang Zhang y James Maynard para establecer resultados sobre pequeñas brechas entre primos , su trabajo arrojó la afirmación mucho más sólida de que, para cualquier y suficientemente grande en términos de , siempre habrá al menos ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \exp {\left({\frac {\log {x}}{(\log \log {x})^{2+\delta }}}\right)}}$

Números de Carmichael entre y ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x+{\frac {x}{(\log {x})^{\frac {1}{2+\delta }}}}.}$

Generalizaciones

La noción de número de Carmichael se generaliza a un ideal de Carmichael en cualquier cuerpo de números ⁠ ⁠ ${\displaystyle K}$ . Para cualquier ideal primo distinto de cero en ⁠ ⁠ , tenemos para todo en ⁠ ⁠ , donde es la norma del ideal ⁠ ⁠ . (Esto generaliza el pequeño teorema de Fermat, que para todos los enteros ⁠ ⁠ cuando ⁠ ⁠ es primo). Llamemos a un ideal distinto de cero en Carmichael si no es un ideal primo y para todo ⁠ ⁠ , donde es la norma del ideal ⁠ ⁠ . Cuando ⁠ ⁠ es ⁠ ⁠ , el ideal es principal , y si dejamos que ⁠ ⁠ sea su generador positivo, entonces el ideal es Carmichael exactamente cuando ⁠ ⁠ es un número de Carmichael en el sentido habitual. ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle \alpha ^{{\rm {N}}({\mathfrak {p}})}\equiv \alpha {\bmod {\mathfrak {p}}}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\rm {N}}({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle m^{p}\equiv m{\bmod {p}}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle \alpha ^{{\rm {N}}({\mathfrak {a}})}\equiv \alpha {\bmod {\mathfrak {a}}}}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\rm {N}}({\mathfrak {a}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle {\mathfrak {a}}=(a)}$ ${\displaystyle a}$

Cuando ⁠ ⁠ ${\displaystyle K}$ es mayor que los racionales , es fácil escribir ideales de Carmichael en ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ : para cualquier número primo ⁠ ⁠ ${\displaystyle p}$ que se desdobla completamente en ⁠ ⁠ ${\displaystyle K}$ , el ideal principal es un ideal de Carmichael. Como infinitos números primos se desdoblan completamente en cualquier cuerpo numérico, hay infinitos ideales de Carmichael en ⁠ ⁠ . Por ejemplo, si ⁠ ⁠ es cualquier número primo que es 1 módulo 4, el ideal ⁠ ⁠ en los enteros gaussianos es un ideal de Carmichael. ${\displaystyle p{\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (p)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$

Tanto los números primos como los de Carmichael satisfacen la siguiente igualdad:

${\displaystyle \gcd \left(\sum _{x=1}^{n-1}x^{n-1},n\right)=1.}$

Número de Lucas-Carmichael

Un entero compuesto positivo es un número de Lucas-Carmichael si y solo si es libre de cuadrados , y para todos los divisores primos de ⁠ ⁠ , es cierto que ⁠ ⁠ . Los primeros números de Lucas-Carmichael son: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p+1\mid n+1}$

399, 935, 2015, 2915, 4991, 5719, 7055, 8855, 12719, 18095, 20705, 20999, 22847, 29315, 31535, 46079, 51359, 60059, 63503, 67199, 73535, 76751, 80189, 81719, 88559, 90287, ... (secuencia A006972 en la OEIS )

Número cuasi-Carmichael

Los números cuasi- Carmichael son números ${\displaystyle n}$ compuestos sin cuadrados con la propiedad de que para cada factor primo de , ${\displaystyle p}$ divide positivamente ${\displaystyle n}$a , siendo cualquier entero distinto de 0. Si , son números de Carmichael, y si , son números de Lucas-Carmichael. Los primeros números cuasi-Carmichael son: ${\displaystyle p+b}$ ${\displaystyle n+b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b=-1}$ ${\displaystyle b=1}$

