En matemáticas , un número divisor armónico o número de Ore es un entero positivo cuyos divisores tienen una media armónica que es un entero. Los primeros números divisores armónicos son
Los números divisores armónicos fueron introducidos por Øystein Ore , quien demostró que todo número perfecto es un número divisor armónico y conjeturó que no existen números divisores armónicos impares aparte del 1.
El número 6 tiene cuatro divisores 1, 2, 3 y 6. Su media armónica es un número entero: Por lo tanto, 6 es un número divisor armónico. De manera similar, el número 140 tiene divisores 1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70 y 140. Su media armónica es Como 5 es un número entero, 140 es un número divisor armónico.
La media armónica H ( n ) de los divisores de cualquier número n se puede expresar como la fórmula donde σ i ( n ) es la suma de las i ésimas potencias de los divisores de n : σ 0 es el número de divisores y σ 1 es la suma de divisores (Cohen 1997). Todos los términos de esta fórmula son multiplicativos pero no completamente multiplicativos . Por lo tanto, la media armónica H ( n ) también es multiplicativa. Esto significa que, para cualquier entero positivo n , la media armónica H ( n ) se puede expresar como el producto de las medias armónicas de las potencias primas en la factorización de n .
Por ejemplo, tenemos y
Para cualquier entero M , como observó Ore, el producto de la media armónica por la media aritmética de sus divisores es igual al propio M , como se desprende de las definiciones. Por lo tanto, M es armónico, con media armónica de divisores k , si y solo si la media de sus divisores es el producto de M por una fracción unitaria 1/ k .
Ore demostró que todo número perfecto es armónico. Para comprobarlo, observe que la suma de los divisores de un número perfecto M es exactamente 2M ; por lo tanto, la media de los divisores es M (2/τ( M )), donde τ( M ) denota el número de divisores de M . Para cualquier M , τ( M ) es impar si y solo si M es un número cuadrado , pues de lo contrario cada divisor d de M puede emparejarse con un divisor diferente M / d . Pero ningún número perfecto puede ser un cuadrado: esto se deduce de la forma conocida de los números perfectos pares y del hecho de que los números perfectos impares (si existen) deben tener un factor de la forma q α donde α ≡ 1 ( mod 4). Por lo tanto, para un número perfecto M , τ( M ) es par y la media de los divisores es el producto de M por la fracción unitaria 2/τ( M ); por lo tanto, M es un número divisor armónico.
Ore conjeturó que no existen números divisores armónicos impares distintos del 1. Si la conjetura es cierta, esto implicaría la inexistencia de números perfectos impares .
WH Mills (inédito; véase Muskat) demostró que cualquier número divisor armónico impar superior a 1 debe tener un factor de potencia primo mayor que 10 7 , y Cohen demostró que cualquier número de ese tipo debe tener al menos tres factores primos diferentes . Cohen y Sorli (2010) demostraron que no existen números divisores armónicos impares menores que 10 24 .
Cohen, Goto y otros, comenzando por el propio Ore, han realizado búsquedas en computadoras que enumeran todos los números divisores armónicos pequeños. A partir de estos resultados, se conocen listas de todos los números divisores armónicos hasta 2 × 10 9 y todos los números divisores armónicos para los cuales la media armónica de los divisores es como máximo 300.
