Número automórfico

En matemáticas , un número automórfico (a veces llamado número circular ) es un número natural en una base numérica dada cuyo cuadrado "termina" en los mismos dígitos que el número mismo. ${\displaystyle b}$

Definición y propiedades

Dado un número base , un número natural con dígitos es un número automórfico si es un punto fijo de la función polinómica sobre , el anillo de los enteros módulo . Como el límite inverso de es , el anillo de los enteros -ádicos , los números automórficos se utilizan para encontrar las representaciones numéricas de los puntos fijos de sobre . ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /b^{k}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle b^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /b^{k}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{b}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{b}}$

Por ejemplo, con , hay cuatro puntos fijos 10-ádicos de , cuyos últimos 10 dígitos son: ${\displaystyle b=10}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

${\displaystyle \ldots 0000000000}$

${\displaystyle \ldots 0000000001}$

${\displaystyle \ldots 8212890625}$(secuencia A018247 en la OEIS )

${\displaystyle \ldots 1787109376}$(secuencia A018248 en la OEIS )

Así, los números automórficos en base 10 son 0, 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625, 2890625, 7109376, 12890625, 87109376, 212890625, 787109376, 1787109376, 8212890625, 18212890625, 81787109376, 918212890625, 9918212890625, 40081787109376, 59918212890625, ... (secuencia A003226 en la OEIS ).

Un punto fijo de es un cero de la función . En el anillo de números enteros módulo , hay ceros a , donde la función omega prima es el número de factores primos distintos en . Un elemento en es un cero de si y solo si o para todo . Como hay dos valores posibles en , y hay tales , hay ceros de , y por lo tanto hay puntos fijos de . Según el lema de Hensel , si hay ceros o puntos fijos de una función polinómica módulo , entonces hay ceros o puntos fijos correspondientes de la misma función módulo cualquier potencia de , y esto sigue siendo cierto en el límite inverso . Por lo tanto, en cualquier base dada hay puntos fijos -ádicos de . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)=f(x)-x}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 2^{\omega (b)}}$ ${\displaystyle g(x)=x^{2}-x}$ ${\displaystyle \omega (b)}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /b\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle g(x)=x^{2}-x}$ ${\displaystyle x\equiv 0{\bmod {p}}^{v_{p}(b)}}$ ${\displaystyle x\equiv 1{\bmod {p}}^{v_{p}(b)}}$ ${\displaystyle p|b}$ ${\displaystyle \lbrace 0,1\rbrace }$ ${\displaystyle \omega (b)}$ ${\displaystyle p|b}$ ${\displaystyle 2^{\omega (b)}}$ ${\displaystyle g(x)=x^{2}-x}$ ${\displaystyle 2^{\omega (b)}}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 2^{\omega (b)}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

Como 0 es siempre un divisor de cero , 0 y 1 son siempre puntos fijos de , y 0 y 1 son números automórficos en cada base. Estas soluciones se denominan números automórficos triviales . Si es una potencia prima , entonces el anillo de números -ádicos no tiene divisores de cero distintos de 0, por lo que los únicos puntos fijos de son 0 y 1. Como resultado, los números automórficos no triviales , aquellos distintos de 0 y 1, solo existen cuando la base tiene al menos dos factores primos distintos. ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle b}$

Números automórficos en baseb

Todos los números -ádicos se representan en base , utilizando A−Z para representar los valores de los dígitos del 10 al 35. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$

Extensiones

Los números automórficos pueden extenderse a cualquier función polinómica de grado con coeficientes b -ádicos . Estos números automórficos generalizados forman un árbol . ${\displaystyle n}$ ${\textstyle f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}$ ${\displaystyle a_{i}}$

a-números automórficos

Un número automórfico ocurre cuando la función polinómica es ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f(x)=ax^{2}}$

Por ejemplo, con y , como hay dos puntos fijos para en ( y ), según el lema de Hensel hay dos puntos fijos 10-ádicos para , ${\displaystyle b=10}$ ${\displaystyle a=2}$ ${\displaystyle f(x)=2x^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /10\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=8}$ ${\displaystyle f(x)=2x^{2}}$

${\displaystyle \ldots 0000000000}$

${\displaystyle \ldots 0893554688}$

Entonces los números 2-automórficos en base 10 son 0, 8, 88, 688, 4688...

Números trimórficos

Un número trimórfico o esférico se da cuando la función polinómica es . ^[1] Todos los números automórficos son trimórficos. Los términos circular y esférico se usaban anteriormente para el caso ligeramente diferente de un número cuyas potencias tienen todas el mismo último dígito que el número mismo. ^[2] ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$

Para la base , los números trimórficos son: ${\displaystyle b=10}$

0, 1, 4, 5, 6, 9, 24, 25, 49, 51, 75, 76, 99, 125, 249, 251, 375, 376, 499, 501, 624, 625, 749, 751, 875, 999, 1249, 3751, 4375, 4999, 5001, 5625, 6249, 8751, 9375, 9376, 9999, ... (secuencia A033819 en la OEIS )

Para la base , los números trimórficos son: ${\displaystyle b=12}$

0, 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, B, 15, 47, 53, 54, 5B, 61, 68, 69, 75, A7, B3, BB, 115, 253, 368, 369, 4A7, 5BB, 601, 715, 853, 854, 969, AA7, BBB, 14A7, 2369, 3853, 3854, 4715, 5BBB, 6001, 74A7, 8368, 8369, 9853, A715, BBBB, ...

Ejemplo de programación

def  lema_hensels ( función_polinomial ,  base :  int ,  potencia :  int )  ->  lista [ int ]: """Lema de Hensel.""" si potencia == 0 : devuelve [ 0 ] si potencia > 0 : raíces = lema_hensels ( función_polinomial , base , potencia - 1 ) nuevas_raíces = [] para raíz en raíces : para i en rango ( 0 , base ): nueva_i = i * base ** ( potencia - 1 ) + raíz nueva_raíz = función_polinomial ( nueva_i ) % pow ( base , potencia ) si nueva_raíz == 0 : nuevas_raíces . append ( nueva_i ) devuelve nuevas_raíces                                                      base  =  10 dígitos  =  10def  polinomio_automórfico ( x :  int )  ->  int :  return  x  **  2  -  xpara  i  en  el rango ( 1 ,  dígitos  +  1 ):  imprimir ( hensels_lemma ( polinomio_automórfico ,  base ,  i ))

Véase también

• Dinámica aritmética
• Número de Kaprekar
• número p -ádico
• Análisis p -ádico
• Divisor de cero

Referencias

1. Véase el artículo de Gérard Michon en
2. "número esférico" . Oxford English Dictionary (edición en línea). Oxford University Press . (Se requiere suscripción o membresía a una institución participante).

• Ejemplos de números 1-automórficos en PlanetMath .

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Número automórfico". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Número trimórfico". MathWorld .