35, 77, 143, 165, 187, 209, 221, 231, 247, 273, 299, 323, 357, 391, 399, 437, 493, 527, 561, 589, 598, 713, 715, 899, 935, 943, 989, 1015, 1073, 1105, 1147, 1189, 1247, 1271, 1295, 1333, 1517, 1537, 1547, 1591, 1595, 1705, 1729, ... (secuencia A257750 en la OEIS )

Número de Knödel

Un número n - Knödel para un entero positivo dado n es un número compuesto m con la propiedad de que cada coprimo con m ${\displaystyle i<m}$ satisface . El caso son los números de Carmichael . ${\displaystyle i^{m-n}\equiv 1{\pmod {m}}}$ ${\displaystyle n=1}$

Números de Carmichael de orden superior

Los números de Carmichael se pueden generalizar utilizando conceptos de álgebra abstracta .

La definición anterior establece que un entero compuesto n es Carmichael precisamente cuando la función de elevación a la n -ésima potencia p _n del anillo Z _n de enteros módulo n a sí mismo es la función identidad. La identidad es el único endomorfismo algebraico de Z _n sobre Z _{n ,} por lo que podemos reformular la definición pidiendo que p _n sea un endomorfismo algebraico de Z _n . Como antes, p _n satisface la misma propiedad siempre que n sea primo.

La función de elevación de potencia n p _n también está definida en cualquier Z _n -álgebra A . Un teorema establece que n es primo si y solo si todas esas funciones p _n son endomorfismos algebraicos.

Entre estas dos condiciones se encuentra la definición de número de Carmichael de orden m para cualquier entero positivo m como cualquier número compuesto n tal que p _n es un endomorfismo en cada Z _n -álgebra que puede generarse como Z _n - módulo por m elementos. Los números de Carmichael de orden 1 son simplemente los números de Carmichael ordinarios.

Un número de Carmichael de orden 2

Según Howe, 17 · 31 · 41 · 43 · 89 · 97 · 167 · 331 es un número de Carmichael de orden 2. Este producto es igual a 443.372.888.629.441. ^[22]

Propiedades

El criterio de Korselt puede generalizarse a números de Carmichael de orden superior, como lo demuestra Howe.

Un argumento heurístico, dado en el mismo artículo, parece sugerir que existen infinitos números de Carmichael de orden m para cualquier m . Sin embargo, no se conoce ningún número de Carmichael de orden 3 o superior.

Notas

1. Riesel, Hans (1994). Números primos y métodos informáticos para la factorización . Progreso en matemáticas. Vol. 126 (segunda edición). Boston, MA: Birkhäuser. ISBN 978-0-8176-3743-9.Zbl 0821.11001  .
2. Crandall, Richard ; Pomerance, Carl (2005). Números primos: una perspectiva computacional (segunda edición). Nueva York: Springer. pp. 133–134. ISBN 978-0387-25282-7.
3. WR Alford ; Andrew Granville ; Carl Pomerance (1994). "Hay infinitos números de Carmichael" (PDF) . Anales de Matemáticas . 140 (3): 703–722. doi :10.2307/2118576. JSTOR  2118576. Archivado (PDF) desde el original el 4 de marzo de 2005.
4. Cepelewicz, Jordana (13 de octubre de 2022). "Adolescente resuelve un enigma difícil sobre números primos parecidos". Revista Quanta . Consultado el 13 de octubre de 2022 .
5. Ore, Øystein (1948). Teoría de números y su historia . Nueva York: McGraw-Hill. pp. 331–332 – vía Internet Archive .
6. DH Lehmer (1976). "Números fuertes de Carmichael". J. Austral. Math. Soc . 21 (4): 508–510. doi : 10.1017/s1446788700019364 .Lehmer demostró que ningún número de Carmichael es un pseudoprimo de Euler-Jacobi respecto de cada base relativamente prima a él. Utilizó el término pseudoprimo fuerte , pero la terminología ha cambiado desde entonces. Los pseudoprimos fuertes son un subconjunto de los pseudoprimos de Euler-Jacobi. Por lo tanto, ningún número de Carmichael es un pseudoprimo fuerte respecto de cada base relativamente prima a él.
7. F. Arnault (agosto de 1995). "Construcción de números de Carmichael que son pseudoprimos fuertes para varias bases". Journal of Symbolic Computation . 20 (2): 151–161. doi : 10.1006/jsco.1995.1042 .
8. Pinch, Richard (diciembre de 2007). Anne-Maria Ernvall-Hytönen (ed.). Los números de Carmichael hasta 1021 (PDF) . Actas de la Conferencia sobre teoría algorítmica de números. Vol. 46. Turku, Finlandia: Turku Centre for Computer Science. págs. 129–131 . Consultado el 26 de junio de 2017 .
9. Múltiplos de Carmichael de números cíclicos impares "Cualquier divisor de un número de Carmichael debe ser un número cíclico impar"
10. Bosquejo de la demostración: Si es libre de cuadrados pero no cíclico, para dos factores primos y de . Pero si satisface Korselt entonces ⁠ ⁠ , por lo que por transitividad de la relación "divide" ⁠ ⁠ . Pero también es un factor de ⁠ ⁠ , una contradicción. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p_{i}\mid p_{j}-1}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle p_{j}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p_{j}-1\mid n-1}$ ${\displaystyle p_{i}\mid n-1}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle n}$
11. Šimerka, Václav (1885). "Zbytky z arithmetické posloupnosti" [Sobre los restos de una progresión aritmética]. Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky . 14 (5): 221–225. doi : 10.21136/CPMF.1885.122245 .
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20. Pomerance, C. (1981). "Sobre la distribución de pseudoprimos". Math. Comp . 37 (156): 587–593. doi : 10.1090/s0025-5718-1981-0628717-0 . JSTOR  2007448.
21. Larsen, Daniel (20 de julio de 2022). "Postulado de Bertrand para números de Carmichael". International Mathematics Research Notices . 2023 (15): 13072–13098. arXiv : 2111.06963 . doi :10.1093/imrn/rnac203.
22. Everett W. Howe (octubre de 2000). "Números de Carmichael de orden superior". Matemáticas de la computación . 69 (232): 1711–1719. arXiv : math.NT/9812089 . Código Bibliográfico :2000MaCom..69.1711H. doi :10.1090/s0025-5718-00-01225-4. JSTOR  2585091. S2CID  6102830.

Referencias

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• Carmichael, RD (1912). "Sobre los números compuestos P que satisfacen la congruencia de Fermat ". American Mathematical Monthly . 19 (2): 22–27. doi :10.2307/2972687. JSTOR  2972687. ${\displaystyle a^{P-1}\equiv 1{\bmod {P}}}$
• Chernick, J. (1939). "Sobre el teorema simple de Fermat" (PDF) . Bull. Amer. Math. Soc . 45 (4): 269–274. doi : 10.1090/S0002-9904-1939-06953-X .
• Korselt, AR (1899). "Problema chino". L'Intermédiaire des Mathématiciens . 6 : 142-143.
• Löh, G.; Niebuhr, W. (1996). "Un nuevo algoritmo para construir números de Carmichael grandes" (PDF) . Math. Comp . 65 (214): 823–836. Bibcode :1996MaCom..65..823L. doi : 10.1090/S0025-5718-96-00692-8 . Archivado (PDF) desde el original el 25 de abril de 2003.
• Ribenboim, P. (1989). El libro de los registros de números primos . Springer. ISBN 978-0-387-97042-4.
• Šimerka, V. (1885). "Zbytky z arithmetické posloupnosti (Sobre los restos de una progresión aritmética)". Časopis Pro Pěstování Matematiky a Fysiky . 14 (5): 221–225. doi : 10.21136/CPMF.1885.122245 .

Enlaces externos

• "Número de Carmichael", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Enciclopedia de Matemáticas
• Tabla de números de Carmichael
• Tablas de números de Carmichael con muchos factores primos
• Tablas de números de Carmichael inferiores a 10 18 {\displaystyle 10^{18}}
• "La monotonía de 1729". MathPages.com .
• Weisstein, Eric W. "Número de Carmichael". MathWorld .
• Respuestas finales de aritmética modular